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Deuxième loi de Newton: masse variable
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser la dérivation pour la deuxième loi de Newton d’une particule à masse variable. Commençons par rappeler la deuxième loi de Newton en la définissant pour un objet de masse constante.
Quand une force nette agit sur un objet, cet objet accélère dans le sens de la force. L’équation qui décrit le lien entre l’accélération et la force est 𝐹 égale 𝑚𝑎, où 𝐹 est la force, 𝑚 est la masse constante de l’objet et 𝑎 est son accélération. Maintenant, il convient de noter que nous pouvons également exprimer la deuxième loi de Newton en fonction de la quantité de mouvement de l’objet. En effet, la quantité de mouvement d’un objet 𝑃 est égale à sa masse 𝑚 multipliée par son vecteur vitesse 𝑣. La deuxième loi de Newton nous dit que la force appliquée à un objet est égale au taux de variation de la quantité de mouvement du corps. Donc, 𝐹 est égal à d𝑃 sur d𝑡.
Nous pouvons remplacer 𝑚𝑣 dans cette équation. Puisque nous examinons la deuxième loi de Newton pour une masse constante, ce 𝑚 dans notre équation sera une constante. Et donc, nous pouvons l’amener au début de notre équation. Nous savons maintenant que 𝐹 est égal à 𝑚d𝑣 sur d𝑡. Maintenant, nous savons que d𝑣 sur d𝑡 est simplement le taux de variation du vecteur vitesse, qui est égal à l’accélération ou 𝑎. Donc, nous arrivons à 𝐹 est égal à 𝑚𝑎, qui est l’équation que nous connaissons bien.
Maintenant, bien que nous ayons utilisé des quantités vectorielles ici, il convient de noter que si le mouvement est rectiligne, nous pouvons utiliser des scalaires au lieu des vecteurs dans nos calculs. Voyons maintenant ce qui se passerait si nous voulions utiliser la deuxième loi de Newton avec une masse variable. Nous savons que la force 𝐹 est égale au taux de variation de la quantité de mouvement d𝑃 sur d𝑡, où la quantité de mouvement est égale à la masse multipliée par le vecteur vitesse. Cette fois, 𝑚 et 𝑣 sont des variables. Ainsi, pour dériver 𝑚𝑣, nous allons devoir utiliser la règle de dérivation du produit. En faisant cela, nous obtenons que 𝐹 est égal à 𝑚d𝑣 sur d𝑡 plus 𝑣d𝑚 sur d𝑡. Nous sommes arrivés à la formule que nous allons utiliser pour résoudre les problèmes avec des masses variables. Nous pouvons également utiliser la formule construite avant d’effectuer la dérivation. Donc, 𝐹 est égal à d sur d𝑡 de 𝑚𝑣.
Nous pouvons remarquer autre chose dans la formule 𝐹 est égal à 𝑚d𝑣 sur d𝑡 plus 𝑣d𝑚 sur d𝑡. Le terme 𝑚d𝑣 sur d𝑡 est équivalent au membre de droite pour la formule de la deuxième loi de Newton avec une masse constante ; cela donne 𝐹 est égal à 𝑚𝑎. Lorsque nous avons affaire à une masse variable, nous avons ce terme supplémentaire de 𝑣d𝑚 sur d𝑡. Et cela est logique, puisque si 𝑚 est constant, alors d𝑚 sur d𝑡 est égal à zéro et ce deuxième terme disparaît, nous laissant 𝐹 est égal à 𝑚𝑎. Voyons maintenant un exemple de la façon dont nous pouvons résoudre un problème impliquant une masse variable.
Remplissez le blanc. La force agissant sur une masse variant selon la fonction 𝑚 de 𝑡 est égale à cinq plus deux 𝑡 kilogrammes et se déplaçant avec un vecteur vitesse de quatre mètres par seconde est blanc.
