Transcription de la vidéo
Quel est l’argument du nombre complexe 𝑏𝑖, où 𝑏 est strictement inférieur à zéro.
Dans cette question, on nous demande de trouver l’argument d’un nombre complexe. Et on nous donne la forme de ce nombre complexe. C’est sous la forme 𝑏𝑖, où notre valeur de 𝑏 est négative. Pour répondre à cette question, nous devons d’abord rappeler ce que nous entendons par l’argument d’un nombre complexe. Premièrement, nous rappelons que l’argument d’un nombre complexe 𝑧, écrit arg 𝑧, est l’angle que 𝑧 forme avec l’axe des réels positifs sur un plan d’Argand. Et il y a quelques points qui méritent d’être soulignés au sujet de cette définition.
D’abord, techniquement, ce n’est pas l’angle que 𝑧 forme avec l’axe des réels positifs sur notre plan d’Argand. C’est en fait l’angle que le rayon allant de l’origine à 𝑧 fait avec cet axe. Cependant, il peut être utile de penser à cela de cette façon. Ensuite, nous mesurons généralement cet angle en radians. Toutefois, nous pouvons également le mesurer en degrés si nous préférons. Et lorsque notre angle est positif, cela signifie que nous l’avons mesuré dans le sens antihoraire. Et si nous donnons un angle négatif, nous mesurons notre angle dans le sens des aiguilles d’une montre.
Ensuite, tout comme avec tout autre angle mesuré de cette manière, il y aura plusieurs angles différents qui représentent la même valeur. Par exemple, un tour de zéro, un tour de deux pi et un tour de quatre pi représenteront tous le même angle. Donc, généralement, nous choisissons que notre argument soit strictement supérieur à moins pi et inférieur à pi.
Donc, pour trouver l’argument du nombre complexe qui nous a été donné dans la question, nous allons d’abord devoir tracer un plan d’Argand. Rappelez-vous, dans un plan d’Argand, notre axe horizontal représente la partie réelle de notre nombre complexe et l’axe vertical représente la partie imaginaire de notre nombre complexe. Dans notre cas, nous voulons tracer le nombre 𝑏𝑖 sur notre plan d’Argand. Nous pouvons voir que 𝑏𝑖 est un nombre imaginaire. Il n’a pas de composante réel. Donc, la partie réelle de 𝑏𝑖 va être égale à zéro. De même, la partie imaginaire de 𝑏𝑖 va être le coefficient de 𝑖, qui est 𝑏 dans ce cas. Et il convient de souligner ici que nous savons que notre valeur de 𝑏 est négative.
Rappelez-vous que dans un plan d’Argand, la coordonnée horizontale représente la partie réelle de notre nombre imaginaire et la coordonnée verticale représente la partie imaginaire de notre nombre complexe. Donc, pour notre valeur de 𝑏𝑖 dont la partie réelle est zéro et la partie imaginaire est 𝑏, ses coordonnées sur notre plan d’Argand vont être zéro, 𝑏, où bien sûr notre valeur de 𝑏 est négative. Nous devons donc dessiner cela sur la partie négative de notre axe imaginaire.
Nous voulons trouver l’argument de ce nombre complexe, cela peut donc nous aider d’ajouter le segment allant de l’origine à notre valeur 𝑏𝑖 sur notre plan d’Argand. Ensuite, l’argument de 𝑧 va être l’angle entre ce segment et l’axe des réels positifs. Et nous allons mesurer cela dans le sens des aiguilles d’une montre car la mesure de notre angle devient ainsi la plus petite. Normalement, avec des nombres complexes, nous devrions utiliser la trigonométrie pour nous aider à trouver l’argument. Cependant, ce n’est pas nécessaire dans ce cas. Nous pouvons voir que c’est juste un angle droit.
Et en radians, un angle droit est donné par pi sur deux. Mais rappelez-vous, nous mesurons cet angle dans le sens des aiguilles d’une montre, il doit donc être de moins pi sur deux. Et cela nous donne notre réponse finale. L’argument de 𝑏𝑖 est égal à moins pi sur deux. Maintenant, nous pouvons nous arrêter ici, mais nous avons en fait prouvé un résultat très utile. Nous avons prouvé que si 𝑏 est strictement inférieur à zéro, alors l’argument de 𝑏𝑖 sera égal à moins pi sur deux. Nous pouvons donc utiliser ce résultat pour évaluer l’argument d’un nombre complexe donné sous cette forme. Nous n’aurions pas besoin de tracer cela sur un plan d’Argand et de trouver ensuite l’angle résultant. Cependant, c’est quand même une bonne idée.
Par conséquent, dans cette question, nous avons pu prouver le résultat de la recherche de l’argument de certains nombres complexes. Nous avons pu montrer que l’argument de n’importe quel nombre complexe sous la forme 𝑏𝑖, où notre valeur de 𝑏 est strictement inférieure à zéro, est moins pi sur deux.
