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La figure montre une plaque circulaire uniforme de rayon 5,6 centimètres et de centre 𝑀. Un disque circulaire de rayon 2,4 centimètres et de centre 𝑁 a été retiré de la plaque comme indiqué. Déterminez la distance en centimètres entre 𝑀 et le centre de gravité de la plaque résultante.
Rappelons d’abord que le centre de gravité d’une plaque circulaire uniforme est en son centre géométrique. Ainsi, pour le grand cercle, son centre de gravité est au point 𝑀. Et pour le petit cercle qui a été retiré, son centre de gravité est au point 𝑁. Le plus petit cercle, qui a été retiré, touche le bas du grand cercle. Nous avons donc une ligne de symétrie, l’axe vertical. Le centre de gravité de la plaque résultante se trouvera donc quelque part sur cette ligne. Donc, il suffit de trouver la coordonnée verticale, et nous aurons la distance du point 𝑀.
Nous pouvons modéliser ces deux plaques comme deux particules. Rappelons que si nous avons un système de deux particules, l’ordonnée 𝑦 de son centre de gravité, est donnée par les produits des masses des particules, 𝑚 un et 𝑚 deux, avec leurs ordonnées 𝑦 respectives, 𝑦 un et 𝑦 deux, divisé par la masse totale, 𝑚 un plus 𝑚 deux. Dans ce cas, la masse de la première particule représentant la grande plaque circulaire sera donnée par la masse surfacique de la plaque uniforme, 𝜌, multipliée par l’aire du grand cercle, 𝐴 un.
Pour la deuxième particule représentant la plus petite plaque circulaire manquante, nous traitons cela comme ayant une masse négative. Ainsi, sa masse est donnée par moins 𝜌, la même masse surfacique que précédemment, multipliée par l’aire du plus petit cercle, 𝐴 deux. De même, sur le dénominateur, nous avons 𝑚 un égale 𝜌 𝐴 un et 𝑚 deux égale moins 𝜌 𝐴 deux. Puisque nous avons un facteur commun 𝜌, ceux-ci se simplifient tous. Cela nous laisse avec 𝐴 un 𝑦 un moins 𝐴 deux 𝑦 deux sur 𝐴 un moins 𝐴 deux.
Pour 𝐴 un, l’aire du plus grand cercle est, 𝜋 fois son rayon, 5,6 centimètres, au carré. Et pour le petit cercle, nous avons 𝐴 deux égale 𝜋 fois son rayon, 2.4 centimètres, au carré. Avant de les calculer, notez que nous aurons maintenant un facteur commun 𝜋 au numérateur et au dénominateur. Donc, ces deux vont également se simplifier. Et nous n’avons pas besoin de les calculer.
Pour les ordonnées 𝑦 des centres des cercles, définissons la ligne 𝑦 égale à zéro au bas des deux cercles et des 𝑦 positives suivant la verticale vers le haut. Par conséquent, sur la figure, 𝑦 un est égal à 5,6 et 𝑦 deux est égal à 2,4. Il convient de noter que les calculs ici fonctionneraient peu importe le choix de la ligne 𝑦 égal zéro et à la direction des 𝑦 positives. Ce choix, cependant, rend le calcul beaucoup plus simple. Donc, nous avons 5,6 carré fois 5,6 moins 2,4 carré fois 2,4 le tout sur 5,6 carré moins 2,4 au carré. Le numérateur se simplifie en 5,6 au cube moins 2,4 au cube. Cela nous donne exactement 6,32.
Cet endroit ici est le centre de gravité de la plaque résultante. La distance 𝑑 entre lui et le point 𝑀 est donc l’ordonnée 𝑦 du centre de gravité, 6,32, moins l’ordonnée 𝑦 de 𝑀, 5,6. Cela nous donne notre réponse finale. La distance entre 𝑀 et le centre de gravité de la plaque résultante 𝑑 est égale à 18 sur 25 centimètres.
