Video Transcript
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier une fonction à partir d’une relation représentée par un ensemble de couples, un diagramme des relations, une équation ou un graphique.
Rappelons qu’une relation ou une application transforme des éléments d’un ensemble en éléments d’un autre. Si chaque antécédent de cette relation a exactement une image, cette relation est une fonction. Commençons par définir formellement cela. Une fonction associe chaque élément d’un ensemble de définition à exactement un élément d’un ensemble d’images. Les fonctions peuvent être injective, où une image a un seul antécédent, ou non-injectives, où une même image a plusieurs antécédents. Si une fonction 𝑓 associe des éléments de 𝑥 à 𝑦, on peut utiliser la notation suivante. On peut représenter des fonctions par des couples, des diagrammes de relations, des équations et des graphiques. Dans notre premier exemple, nous allons montrer comment utiliser cette définition d’une fonction pour déterminer si un ensemble de couples définit une fonction.
Laquelle des relations suivantes représente une fonction ?
Dans cette question, on nous donne deux relations 𝐴 et 𝐵, qui contiennent chacune cinq couples. Nous commençons par rappeler qu’une fonction est une règle qui prend chaque membre d’un ensemble et l’associe à exactement un membre dans un second ensemble. Pour un groupe de couples 𝑥, 𝑦, l’antécédent est 𝑥 et l’image est 𝑦. Cela signifie que pour qu’un groupe de couples représente une fonction, deux couples ne peuvent pas avoir le même antécédent et une image différente. En d’autres termes, si deux couples ont la même valeur de 𝑥, leurs valeurs de 𝑦 doivent aussi être égales.
Nous observons que la relation 𝐴 a deux couples avec une valeur 𝑥 de quatre. Pour que la relation 𝐴 soit une fonction, les valeurs correspondantes de 𝑦 dans ces couples doivent également être les mêmes. Cependant, les couples sont quatre, 12 et quatre, 15. Puisque les valeurs de 𝑦 ne sont pas les mêmes, la relation 𝐴 ne peut pas être une fonction. La relation 𝐴 a également deux couples avec une valeur 𝑥 de cinq. Ils ont aussi des différentes valeurs de 𝑦 : les couples cinq, 18 et cinq, 21. On peut donc conclure que la relation 𝐴 ne représente pas une fonction.
Les couples de la relation 𝐵 ont des valeurs uniques de 𝑥 : les entiers quatre, cinq, six, sept et huit. Cela satisfait la condition selon laquelle une fonction prend chaque membre d’un ensemble et l’associe à exactement un membre du second ensemble. On peut donc conclure que la relation qui représente une fonction est la relation 𝐵.
Nous pourrions également représenter ces couples sur un diagramme de relations. Si on commence par considérer la relation 𝐴, on observe que les éléments quatre et cinq de l’ensemble de définition ou de la colonne des 𝑥 sont associés à plus d’un élément dans la colonne des 𝑦 ou des images. Ce diagramme ne peut donc pas représenter une fonction. Pour qu’un diagramme de relations représente une fonction, chaque antécédent doit avoir une seule image. Lorsqu’on considère la relation 𝐵, on voit que chaque antécédent, les entiers quatre, cinq, six, sept et huit, ont une seule image, les entiers 12, 15, 18, 21 et 24. Bien que cela ne soit pas requis pour cette question, on constate que les valeurs de 𝑦 sont trois fois les valeurs de 𝑥. On peut donc écrire la fonction comme l’équation 𝑦 égale trois 𝑥.
Dans ce premier exemple, nous avons vu qu’on peut identifier si une relation est une fonction en utilisant des couples ou un diagramme de relations. Voyons maintenant ce qui se passe lorsqu’on représente une relation graphiquement. Puisqu’on peut représenter une fonction par un ensemble de couples, il s’ensuit qu’on peut également utiliser un graphique comme représentation visuelle d’une fonction. Le graphique d’une fonction 𝑓 est défini par un ensemble de couples 𝑥, 𝑦 tel que 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. Par exemple, on considère la fonction 𝑓 qui associe 𝑥 à 𝑥 au carré. L’ensemble des couples qui représente cette fonction est défini par 𝑥, 𝑥 au carré. Et la représentation graphique de la fonction est la courbe de 𝑦 égale 𝑥 au carré comme indiqué.
