Transcription de la vidéo
Calculez l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶, sachant que 𝐴𝐵 est égal à 𝐴𝐶, 𝐵𝐶 est égal à 20 centimètres et cosinus de 𝐵 est égal à cinq sur 13.
L’aire d’un triangle est déterminée en multipliant sa base par sa hauteur et en divisant par deux. Dans cette question, on ne nous a donné que la longueur d’un côté du triangle : 𝐵𝐶 égale 20 centimètres. Afin de déterminer l’aire, nous devons également connaître la hauteur de ce triangle que je vais appeler 𝐴𝐷.
La question nous dit que les deux côtés du triangle 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 ont la même longueur. Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est donc isocèle. Cela signifie que lorsque je trace une hauteur à partir du sommet partagé par les deux côtés de même longueur jusqu’au côté opposé, cela coupe le triangle en deux triangles rectangles identiques. Cela signifie que la longueur 𝐵𝐶 de 20 centimètres est coupée exactement en deux longueurs de 10 centimètres.
Nous ne connaissons toujours qu’une seule longueur dans chacun de ces triangles rectangles. Voyons donc l’autre information donnée dans la question. On nous dit que cos ou cosinus de l’angle 𝐵 est égal à cinq sur 13. Rappelez-vous que la définition du rapport cosinus dans un triangle rectangle est que cos d’un angle 𝜃 est égal à la longueur du côté adjacent divisée par la longueur de l’hypoténuse.
Annotons les trois côtés du triangle rectangle 𝐴𝐵𝐷 par rapport à l’angle 𝐵. L’hypoténuse, le côté le plus long de notre triangle rectangle est le côté directement opposé à l’angle droit. C’est donc le côté 𝐴𝐵. Le côté opposé est celui opposé à l’angle connu. C’est donc le côté 𝐴𝐷. Le côté adjacent est le dernier côté. C’est donc le côté entre l’angle connu et l’angle droit, dans le cas présent, 𝐵𝐷.
Rappelez-vous que le cosinus nous indique le rapport entre le côté adjacent et l’hypoténuse. En substituant 10 à la longueur de l’adjacent et 𝐴𝐵 à l’hypoténuse, nous obtenons cos de 𝐵 est égal à 10 sur 𝐴𝐵. Cela doit également être égal à cinq sur 13 puisqu’il est indiqué dans la question que cos de 𝐵 est égal à cinq sur 13. Cela donne une équation que nous pouvons résoudre afin de trouver la longueur de 𝐴𝐵.
Bien entendu, en définitive ce n’est pas 𝐴𝐵 que nous voulons déterminer, mais 𝐴𝐷, la hauteur perpendiculaire du triangle. Mais nous ne sommes pas encore en mesure de calculer 𝐴𝐷. Cependant, si nous pouvons tout d’abord trouver 𝐴𝐵, nous pourrons calculer 𝐴𝐷 par la suite. Multiplier par les dénominateurs des deux côtés de cette équation les élimine, donnant 10 multiplié par 13 est égal à cinq multiplié par 𝐴𝐵. Pour trouver 𝐴𝐵, nous devons diviser les deux côtés de l’équation par cinq, donnant 𝐴𝐵 est égal à 10 multiplié par 13 sur cinq. Un facteur cinq peut être simplifié au numérateur et au dénominateur, ce qui donne deux multiplié par 13, soit 26.
Nous avons alors déterminé que la longueur du côté 𝐴𝐵 est de 26 centimètres. Souvenez-vous en définitive, nous cherchons à calculer la longueur de 𝐴𝐷. Alors réfléchissons à la façon dont nous pouvons le faire maintenant. Nous avons un triangle rectangle, le triangle 𝐴𝐵𝐷, dans lequel nous connaissons la longueur de deux des côtés. Cela signifie que nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore afin de calculer la longueur du troisième côté.
Le théorème de Pythagore nous dit que dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré de l’hypoténuse. Dans notre triangle, cela signifie que 𝐴𝐷 au carré plus 𝐵𝐷 au carré est égal à 𝐴𝐵 au carré. Substituer les longueurs connues de 𝐵𝐷 et 𝐴𝐵 donne 𝐴𝐷 au carré plus 10 au carré est égal à 26 au carré.
Et nous avons maintenant une équation que nous pouvons résoudre afin de trouver la longueur de 𝐴𝐷. 10 au carré égale 100 et 26 au carré égale 676. Nous avons donc 𝐴𝐷 au carré plus 100 égale 676. En soustrayant 100 de chaque côté de l’équation, nous obtenons 𝐴𝐷 au carré est égal à 576. Et en calculant la racine carrée, nous obtenons 𝐴𝐷 est égal à 24.
Si vous êtes très familier avec les triplets pythagoriciens – c’est-à-dire les triangles rectangles dont les trois côtés sont des entiers – vous aviez peut-être repéré cela, puisque 10, 24, 26 est un exemple de triplet pythagoricien. Que vous l’ayez repéré immédiatement ou que vous ayez dû appliquer le théorème de Pythagore, nous savons maintenant que la hauteur du triangle est de 24 centimètres. Et par conséquent, nous sommes en mesure de calculer l’aire.
Rappelez-vous que la base du triangle complet 𝐴𝐵𝐶 est de 20 centimètres. Nous multiplions donc 20 par 24 et divisons par deux. Un facteur deux peut être simplifié au numérateur et au dénominateur, ce qui donne 10 multiplié par 24 sur un, ce qui est simplement égal à 240.
L’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 est de 240 centimètres carrés.