Maintenant, rappelez-vous que la force agissant sur un objet avec une masse variable est égale au taux de variation de la quantité de mouvement, donc 𝑚d𝑣 sur d𝑡 plus 𝑣d𝑚 sur d𝑡. Puisque le vecteur vitesse est un scalaire, nous utiliserons l’équation scalaire de la deuxième loi de Newton pour la masse variable au lieu de la forme vectorielle. La question nous a donné une fonction pour la masse et une valeur pour le vecteur vitesse. Nous savons que 𝑚 est égal à cinq plus deux 𝑡 kilogrammes et 𝑣 est égal à quatre mètres par seconde. Nous devons les dériver en fonction de 𝑡. En commençant par 𝑚, lorsque nous dérivons la constante cinq, nous obtenons zéro. Et lorsque nous dérivons les deux 𝑡, nous obtenons deux. Par conséquent, d𝑚 sur d𝑡 est égal à deux. Maintenant, nous avons que 𝑣 est égal à quatre, ce qui est une constante. Ainsi, lorsque nous la dérivons, nous obtenons zéro.
Nous sommes maintenant en mesure d’utiliser ces valeurs dans notre équation de 𝐹. Nous savons que 𝐹 est égal à cinq plus deux 𝑡 multiplié par zéro plus quatre multiplié par deux. Puisque toute la première partie est multipliée par zéro, elle disparaît. Et donc, il nous reste 𝐹 est égal à huit newtons. Et ici, nous avons notre solution, qui est qu’un objet avec une masse initiale de cinq kilogrammes qui augmente de deux kilogrammes par seconde et qui se déplace avec un vecteur vitesse constant de quatre mètres par seconde doit avoir une force constante agissant sur lui de huit newtons. Nous pouvons également noter ici que la masse initiale de l’objet n’affecte pas la force nécessaire pour maintenir ce vecteur vitesse constant. La seule chose qui compte est le taux de variation de la masse.
Nous allons maintenant passer à notre deuxième exemple, où nous verrons un système où la masse et le vecteur vitesse sont des fonctions du temps.
Un objet se déplace en ligne droite. À l’instant 𝑡 secondes, son déplacement à partir d’un point fixe est donné par 𝑠 est égal à six 𝑡 au carré plus neuf 𝑡 mètres. Sa masse varie avec le temps, de sorte que 𝑚 est égal à huit 𝑡 plus neuf kilogrammes. Écrivez une expression pour la force agissant sur l’objet à l’instant 𝑡.
Maintenant, dans cette question, on nous demande de trouver la force agissant sur l’objet; cependant, on nous dit que 𝑚 est égal à huit 𝑡 plus neuf kilogrammes. Cela signifie que 𝑚 est une variable. Donc, pour trouver cette force, nous allons devoir utiliser la deuxième loi de Newton pour la masse variable. La deuxième loi de Newton nous dit que 𝐹 est égal au taux de variation de la quantité de mouvement ou 𝑚d𝑣 sur d𝑡 plus 𝑣d𝑚 sur d𝑡. Nous pouvons commencer par considérer la masse. Nous savons que 𝑚 est égal à huit 𝑡 plus neuf. Nous avons également besoin de d𝑚 par d𝑡, alors dérivons cela.
Nous savons que d𝑚 par d𝑡 est égal à huit. Maintenant, dans cette question, on nous a donné le déplacement de l’objet 𝑠 au lieu de son vecteur vitesse. Cependant, nous savons que le vecteur vitesse est égale au taux de variation du déplacement, donc 𝑣 est égal à d𝑠 sur d𝑡. Donc, pour trouver 𝑣, nous devons dériver six 𝑡 au carré plus neuf 𝑡 par rapport à 𝑡. Nous trouvons que 𝑣 est égal à 12𝑡 plus neuf. Maintenant, nous allons devoir dériver à nouveau afin de trouver d𝑣 sur d𝑡. En dérivant 12𝑡 plus neuf par rapport à 𝑡, nous trouvons que d𝑣 sur d𝑡 est égal à 12.
Nous avons maintenant toutes les composantes à utiliser dans notre formule pour trouver la force 𝐹. Nous savons que 𝐹 est égal à huit 𝑡 plus neuf multiplié par 12 plus 12𝑡 plus neuf multiplié par huit. En développant les parenthèses, nous avons 96𝑡 plus 108 plus 96𝑡 plus 72. En simplifiant cela, nous arrivons à notre solution, qui est que la force 𝐹 est égale à 192𝑡 plus 180 newtons. Notez que dans ce cas, 𝐹 est une force qui dépend du temps.
Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment inverser ce processus et utiliser la formule de la deuxième loi de Newton avec une masse variable afin de trouver le taux de variation de la masse d’un objet.
Une balle métallique se déplace en ligne droite avec un vecteur vitesse constant d’un mètre par seconde. Elle pénètre dans un milieu poussiéreux. Si la force agissant sur la balle à un instant donné est de 10 dynes, déterminez le taux de variation de la masse de la balle dû à l’adhérence de la poussière sur sa surface.
La première chose à considérer ici est ce qu’on nous a demandé de trouver, le taux de variation de la masse de la balle. Cela implique que la balle n’a pas une masse constante ; par conséquent, nous devrons utiliser la deuxième loi de Newton pour les masses variables. La deuxième loi de Newton pour les masses variables nous dit que 𝐹 est égal à 𝑚d𝑣 sur d𝑡 plus 𝑣d𝑚 sur d𝑡. Ce qu’on nous a demandé de trouver, c’est d𝑚 sur d𝑡. Considérons les informations données par la question.
Nous savons que le vecteur vitesse de la balle est d’un mètre par seconde, et ceci est un vecteur vitesse constant. Par conséquent, d𝑣 sur d𝑡 sera égal à zéro. On nous a également dit que la force agissant sur la balle est de 10 dynes. Afin de faciliter nos calculs, nous devons convertir cela en newtons. Nous savons qu’un dyne est égal à 10 puissance moins cinq newtons. Notre force est donc égale à 10 multipliée par 10 puissance moins cinq newtons ou 10 puissance moins quatre newtons. Maintenant, puisque d𝑣 sur d𝑡 est égal à zéro, le premier terme de notre formule pour trouver la force sera également égal à zéro. Ainsi, dans le cas de cette question à vecteur vitesse constant, la force 𝐹 est égale au vecteur vitesse 𝑣 multipliée par le taux de variation de la masse d𝑚 par d𝑡.
En utilisant nos valeurs pour 𝐹 et 𝑣, nous pouvons voir que 10 puissance moins quatre est égal à un multiplié par d𝑚 sur d𝑡. Ou nous pourrions écrire d𝑚 sur d𝑡 est égal à 10 moins quatre. Maintenant, regardons les unités de cette valeur. Notre vecteur vitesse 𝑣 est en mètres par seconde, et notre force 𝐹 est en newtons. Cela nous indique que ce taux de variation de masse sera en kilogrammes par seconde. Maintenant, nous savons qu’un kilogramme équivaut à 10 grammes au cube. Par conséquent, nous pouvons écrire que d𝑚 sur d𝑡 est égal à 10 puissance moins quatre multiplié par 10 grammes par seconde. Cela se simplifie en 10 puissance moins un gramme par seconde, ce qui peut également s’écrire d𝑚 sur d𝑡 est égal à 0,1 grammes par seconde. Et c’est la solution à cette question ; autrement dit, le taux de variation de la masse de la balle due à l’adhérence de la poussière sur sa surface est de 0,1 gramme par seconde.
Cet exemple nous a donné une idée du type de processus physique pouvant entraîner l’augmentation de la masse d’un objet. Concrètement, l’objet peut accumuler de la masse avec laquelle il entre en contact si elle fait partie du milieu qu’il traverse. De la même manière, un objet peut avoir une masse qui diminue, par exemple une fusée expulsant du carburant. Nous verrons à quoi cela ressemble dans l’exemple suivant.
Une fusée monte verticalement, projetant son combustible qui brûle à 3600 kilomètres par heure verticalement vers le bas. Étant donné que, toutes les huit secondes, elle expulse trois kilogrammes de carburant, trouvez la force de propulsion générée par le moteur de la fusée.
Maintenant, on nous demande de trouver la force générée par le moteur de la fusée. Et nous pouvons également voir que la masse de la fusée varie car elle expulse du carburant. Par conséquent, nous devrons utiliser la deuxième loi de Newton pour la masse variable, qui nous dit que 𝐹 est égal à 𝑚d𝑣 sur d𝑡 plus 𝑣d𝑚 sur d𝑡.