Ceci est un exemple de fonction qui n’est pas injective car il existe des valeurs dans l’ensemble image de la fonction qui sont associées à plus d’une valeur dans le domaine. Par exemple, les points deux, quatre et moins deux, quatre ont la même valeur de 𝑦 mais une valeur différente de 𝑥. Pour déterminer si un graphique représente une fonction ou non, on utilise le test de la droite verticale. Pour effectuer le test de la droite verticale, on commence par tracer une droite parallèle à l’axe des 𝑦. Si la droite verticale coupe la courbe plusieurs fois, la représentation graphique n’est pas celle d’une fonction. Cependant, si la droite coupe la courbe exactement une fois pour un ensemble de définition donné, le graphique représente une fonction.
Considérons deux exemples. Dans la première figure, une droite verticale coupe la courbe deux fois. Cela signifie que ce graphique ne représente pas une fonction. Cependant, dans la seconde figure, toute droite verticale coupera la courbe exactement une fois. Cela signifie que ce graphique représente une fonction. Nous allons maintenant examiner une application du test de la droite verticale.
Laquelle des relations suivantes représente une fonction sachant que 𝑥 est l’antécédent et 𝑦 est l’image ?
Pour répondre à cette question, nous allons utiliser le test de la droite verticale. Il s’agit d’une méthode graphique pour déterminer si une représentation graphique est celle d’une fonction. Si un graphique représente une fonction, toute droite verticale coupera la fonction au plus une fois. Nous allons donc ajouter une droite verticale sur nos diagrammes et inspecter le nombre de points d’intersection avec les courbes. Dans la figure (A), on constate que si on ajoute la droite verticale 𝑥 égale cinq, la droite coupe la courbe deux fois. Cela signifie que le graphique (A) ne peut pas représenter une fonction. La droite verticale 𝑥 égale moins quatre coupe la courbe du graphique (B) exactement une fois. On peut translater cette droite verticale de n’importe quelle distance horizontalement, et ce sera toujours le cas. Nous pouvons donc conclure que le graphique (B) représente une fonction. La bonne réponse est (B).
Notre définition dit qu’une fonction est une règle qui associe un antécédent à exactement une image. Dans de nombreux cas, on peut définir cette règle algébriquement. Par exemple, le graphique (B) représente une fonction de la courbe 𝑦 égale deux 𝑥 plus quatre. Libérons de l’espace et voyons comment nous pouvons définir cela comme une fonction. Nous pouvons définir la fonction en utilisant la notation de fonction étant donné que 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 plus quatre. Alternativement, on peut utiliser la notation par flèche. Cela signifie qu’on peut déterminer si 𝑓 représente une fonction en traçant la courbe de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 et en effectuant le test de la droite verticale.
Peut-on exprimer l’équation 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré égale quatre comme une fonction ? Si oui, écrivez la fonction.
Nous rappelons qu’on peut utiliser le test de la droite verticale pour déterminer si un graphique représente une fonction. Cela signifie que pour déterminer si on peut exprimer l’équation 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré égale quatre comme une fonction, on peut la représenter graphiquement. Toute équation de la forme 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré égale 𝑟 au carré représente un cercle qui est centré à l’origine avec un rayon 𝑟. Dans cette question, puisque 𝑟 au carré est égal à quatre et 𝑟 doit être positif, le rayon de notre cercle est deux. Si on esquisse le cercle, on voit qu’il coupe les axes des 𝑥 et 𝑦 au point deux et moins deux.
