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Fiche explicative de la leçon : Utiliser les déterminants pour calculer les aires Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser les déterminants pour calculer les aires des triangles et des parallélogrammes étant données les coordonnées de leurs sommets.

Les matrices ont beaucoup de propriétés utiles pour la résolution de différents problèmes. Nous pouvons utiliser les déterminants de matrices pour calculer l’aire d’un polygone en fonction de ses sommets. Pour ce faire, nous allons commencer par énoncer la formule de l’aire d’un triangle par les déterminants.

Théorème : Aire d’un triangle par les déterminants

L’aire d’un triangle de sommets (𝑥;𝑦), (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) est donnée par airedet=12||||𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1||||.

Nous prenons la valeur absolue de ce déterminant pour nous assurer que l’aire est positive.

Il existe d’autres méthodes pour calculer l’aire d’un triangle. Par exemple, on sait que l’aire d’un triangle est donnée par la moitié du produit de la base par la hauteur. Cependant, cette formule nous oblige à connaître ces longueurs plutôt que les coordonnées des sommets.

Illustrons l’utilisation de cette formule en évaluant l’aire d’un triangle à partir des coordonnées de ses sommets sur un exemple.

Exemple 1: Calcul de l’aire d’un triangle en coordonnées cartésiennes à l’aide des déterminants

Calculez l’aire du triangle ci-dessous en utilisant les déterminants.

Réponse

Dans cette question, nous pouvons déterminer l’aire de ce triangle de différentes manières. Par exemple, nous pourrions utiliser des propriétés géométriques. Cependant, nous sommes chargés de calculer l’aire d’un triangle en utilisant les déterminants.

Pour ce faire, nous devrons utiliser le fait que l’aire d’un triangle de sommets (𝑥;𝑦), (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) est donnée par airedet=12||||𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1||||.

Nous devons donc trouver les coordonnées des sommets de notre triangle;nous pouvons les lire sur le graphique.

Il est important de noter que l’ordre dans lequel nous étiquetons les sommets n’a pas d’importance;en effet, un ordre différent a pour seule conséquence d’échanger les lignes de notre matrice, ce qui ne change que le signe du déterminant.

Par conséquent, l’aire de notre triangle est donnée par airedet=12||||051451341||||.

En développant par rapport à la première colonne, on obtient airedetdetdet=12||0×51414×5141+3×5151||=12|4(5×1(4)×1)+3(5×15×1)|=12|36|=18, et l’aire de notre triangle est donc égale à 18 unités carrées.

Nous pouvons vérifier notre réponse en calculant l’aire de ce triangle par une méthode différente. Par exemple, l’aire d’un triangle est la moitié de la longueur de sa base multipliée par sa hauteur, et nous pouvons déterminer ces deux valeurs à partir de la figure.

En prenant le côté horizontal comme base, on peut voir que celle-ci est de longueur 4 et que la hauteur est de longueur 9. Ainsi, nous pouvons calculer l’aire du triangle à l’aide de la formule usuelle:airebasehauteur=12××=12×4×9=18.

Cela confirme que notre triangle est bien d’aire 18 unités carrées.

Dans l’exemple suivant, nous verrons que nous pouvons aussi utiliser les déterminants pour déterminer les coordonnées possibles d’un sommet d’un triangle d’aire donnée.

Exemple 2: Étude des sommets d’un triangle d’aire donnée

Si l’aire d’un triangle de sommets (;0), (6;0) et (0;3) est égale à 9 unités carrées, alors =.

  1. 0 ou 12
  2. 0 ou 12
  3. 6 ou 6
  4. 12 ou 12

Réponse

Dans cette question, on nous donne l’aire d’un triangle et les coordonnées de deux de ses sommets, et nous devons les utiliser pour déterminer les coordonnées du troisième sommet. Nous pourrions utiliser la formule de l’aire d’un triangle impliquant sa base et sa hauteur. Cela nous donnerait une équation d’inconnue que nous pourrions alors résoudre. Toutefois, ici, nous allons utiliser la formule de l’aire impliquant le déterminant.

Nous pouvons calculer l’aire du triangle en fonction des coordonnées de ses sommets. Un triangle de sommets (𝑥;𝑦), (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) a une aire donnée par la formule suivante:airedet=12||||𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1||||.

En substituant les coordonnées par les valeurs de l’énoncé, on obtient airedet=12||||01601031||||.

D’après l’énoncé, cette aire est égale à 9 unités carrées;en développant le déterminant par rapport à la deuxième colonne, on a:9=12||||01601031||||=12||0×61010×101+3×161||=12|3(6)|=32|6|.detdetdetdet

Par suite, le réarrangement de l’équation nous donne 6=|6|.

