Transcription de la vidéo
Utiliser les déterminants pour calculer les aires
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser les déterminants pour calculer les aires des polygones étant données les coordonnées de leurs sommets. En particulier, nous verrons comment calculer les aires de triangles dans le plan étant donné les coordonnées de leurs sommets et comment calculer les aires de parallélogrammes dans le plan étant donné les coordonnées de trois de leurs sommets. Nous verrons également comment nous pouvons étendre cette méthode pour trouver l’aire de polygones plus complexes dans le plan en utilisant la triangulation.
Pour commencer, nous pouvons trouver l’aire d’un triangle dont les sommets sont 𝑥 indice un, 𝑦 indice un ; 𝑥 indice deux, 𝑦 indice deux ; et 𝑥 indice trois, 𝑦 indice trois en utilisant les déterminants. Son aire est donnée par la moitié de la valeur absolue du déterminant de la matrice trois par trois 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, un, 𝑥 indice deux, 𝑦 indice deux, un, 𝑥 indice trois, 𝑦 indice trois, un. Nous prenons la valeur absolue du déterminant pour nous assurer que notre réponse est positive.
Il convient également de noter que nous pouvons nommer les sommets dans n’importe quel ordre, car cela échangera uniquement les lignes de cette matrice. Cela aura pour effet de changer de signe, mais nous prenons la valeur absolue. Nous pouvons prouver que cette formule est vraie en développant le déterminant et en réarrangeant pour montrer que nous obtenons une expression pour l’aire du triangle 𝑇. Cependant, il s’agit d’un long processus et dépasse le cadre de cette vidéo.
Au lieu de cela, nous pouvons noter que cette formule est utile car elle nous oblige uniquement à connaître les sommets du triangle, alors que des méthodes telles que la formule de Héron nous oblige à connaître ou à calculer les longueurs des côtés du triangle. Voyons un exemple d’application de cette méthode pour trouver l’aire d’un triangle dans le repère cartésien.
Trouvez l’aire du triangle ci-dessous à l’aide de déterminants.
Dans cette question, on nous donne une figure d’un triangle dans le repère cartésien et on nous demande de trouver son aire en utilisant les déterminants. Nous pourrions directement trouver l’aire de ce triangle en utilisant la formule stipulant la moitié de la longueur de la base multipliée par la hauteur ou en appliquant la formule de Héron. Cependant, on nous dit de faire ceci en utilisant les déterminants.
On peut donc rappeler qu’un triangle avec des sommets en 𝑥 indice un, 𝑦 indice un ; 𝑥 indice deux, 𝑦 indice deux ; et 𝑥 indice trois, 𝑦 indice trois a une aire donnée par la moitié de la valeur absolue du déterminant de la matrice trois par trois 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, un, 𝑥 indice deux, 𝑦 indice deux, un, 𝑥 indice trois, 𝑦 indice trois, un. Par conséquent, pour trouver l’aire de ce triangle en utilisant les déterminants, nous devons trouver les coordonnées de ses sommets. Nous pouvons le faire en utilisant le diagramme donné. Les sommets sont à zéro, cinq ; quatre, cinq ; et trois, moins quatre.
Nous pouvons maintenant trouver une expression pour l’aire en substituant les coordonnées des sommets dans la formule, où nous notons que nous pouvons nommer chaque point dans n’importe quel ordre puisque cela ne changera que le signe du déterminant. Nous avons que l’aire est la moitié de la valeur absolue du déterminant de la matrice trois par trois zéro, cinq, un, quatre, cinq, un, trois, moins quatre, un.
Il existe plusieurs façons d’évaluer le déterminant. Une façon consiste à développer la première ligne pour obtenir l’expression suivante. Nous pouvons évaluer cette expression pour obtenir la moitié de la valeur absolue de moins 36, soit 18 unités carrées. Il convient de noter que nous pouvons vérifier notre réponse en trouvant la longueur de la base et une hauteur à partir du diagramme. Dans ce cas, nous voyons que le côté horizontal a la longueur quatre et la hauteur de ce triangle est neuf.
Nous pouvons alors trouver l’aire comme la moitié de la longueur de la base multipliée par la hauteur, qui est un demi fois quatre multipliée par neuf, que nous pouvons calculer pour donner 18 unités carrées. Par conséquent, cela vérifie que l’aire du triangle donnée dans le diagramme est de 18 unités carrées.
