Transcription de la vidéo
Si les points de coordonnées 𝑥, un ; trois, 𝑥 ; et zéro, moins deux sont alignés, alors utilisez les déterminants pour trouver toutes les valeurs possibles de 𝑥. Arrondissez vos réponses au centième près.
Dans cette question, on nous donne trois points avec une valeur inconnue de 𝑥. On nous dit que ces trois points sont alignés, et nous devons utiliser les déterminants pour trouver toutes les valeurs possibles de 𝑥. Nous devons arrondir nos réponses au centième près. Pour répondre à cette question, commençons par rappeler comment nous utilisons les déterminants pour trouver si trois points sont alignés.
Rappelons que si nous avons trois points distincts 𝑥 un, 𝑦 un ; 𝑥 deux, 𝑦 deux ; et 𝑥 trois, 𝑦 trois, alors ceux-ci seront alignés si le déterminant de la matrice trois fois trois 𝑥 un, 𝑦 un, un, 𝑥 deux, 𝑦 deux, un, 𝑥 trois, 𝑦 trois, un est égal à zéro. Et si ce déterminant n’est pas égal à zéro, alors les trois points ne sont pas alignés.
Et il convient de souligner que cette propriété fonctionne dans les deux sens. Si nous avons trois points alignés, nous savons que le déterminant est nul. Et si le déterminant est nul, nous savons que les trois points sont alignés. Et nous pouvons dire quelque chose de très similaire pour trois points distincts non alignés. Si le déterminant de cette matrice est non nul, alors les trois points sont non alignés. Et si nous avons trois points non alignés, ce déterminant doit être différent de zéro.
Par conséquent, comme on nous dit que les trois points qui nous sont donnés dans la question sont alignés, le déterminant de cette matrice où nous substituons les coordonnées de ces trois points doit être nul. Le déterminant de la matrice trois fois trois 𝑥, un, un, trois, 𝑥, un, zéro, moins deux, un est égal à zéro. Maintenant, si nous développons ce déterminant, nous aurons une équation en fonction de 𝑥.
Et il existe différentes façons d’évaluer ce déterminant. Nous allons développer suivant la première colonne, car elle comprend une valeur de zéro. Et rappelez-vous, lorsque nous développons suivant une ligne ou une colonne, la parité de la somme du numéro de ligne et du numéro de colonne affecte le signe de ce terme. En particulier, si le numéro de ligne plus le numéro de colonne est pair, nous aurons un signe positif, et si c’est impair, nous aurons un signe négatif.
Nous sommes maintenant prêts à évaluer le déterminant de cette matrice en développant suivant la première colonne. Nous obtenons plus 𝑥 multiplié par la matrice mineure que nous obtenons en supprimant la première ligne, la première colonne. C’est le déterminant de la matrice deux fois deux 𝑥, un, moins deux, un. Nous faisons ensuite de même pour le deuxième élément de cette colonne. Et n’oubliez pas, nous devons multiplier cela par moins un. Nous obtenons moins trois fois le déterminant de la matrice deux fois deux un, un, moins deux, un. Et enfin, nous aurions besoin de développer suivant le troisième élément ; cependant, c’est zéro. Ainsi, le troisième terme aura un facteur de zéro et il est égal à zéro. Cela nous donne 𝑥 fois le déterminant de 𝑥, un, moins deux, un moins trois fois le déterminant de un, un, moins deux, un.
Nous devons maintenant déterminer cette expression. Et pour ce faire, nous rappelons que pour trouver le déterminant d’une matrice deux fois deux, nous calculons la différence dans le produit des diagonales. Le déterminant de la première matrice est 𝑥 fois un moins moins deux fois un, ce qui est 𝑥 plus deux. Et le déterminant de la deuxième matrice est un fois un moins un fois moins deux, soit un plus deux. Cela nous donne 𝑥 fois 𝑥 plus deux moins trois fois un plus deux, ce qui, si nous distribuons et simplifions, est égal à 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins neuf.
Et rappelez-vous, comme les trois points sont alignés, nous savons que cela doit être égal à zéro. Par conséquent, nous avons une équation du second degré en 𝑥. Nous pourrions essayer de résoudre ce problème en factorisant. Cependant, on peut voir que c’est très difficile. Donc, au lieu de cela, nous allons résoudre ce problème en utilisant la formule des racines du second degré. Rappelons que si nous avons une équation du second degré 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro, les deux racines de cette équation sont données par moins 𝑏 plus ou moins la racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 le tout sur deux 𝑎. Et il y a quelques hypothèses. Premièrement, la valeur de 𝑎 ne peut pas être égale à zéro, car il s’agit d’une équation du second degré. Et ensuite, le discriminant 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 ne peut pas être négatif ; sinon, nous n’aurons pas des solutions réelles.
Dans notre cas, la valeur de 𝑎 est un, 𝑏 est deux et 𝑐 est moins neuf. Nous les substituerons dans la formule des racines du second degré. La substitution de ces valeurs nous donne deux expressions possibles pour les racines. Nous avons 𝑥 est égal à moins deux plus la racine carrée de deux au carré moins quatre fois un fois moins neuf le tout divisé par deux fois un et 𝑥 est égal à moins deux moins la racine carrée de deux au carré moins quatre fois un multiplié par moins neuf le tout divisé par deux fois un.
Nous pourrions commencer à simplifier ces expressions. Cependant, la question ne demande que les réponses au centième près. Bien que ce ne soit pas nécessaire, nous pouvons trouver des expressions exactes pour les racines. La première racine est moins un plus racine de 10, et la deuxième racine est moins un moins racine de 10. Nous pouvons ensuite utiliser la calculatrice pour trouver les développements décimaux de ces deux racines. La première racine que nous obtenons est 2,162 ainsi de suite. Et pour la deuxième racine, nous obtenons moins 4,162 ainsi de suite. Et dans les deux cas, le troisième chiffre décimal était deux. Ainsi, nous pouvons simplement supprimer le développement décimal, en nous donnant les racines 2,16 et moins 4,16 au centième près.
Par conséquent, nous avons pu montrer si les trois points 𝑥, un ; trois, 𝑥 ; et zéro, moins deux sont alignés, alors il y a deux valeurs possibles de 𝑥. Au centième près, ce sont 2,16 et moins 4,16.