Ainsi, soit 6=6 soit 6=6.

Ces équations ont pour solution =0 et =12;la réponse à cet exercice est donc la réponse B.

Jusqu’à présent, nous avons calculé des aires de triangles à l’aide des déterminants. Il est possible d’étendre cette idée aux polygones avec un nombre quelconque de côtés. Commençons par trouver une formule pour l’aire d’un parallélogramme. On peut procéder de deux façons différentes.

La première façon de procéder est de considérer le parallélogramme comme l’union de deux triangles semblables. Le choix de trois sommets du parallélogramme fixe un triangle.

Peu importe les trois sommets que nous choisissons, nous divisons le parallélogramme en deux triangles. Les côtés de chacun des triangles étant identiques, ces triangles sont semblables et de même aire. On peut alors déterminer l’aire de ce triangle en utilisant les déterminants:aireparallélogrammeairetriangledetdet()=2()=2×12||||𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1||||=||||𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1||||.

Nous pouvons résumer cela comme suit.

Aire d’un parallélogramme par les déterminants

L’aire d’un parallélogramme dont trois de ses sommets sont (𝑥;𝑦), (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) est donnée par airedet=||||𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1||||.

Il y a une deuxième façon de calculer l’aire d’un parallélogramme à l’aide de déterminants. Puisque la translation d’un parallélogramme ne change pas son aire, on peut, par translation, toujours se ramener à un parallélogramme qui a l’origine comme sommet. Ainsi, il suffit de déterminer l’aire des parallélogrammes de ce type. Considérons un parallélogramme de sommets (0;0), (𝑎;𝑏), (𝑐;𝑑) et (𝑒;𝑓), comme indiqué sur la figure suivante.

Nous pouvons déterminer l’aire de ce parallélogramme en le divisant en triangles de deux manières différentes;l’aire obtenue est indépendante de la division en triangle choisie. Par exemple, on peut diviser le parallélogramme en deux le long du segment entre (𝑎;𝑏) et (𝑐;𝑑).

Nous pouvons voir que cette diagonale divise le parallélogramme en deux triangles. Ces deux triangles sont semblables car ils partagent les mêmes longueurs de côtés. Ainsi, l’aire du parallélogramme est le double de l’aire du triangle ci-dessous.

On peut calculer l’aire de ce triangle en utilisant les déterminants:airetriangledet()=12||||001𝑎𝑏1𝑐𝑑1||||.

En développant le déterminant par rapport à la première ligne, on obtient airetriangledetdetdetdet()=12|||0×𝑏1𝑑10×𝑎1𝑐1+1×𝑎𝑏𝑐𝑑|||=12|||𝑎𝑏𝑐𝑑|||.

Puisque l’aire du parallélogramme est le double de l’aire du triangle, nous avons aireparallélogrammedet()=|||𝑎𝑏𝑐𝑑|||.

On aurait aussi pu diviser le parallélogramme le long du segment entre l’origine et (𝑒;𝑓) comme illustré ci-dessous.

Une fois encore, cela divise le triangle en deux triangles semblables, et nous pouvons calculer l’aire de l’un de ces triangles comme suit 12||||001𝑒𝑓1𝑐𝑑1||||=12|||𝑒𝑓𝑐𝑑|||.detdet

L’aire du parallélogramme est le double de cette valeur:aireparallélogrammedet()=|||𝑒𝑓𝑐𝑑|||.

Dans les deux cas, l’aire du parallélogramme est la valeur absolue du déterminant de la matrice 2×2 dont les lignes sont les coordonnées des deux sommets distincts de l’origine. Nous résumons ce résultat comme suit.

Théorème : Aire d’un parallélogramme

Si un parallélogramme, dont un des sommets est l’origine, a deux sommets (𝑎;𝑏) et (𝑐;𝑑), alors son aire est donnée par airedet=|||𝑎𝑏𝑐𝑑|||.

Voyons un exemple illustrant comment appliquer cette formule afin de calculer l’aire d’un parallélogramme à partir des coordonnées de ses sommets.

Exemple 3: Calcul de l’aire d’un parallélogramme à l’aide de matrices

Utilisez les déterminants pour calculer l’aire du parallélogramme de sommets (1;1), (4;5), (2;8) et (3;4).

Réponse

Commençons par rappeler comment nous trouvons l’aire d’un parallélogramme à l’aide de déterminants. L’aire d’un parallélogramme avec trois sommets en (𝑥;𝑦), (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) est donnée par airedet=||||𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1||||.

On peut choisir n’importe quel triplet de sommets pour calculer l’aire de ce parallélogramme. Par exemple, si nous choisissons les trois premiers points, alors airedet=||||111451281||||.