Si on ajoute une droite verticale à notre diagramme, on constate qu’elle coupe le cercle deux fois. Comme il y a plus d’un point d’intersection, le graphique ne représente pas une fonction. Nous pouvons donc conclure que : on ne peut pas exprimer l’équation 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré égale quatre comme une fonction. La bonne réponse est non.
Dans cette question, il était assez facile de tracer la représentation graphique de l’équation afin de pouvoir effectuer le test de la droite verticale. Cependant, nous aurions pu essayer de réécrire l’équation en fonction de 𝑥. Lorsqu’on soustrait 𝑥 au carré des deux côtés de notre équation on obtient 𝑦 au carré est égal à quatre moins 𝑥 au carré. Si on prend la racine carrée des deux côtés de cette équation on obtient 𝑦 est égal à plus ou moins la racine carrée de quatre moins 𝑥 au carré. On constate que lorsqu’on prend la racine carrée des deux côtés de l’équation, on considère la racine carrée positive et négative de l’expression quatre moins 𝑥 au carré. Cela signifie que pour toute valeur de 𝑥, il pourrait y avoir deux images possibles, une positive et une négative. Puisqu’une fonction associe chaque élément d’un ensemble à exactement un élément d’un second ensemble, on peut déduire que l’équation 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré égale quatre ne peut pas représenter une fonction.
Dans notre dernier exemple, nous allons montrer comment effectuer un processus similaire pour représenter une équation en notation fonctionnelle.
Lequel des énoncés suivants représente l’équation 𝑦 au cube égale 𝑥 au carré plus un exprimée en notation fonctionnelle ? Est-ce (A) 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus un ? (B) 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus un le tout au cube. Est-ce (C), on ne peut pas exprimer cela comme une fonction ? (D) 𝑓 de 𝑥 égale la racine cubique de 𝑥 au carré plus un. Ou (E) 𝑓 de 𝑦 égale 𝑥 au carré plus un.
Pour écrire une équation en notation fonctionnelle, on doit vérifier si on peut exprimer 𝑦 en fonction de 𝑥 telle que 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. Nous allons donc réorganiser l’équation pour obtenir une expression pour 𝑦. Pour ce faire, nous allons prendre la racine cubique des deux côtés de l’équation. Cela nous donne 𝑦 est égal à la racine cubique de 𝑥 au carré plus un. On constate que 𝑦 est écrit en fonction de 𝑥. En d’autres termes, pour évaluer 𝑦, on peut substituer une valeur de 𝑥 dans l’expression, la racine cubique de 𝑥 au carré plus un. Pour exprimer 𝑦 au cube égale 𝑥 au carré plus un en notation fonctionnelle, on a 𝑓 de 𝑥 est égal à la racine cubique de 𝑥 au carré plus un. La bonne réponse est l’option (D).
Il est important de noter que réorganiser une équation pour écrire 𝑦 en fonction de 𝑥 ne donne pas toujours une fonction. Nous devons nous assurer que toute valeur de 𝑥 du domaine de cette fonction nous donne une valeur unique de 𝑦 lorsqu’on la substitue. Pour cette raison, toute réécriture de l’expression qui nécessite d’inverser un exposant pair, par exemple, la racine carrée ou la racine quatrième, n’aboutira pas à une fonction.
Nous allons maintenant terminer cette vidéo en récapitulant quelques points clés. Une fonction associe chaque élément d’un ensemble de définition à exactement un élément d’un ensemble image. Les fonctions peuvent être injective, une image a un antécédent, ou non-injective, où une même image a plusieurs antécédents. Nous avons vu qu’on peut représenter les fonctions par des couples, des diagrammes de relations, des équations et des graphiques. La notation fonctionnelle 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 signifie que 𝑦 est une fonction de 𝑥. La notation par flèche indiquée signifie que la fonction 𝑓 associe les éléments de l’ensemble 𝑋 à un élément de l’ensemble 𝑦. Nous avons vu dans cette vidéo qu’il existe plusieurs façons de tester si une relation est une fonction. Une façon de le faire graphiquement était d’utiliser le test de la droite verticale.