Dans notre prochain exemple, nous verrons comment déterminer une coordonnée manquante du sommet d’un triangle en utilisant son aire et les déterminants.
Remplissez le vide. Si l’aire d’un triangle dont les sommets sont ℎ, zéro ; six, zéro ; et zéro, trois est de neuf unités carrées, alors que vaut ℎ. Est-ce l’option (A) zéro ou moins 12 ? Option (B) zéro ou 12. Option (C) moins six ou six. Ou est-ce l’option (D) 12 ou moins 12 ?
Dans cette question, on nous donne les coordonnées des sommets d’un triangle qui contient une seule coordonnée inconnue et l’aire d’un triangle. Nous voulons utilise ceci pour trouver les valeurs possibles de l’inconnu. Nous pourrions le faire en utilisant n’importe quelle méthode pour trouver l’aire d’un triangle. Cependant, comme on nous donne les sommets, nous le ferons en utilisant les déterminants.
Nous rappelons que l’aire d’un triangle peut être calculée en utilisant la formule un-demi fois la valeur absolue du déterminant de la matrice trois par trois 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, un, 𝑥 indice deux, 𝑦 indice deux, un, 𝑥 indice trois, 𝑦 indice trois, un, où 𝑥 indice 𝑖 et 𝑦 indice 𝑖 sont les coordonnées de chaque sommet du triangle pour chaque valeur de 𝑖.
Nous pouvons remplacer les coordonnées du triangle et l’aire qui est égale à neuf dans cette formule pour obtenir l’équation suivante. Nous pouvons résoudre pour trouver ℎ en développant et en isolant ℎ d’un membre de l’équation. Nous pouvons évaluer le déterminant de plusieurs façons. Le plus simple est de noter que la deuxième colonne contient deux zéros. Donc, développer suivant cette colonne n’aura qu’un seul terme différent de zéro.
Nous obtenons la moitié de la valeur absolue de moins trois fois ℎ moins six. Nous pouvons simplifier davantage en retirant le facteur de moins trois de la valeur absolue. Cela devient un facteur de plus trois pour donner le suivant. Cela équivaut à l’aire du triangle, qui est neuf. Nous pouvons résoudre pour trouver ℎ en réarrangeant. Nous divisons les deux membres de l’équation par trois sur deux. Cela donne que six est égal à la valeur absolue de ℎ moins six.
Nous pouvons alors résoudre cette équation de valeur absolue en construisant deux équations. Soit six égale ℎ moins six, soit six égale moins un fois ℎ moins six. Résoudre chaque équation nous donne que ℎ est égal à 12 ou ℎ est égal à zéro. Nous pouvons alors voir que cela est donné par l’option (B).
Jusqu’à présent, nous n’avons cherché à trouver que l’aire d’un triangle en utilisant les déterminants. Cependant, il est possible d’étendre cette idée à n’importe quel polygone du plan. Un exemple très utile en est l’application aux parallélogrammes.
Disons que nous avons un parallélogramme où nous connaissons les coordonnées de trois sommets. Nous pouvons diviser le parallélogramme en deux triangles superposables le long de sa diagonale. Nous pouvons ensuite utiliser notre formule pour l’aire d’un triangle en utilisant les déterminants pour trouver une expression pour l’aire du parallélogramme.
Tout d’abord, nous notons que l’aire du parallélogramme 𝑃 est le double de l’aire de l’un des triangles superposables 𝑇, qui constituent le parallélogramme. Ensuite, nous trouvons l’aire du triangle avec des sommets connus en utilisant notre formule pour les déterminants pour obtenir l’expression suivante. Nous pouvons simplifier un demi fois deux pour en donner un. Nous avons ensuite une formule pour l’aire d’un parallélogramme à partir des coordonnées de trois sommets quelconques.
Nous pouvons réellement simplifier cette formule et la formule de l’aire d’un triangle encore en considérant les propriétés des déterminants et l’aire des formes superposables. Par exemple, nous pouvons translater les coordonnées de l’un des sommets du parallélogramme en l’origine. Dans ce cas, nous translaterions horizontalement 𝑥 indice un unités et verticalement 𝑦 indice un unités, avec des sens donnés par les signes de ces coordonnées. Nous pouvons trouver les coordonnées exactes des points affichés en appliquant les transformations. Par exemple, 𝑎 sera égal à 𝑥 indice trois moins 𝑥 indice un. Cependant, nous appellerons ces points 𝑎, 𝑏 et 𝑐, 𝑑 comme indiqué.
