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Qu’est-ce qu’une fonction ?
Dans cette question, on nous demande de rappeler la définition d’une fonction. En fait, il existe différentes façons de définir une fonction. Nous allons passer en revue quelques-unes des définitions les plus communes ici. Premièrement, nous pouvons dire qu’une fonction prend chaque membre d’un ensemble et lui fait correspondre exactement un membre d’un deuxième ensemble. Et il y a quelques choses importantes que nous devons noter à propos de cette définition. Premièrement, nous devons savoir que les premier et le deuxième ensembles ne doivent pas nécessairement être différents. Ils peuvent être le même ensemble. Par exemple, nous pouvons considérer que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à deux 𝑥, où la valeur d’entrée est un nombre réel et la valeur de sortie est un autre nombre réel. Et cela correspond à notre définition. Nous pouvons prendre n’importe quel membre de l’ensemble des nombres réels, le prendre comme entrée dans notre fonction pour le doubler, et nous obtenons exactement un membre dans le deuxième ensemble.
Mais ce n’est qu’une façon de définir une fonction. Nous pouvons remarquer que cette définition est très similaire à celle d’une relation. Et cela signifie que nous pourrons définir une fonction en terme de relation. On rappelle qu’une relation, ou plus précisément une relation binaire, sur deux ensembles 𝑋 et 𝑌, est un ensemble de paires ordonnées 𝑥 minuscule, 𝑦 minuscule, où 𝑥 minuscule est un élément de l’ensemble 𝑋 et 𝑦 minuscule est un élément de l’ensemble 𝑌. On peut alors dire que 𝑥 est lié à 𝑦 si le couple 𝑥, 𝑦 appartient à l’ensemble. Et nous pouvons également utiliser cela pour définir une fonction. La première valeur de notre couple sera la valeur d’entrée. Et la deuxième valeur de notre ensemble sera la valeur de sortie.
Cependant, nous devons être prudents car toutes les relations ne donneront pas une fonction. Parce que, rappelez-vous, une fonction doit prendre chaque membre du premier ensemble et lui faire correspondre exactement un membre du deuxième ensemble. Dans notre relation, nous avons appelé le premier ensemble 𝑋, et le deuxième ensemble 𝑌. Par conséquent, pour qu’une relation soit une fonction, elle doit avoir deux propriétés. Chaque élément de 𝑋 doit être lié à un élément de 𝑌, et il doit être lié à exactement un élément de 𝑌. Nous pouvons l’écrire plus clairement comme une propriété. Une fonction est une relation qui relie chaque valeur d’entrée à exactement une valeur de sortie, ce qui nous permet alors de répondre à la question « Qu’est-ce qu’une fonction ? » C’est une relation qui relie chaque valeur d’entrée à exactement une valeur de sortie.