En développant le déterminant par rapport à la première ligne, on obtient airedetdetdetunitéscarrés=||1×51811×4121+1×4528||=|(58)(4+2)+(32+10)|=23.

Par conséquent, l’aire de ce parallélogramme est égale à 23 unités carrées.

On pourrait aussi utiliser le fait que si un parallélogramme a un sommet en l’origine et deux de ses autres sommets en (𝑎;𝑏) et (𝑐;𝑑), alors son aire est donnée par airedet=|||𝑎𝑏𝑐𝑑|||.

Pour utiliser cette formule, nous devons translater le parallélogramme de sorte que l’un de ses sommets soit à l’origine. Étant donné que l’un de ses sommets est le point (1;1) , nous pouvons translater le parallélogramme d’une unité vers la gauche et d’une unité vers le bas. Cela nous donne les coordonnées suivantes pour ses sommets:(11,11)=(0,0),(41,51)=(5,4),(21,81)=(3,7),(31,41)=(2,3).

On peut utiliser deux sommets distincts de l’origine pour déterminer l’aire de ce parallélogramme. Par conséquent, airedet=||5437||=|35(12)|=|23|=23.

Finalement, l’aire de ce parallélogramme est égale à 23 unités carrées.

Nous avons pu déterminer l’aire d’un parallélogramme en le divisant en deux triangles semblables. De même, nous pouvons déterminer l’aire d’un triangle en le considérant comme la moitié d’un parallélogramme, comme nous le verrons dans l’exemple suivant.

Exemple 4: Calcul de l’aire d’un triangle à l’aide de matrices

Utilisez des déterminants pour calculer l’aire du triangle de sommets (2;2), , (4;2) et (0;2), en considérant le triangle comme la moitié d’un parallélogramme.

Réponse

Premièrement, nous voulons construire notre parallélogramme en utilisant deux copies du triangle donné par l’énoncé. Nous pouvons faire cela de trois façons différentes, puisque nous pouvons coller les deux triangles entre eux sur n’importe lequel de leurs trois côtés. Ces façons sont illustrées dans les trois figures suivantes.

Ces trois parallélogrammes ont la même aire, car ils sont tous obtenus par union des deux mêmes triangles semblables. Cependant, nous n’avons pas besoin des coordonnées du quatrième point pour déterminer l’aire d’un parallélogramme en utilisant des déterminants. Rappelons que si un parallélogramme a un sommet à l’origine et deux autres sommets (𝑎;𝑏) et (𝑐;𝑑), alors son aire est donnée par airedet=|||𝑎𝑏𝑐𝑑|||.

On peut donc utiliser cette formule pour calculer l’aire du parallélogramme en le translatant de sorte que l’un de ses sommets se situe à l’origine. Nous translatons le point (0;2) à l’origine en translatant chacun des sommets vers le bas de deux unités, ce qui nous donne (0,22)=(0,0),(2,22)=(2,4),(4,22)=(4,4).

On utilise les coordonnées de ces deux derniers points pour calculer l’aire du parallélogramme:aireparallélogrammedet()=||2444||=|8+16|=8.

Enfin, rappelons que l’aire de notre triangle est la moitié de cette valeur;l’aire du triangle de sommets (2;2) , (4;2) et (0;2) est égale à 4 unités carrées.

Si nous pouvons calculer l’aire d’un triangle en utilisant des déterminants, alors nous pouvons calculer l’aire de tout polygone en le divisant au préalable en triangles (ce procédé porte le nom de triangulation). Voyons un exemple où nous sommes chargés de calculer l’aire d’un quadrilatère en utilisant des déterminants.

Exemple 5: Calcul de l’aire d’un quadrilatère à l’aide de déterminants de matrices

Considérons le quadrilatère de sommets 𝐴(1;3), 𝐵(4;2), 𝐶(4,5;5) et 𝐷(2;6).

Grâce à la division de ce quadrilatère en triangles, comme illustré sur la figure ci-dessus, calculez l’aire du quadrilatère en utilisant des déterminants de matrices.

Réponse

Nous voulons trouver l’aire de ce quadrilatère en le divisant en triangles, comme indiqué sur la figure précédente. Cela signifie que nous devons d’abord calculer les aires de chacun de ces deux triangles en utilisant des déterminants, puis en faisant l’addition. Nous avons deux options pour déterminer l’aire d’un triangle en utilisant des déterminants:nous pourrions traiter les triangles comme un demi-parallélogramme et utiliser le déterminant d’une matrice 2×2 pour trouver l’aire de ce parallélogramme, ou bien nous pourrions utiliser la formule de l’aire d’un triangle en fonction d’un déterminant de matrice 3×3. Puisque les sommets sont donnés par la figure, nous utiliserons la formule directement pour calculer l’aire des triangles.