Nous pouvons maintenant appliquer notre formule pour l’aire d’un parallélogramme à trois sommets connus afin d’obtenir l’expression suivante pour l’aire. Cependant, puisque nous avons translaté un sommet en l’origine, nous pouvons voir qu’une ligne de cette matrice est zéro, zéro, un. Nous pouvons développer le déterminant suivant cette ligne pour simplifier l’expression. Nous trouvons que l’aire est égale à la valeur absolue du déterminant de la matrice deux par deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Nous pouvons utiliser l’une ou l’autre de ces formules pour trouver l’aire d’un parallélogramme dans le plan à partir de ses sommets, comme nous le verrons dans notre exemple suivant.
Utilisez les déterminants pour calculer l’aire du parallélogramme avec les sommets un, un ; moins quatre, cinq ; moins deux, huit ; et trois, quatre.
Dans cette question, on nous donne les coordonnées des quatre sommets d’un parallélogramme dans le plan et on nous demande d’utiliser les déterminants pour calculer l’aire de ce parallélogramme. Il y a deux méthodes que nous pourrions utiliser, et nous les examinerons.
Nous pouvons commencer par rappeler que l’aire d’un parallélogramme peut être calculée comme la valeur absolue du déterminant de la matrice suivante, dont les composantes de chaque ligne sont données par les coordonnées d’un sommet et une entrée finale de un. Nous pouvons choisir trois sommets pour calculer l’aire de ce parallélogramme. C’est généralement une bonne idée de prendre des sommets avec des coordonnées nulles pour faciliter le développement. Nous avons l’expression suivante pour l’aire. Nous pouvons alors évaluer cette expression en développant la première ligne et en simplifiant. Cela nous donne une aire de 23 unités carrées.
Une deuxième méthode que nous pouvons utiliser consiste à translater un sommet du parallélogramme pour qu’il soit à l’origine. Par exemple, nous pouvons translater chaque sommet d’une unité vers la gauche et d’une unité vers le bas, bien que nous ne devions le faire que pour trois sommets. On peut alors utiliser le fait que l’aire d’un parallélogramme avec un sommet à l’origine et deux sommets en 𝑎, 𝑏 et 𝑐, 𝑑 est donnée par la valeur absolue du déterminant de la matrice 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 pour trouver l’aire de ce parallélogramme. Nous substituons les coordonnées des points translatés dans cette formule pour obtenir l’expression suivante, que nous pouvons évaluer. Nous prenons la valeur absolue de la différence de produit des diagonales pour obtenir 23 unités carrées.
Dans notre prochain exemple, nous verrons comment étendre ce processus à n’importe quel polygone du plan en utilisant la triangulation.
Considérons le quadrilatère avec les sommets 𝐴 un, trois ; 𝐵 quatre, deux ; 𝐶 4,5, cinq ; et 𝐷 deux, six. En le divisant en deux triangles comme indiqué, calculez l’aire de ce quadrilatère en utilisant les déterminants.
Nous voulons trouver l’aire de ce quadrilatère en utilisant les aires des deux triangles et les déterminants. Nous pouvons commencer par rappeler que l’aire d’un triangle est donnée par la moitié de la valeur absolue du déterminant de la matrice dont les lignes sont données par chaque coordonnée d’un sommet et une composante finale de un. Nous pouvons appliquer cela à chaque triangle séparément.
Commençons par 𝑇 indice un, qui est le triangle 𝐴𝐶𝐷. Nous substituons les coordonnées données de ces points dans la formule pour obtenir l’expression suivante. Nous pouvons ensuite développer la première ligne de la matrice pour obtenir l’expression suivante, que nous pouvons calculer et qui est égale à 4,25 unités carrées.
Nous devons appliquer le même processus pour l’autre triangle. Nous pouvons le faire en substituant les coordonnées de 𝐴, 𝐵 et 𝐶 dans la formule dans n’importe quel ordre pour obtenir l’expression suivante. Nous pouvons ensuite développer sur la première ligne et évaluer pour trouver que l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 est de 4,75 unités carrées. Enfin, nous pouvons trouver l’aire du quadrilatère en ajoutant les aires des deux triangles. Nous constatons qu’il a une superficie de neuf unités carrées.
Nous pouvons appliquer ce processus à n’importe quel quadrilatère avec des sommets connus en le divisant d’abord en triangles. Cela s’appelle la triangulation.