Maintenant, quand nous regardons d’un peu plus près la question, nous pouvons remarquer que les informations qui nous ont été données concernent en fait le carburant et non la fusée. On nous dit qu’elle projette son combustible brûlé à 3600 kilomètres par heure et que toutes les huit secondes, trois kilogrammes de carburant sont expulsés. Cela signifie que si nous utilisons ces valeurs, nous trouverons en fait la force agissant sur le carburant expulsé de la fusée. Cette force 𝐹 agira verticalement vers le bas.
Maintenant, afin de trouver la force de propulsion qui fait monter la fusée verticalement, nous pouvons utiliser la troisième loi de Newton, qui nous dit que cette force sera égale et opposée à la force du carburant propulsé verticalement vers le bas. Par conséquent, ce sera une force de même intensité 𝐹 agissant simplement verticalement vers le haut.
Utilisons donc la deuxième loi de Newton pour la masse variable pour trouver la force agissant sur le carburant, qui est expulsé verticalement vers le bas. Nous savons que le vecteur vitesse du carburant sera de 3 600 kilomètres par heure. Cependant, comme il agit verticalement vers le bas, nous pouvons l’écrire comme étant moins 3 600 kilomètres par heure. Les unités de ce vecteur vitesse sont les kilomètres par heure. Cependant, puisque nous allons vouloir travailler en kilogrammes, mètres, secondes et newtons, nous devons convertir ce vecteur vitesse en mètres par seconde. Puisqu’il y a 1000 mètres dans un kilomètre et 3600 secondes dans une heure, nous devons multiplier moins 3600 par 1000 sur 3600. Donc, notre vecteur vitesse est moins 1000 mètres par seconde.
Puisque 𝑣 est une constante, lorsque nous la dérivons pour trouver d𝑣 sur d𝑡, nous verrons qu’elle est égale à zéro. Par conséquent, lorsque nous l’utilisons dans notre formule, le premier terme est égal à zéro. En raison de ce vecteur vitesse constant, nous pouvons réécrire notre formule pour la force comme 𝐹 est égal à 𝑣d𝑚 sur d𝑡. Nous venons de trouver 𝑣 ; par conséquent, la seule chose que nous devons avoir pour trouver 𝐹 est d𝑚 sur d𝑡. C’est le taux de variation de la masse.
On nous dit que toutes les huit secondes, la fusée expulse trois kilogrammes de carburant. Puisque nous considérons la force agissant sur le carburant qui est expulsé de la fusée, cet énoncé nous dit que la masse de carburant expulsée augmente de trois kilogrammes toutes les huit secondes. Pour trouver le taux de carburant expulsé chaque seconde, il suffit de diviser les trois kilogrammes par huit secondes. Ainsi, le taux de variation de la masse est égal à trois sur huit kilogrammes par seconde.
Nous pouvons maintenant utiliser cette valeur avec le vecteur vitesse dans notre équation pour la force. La force est donc égale à moins 1000 multiplié par trois sur huit, ce qui se simplifie en moins 375 newtons. Ici, nous avons presque trouvé notre solution. Cependant, c’est la force agissant sur le carburant qui a été expulsé de la fusée. La force de propulsion générée par les moteurs de la fusée sera égale et opposée à cette force. Notre solution est que la force de propulsion est égale à 375 newtons.
Nous avons maintenant vu plusieurs exemples variés. Récapitulons quelques points clés de la vidéo.
Points clés.
La deuxième loi de mouvement de Newton pour la masse variable nous dit que la force est égale au taux de variation de la quantité de mouvement. Ainsi, 𝐹 est égal à d𝑃 sur d𝑡, qui est également égal à d sur d𝑡 de 𝑚𝑣. En utilisant la règle de dérivation du produit, nous pouvons également trouver que 𝐹 est égal à 𝑚d𝑣 sur d𝑡 plus 𝑣d𝑚 sur d𝑡. Lorsque le mouvement est rectiligne et que nos valeurs sont données en scalaires et non en vecteurs, nous pouvons utiliser la formule scalaire 𝐹 égale à 𝑚d𝑣 sur d𝑡 plus 𝑣d𝑚 sur d𝑡.