Commençons par calculer l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶.

On peut déterminer les coordonnées des sommets à partir du graphique, d’où 𝐴(1;3), 𝐵(4;2) et 𝐶(4,5;5). On rappelle que l’aire d’un triangle de sommets (𝑥;𝑦), (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) est donnée par airedet=12||||𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1||||.

Ainsi, en utilisant cette formule, nous pouvons calculer l’aire de ce triangle:airedet(𝐴𝐵𝐶)=12||||1314214,551||||.

En développant ce déterminant par rapport à la deuxième colonne, on obtient airedetdetdetunitéscarrés(𝐴𝐵𝐶)=12||1×21514×3151+4,5×3121||=12|1(25)4(35)+4,5(32)|=12|3+8+4,5|=4,75.

De même, l’aire du triangle 𝐴𝐶𝐷 est donnée par airedetdetdetdetunitéscarrés(𝐴𝐶𝐷)=12||||1314,551261||||=12||1×51614,5×3161+2×3151||=12|1(56)4,5(36)+2(35)|=12|1+13,54|=4,25.

En additionnant les aires de ces deux triangles, on obtient que l’aire du quadrilatère est égale à 9 unités carrées.

Une autre propriété utile nous est donnée par ces formules. Puisque le déterminant det𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1 nous donne l’aire « algébrique » (c’est-à-dire avec un signe positif ou négatif) d’un triangle de sommets (𝑥;𝑦), (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦), si ce déterminant est égal à 0, alors ce triangle doit être d’aire nulle. L’aire de ce triangle ne peut être nulle que si les points ne sont pas distincts ou si tous les points appartiennent à la même droite (c’est-à-dire qu’ils sont alignés).

Théorème : Test de l’alignement des points

Étant donnés trois points distincts (𝑥;𝑦), (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦);si det𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1=0, alors les points sont alignés.

Voyons un exemple d’application de ce théorème.

Exemple 6: Utilisation des déterminants pour tester l’alignement d’un ensemble de points

Parmi les ensembles de points suivants, déterminez lequel est constitué de points alignés en utilisant les déterminants.

  1. 𝐴(6;4), 𝐵(8;4) , 𝐶(3;10)
  2. 𝐴(10;4), 𝐵(8;2) , 𝐶(5;1)
  3. 𝐴(3;6), 𝐵(8;7) , 𝐶(3;8)
  4. 𝐴(10;6), 𝐵(2;1) , 𝐶(0;9)

Réponse

On rappelle d’abord que trois points distincts (𝑥;𝑦), (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) sont alignés si det𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1=0.

Remarquons que chaque triplet de points donné est constitué de trois points distincts. Ainsi, nous pouvons calculer chacun des déterminants des quatre matrices associées au triplets afin de déterminer s’ils sont alignés ou non. Nous calculons les déterminants des quatre matrices en développant par rapport à la première ligne.

Le triplet A nous donne det6418413101=6(410)4(83)+(8012)=12.

Le déterminant étant non nul, l’aire du triangle associé n’est pas nulle non plus. Par conséquent, ces points ne sont pas alignés.

Le triplet B nous donne det1041821511=10(21)+4(8+5)+(810)=0.

Puisque ce déterminant est nul, l’aire du triangle associé est également nulle. Par conséquent, les points de ce triplet sont alignés

Le triplet C nous donne det361871381=3(7+8)6(8+3)+(6421)=154.

Puisque ce déterminant est non nul, l’aire du triangle associé est également non nulle. Par conséquent, ces points ne sont pas alignés.

Le triplet D nous donne det1061211091=10(1+9)+6(2+0)+(18+0)=94.

Puisque ce déterminant est non nul, l’aire du triangle associé est également non nulle. Par conséquent, ces points ne sont pas alignés.

Ainsi, les points 𝐴(10;4), 𝐵(8;2) et 𝐶(5;1) sont alignés;seul le triplet B est donc solution de l’exercice.

Terminons par résumer quelques-uns des concepts importants de cette fiche explicative.

Points Clés

  • L’aire d’un triangle de sommets (𝑥;𝑦), (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) est donnée par airedet=12||||𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1||||.
  • L’aire d’un parallélogramme avec trois sommets en (𝑥;𝑦), (𝑥;𝑦), et (𝑥;𝑦) est donnée par airedet=||||𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1||||.
  • Si un parallélogramme a un sommet en l’origine et deux autres sommets en (𝑎;𝑏) et (𝑐;𝑑), alors son aire est donnée par airedet=|||𝑎𝑏𝑐𝑑|||.
  • Si on a trois points distincts (𝑥;𝑦) , (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) tels que det𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1=0, alors ces points sont alignés.

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