Il y a une dernière propriété utile que nous pouvons considérer en utilisant nos formules pour les aires à l’aide de déterminants.
Prenons un cas où le déterminant de la matrice suivante est égal à zéro. Nous savons que ce déterminant nous indique l’aire algébrique d’un parallélogramme avec trois sommets en ces coordonnées, ou le double de l’aire algébrique d’un triangle avec ces sommets. Pour que ce déterminant soit égal à zéro, les figures elles-mêmes doivent avoir une aire nulle. Cela n’est possible que si les trois points se trouvent sur une droite. Par conséquent, cela nous donne une méthode pour vérifier si trois points sont alignés. Il convient également de noter que cette propriété fonctionne à l’envers. Si les trois points sont alignés, alors le triangle avec ces sommets à une aire nulle. Le déterminant de cette matrice doit donc être zéro.
Voyons un dernier exemple d’utilisation de cette propriété pour vérifier l’alignement de trois points donnés.
En utilisant les déterminants, déterminez lesquels des ensembles de points suivants sont alignés. Option (A) 𝐴 moins six, quatre ; 𝐵 moins huit, quatre ; 𝐶 trois, 10. Option (B) 𝐴 moins 10, moins quatre ; 𝐵 moins huit, moins deux ; 𝐶 moins cinq, un. Option (C) 𝐴 moins trois, six ; 𝐵 huit, moins sept ; 𝐶 moins trois, moins huit. Ou est-ce l’option (D) 𝐴 moins 10, moins six ; 𝐵 moins deux, un ; 𝐶 zéro, moins neuf ?
Nous rappelons d’abord que nous pouvons vérifier l’alignement d’un triplet de points dans le repère cartésien en utilisant les déterminants. En particulier, si le déterminant de cette matrice est zéro, alors les trois points seront alignés. Et si les trois points sont alignés, le déterminant de cette matrice sera zéro.
Par conséquent, nous pouvons déterminer l’alignement de chaque triplet en évaluant le déterminant de chaque matrice générée à partir des trois points. La substitution des coordonnées données dans l’option (A) dans cette matrice nous donne le déterminant de la matrice trois par trois suivante. Nous pouvons évaluer le déterminant de cette matrice en développant suivant la première ligne et en évaluant pour obtenir moins 12. Ceci n’est pas nul, donc les trois points ne sont pas alignés.
Nous pouvons suivre le même processus pour le triplet dans l’option (B). Nous substituons leurs coordonnées dans la matrice, développons suivant la première ligne et évaluons pour obtenir zéro. Puisque le déterminant de cette matrice est zéro, nous pouvons conclure que les points doivent être alignés.
Pour la diligence raisonnable, nous pouvons également vérifier les deux dernières options de la même manière. Pour le triplet de l’option (C), nous constatons que le déterminant de cette matrice est moins 154. Donc les trois points ne sont pas alignés. De même, dans l’option (D), nous constatons que le déterminant de la matrice générée est moins 94. Par conséquent, seuls les points de l’option (B) sont alignés.
Récapitulons maintenant les points clés de cette leçon. Premièrement, nous avons vu que nous pouvons calculer l’aire d’un triangle à partir des coordonnées de ses sommets en utilisant un déterminant. Son aire est la moitié de la valeur absolue du déterminant de la matrice dont les lignes sont chacune des coordonnées de chaque sommet du triangle et la composante finale est de un. Nous pouvons également diviser tout polygone en triangles, puis utiliser cette formule pour trouver l’aire de chaque triangle en utilisant les coordonnées des sommets. Cela nous permet de trouver l’aire de tout polygone en utilisant les déterminants des coordonnées de ses sommets.
Nous avons également vu que nous pouvons trouver l’aire d’un parallélogramme à partir des coordonnées de trois sommets en utilisant des déterminants. Nous pouvons simplifier ces deux formules de déterminants en matrices deux par deux en translatant les figures pour qu’elles aient un sommet à l’origine.
Enfin, nous avons vu que nous pouvons vérifier l’alignement des points dans le plan en utilisant les déterminants. En particulier, si trois points du plan sont alignés, alors le triangle avec ces points comme sommets a une aire égale à zéro. La formule de l’aire doit donc également donner zéro. Cela revient à dire que le déterminant de la matrice est zéro. Le même résultat est vrai à l’inverse. Si ce déterminant est nul, alors les trois points doivent être alignés.
