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Fiche explicative de la leçon: Identifier les fonctions Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier une fonction à partir d’une relation représentée par un ensemble de couples, un diagramme sagittal, une équation ou un graphique.

Une relation, ou correspondance, transforme des éléments d’un ensemble en éléments d’un autre. Si chaque valeur d’entrée de cette correspondance a exactement une valeur de sortie, on l’appelle une fonction.

Définition : Fonctions

Une fonction associe chaque élément d’un ensemble de départ à exactement un élément de l’ensemble d’arrivée. Les fonctions peuvent être injectives (une valeur d’entrée a une valeur de sortie) ou non (plusieurs valeurs d’entrée ont la même valeur de sortie).

Si une fonction 𝑓 associe des éléments de 𝑋 à 𝑌, on peut utiliser la notation suivante:𝑓𝑋𝑌.

Les fonctions peuvent être représentées par des couples de nombres, des diagrammes sagittaux, des équations et des graphiques.

Dans le premier exemple, nous allons montrer comment appliquer cette définition d’une fonction pour déterminer si un ensemble de couples définit une fonction.

Exemple 1: Identifier si un ensemble de couples définit une fonction

Laquelle des relations suivantes représente une fonction?

Relation A(4;12)(4;15)(5;18)(5;21)(6;24)
Relation B(4;12)(5;15)(6;18)(7;21)(8;24)

Réponse

On rappelle qu’une fonction est une formule qui prend chaque membre d’un ensemble et l’associe à exactement un membre d’un deuxième ensemble. Pour un ensemble de couples (𝑥;𝑦) la valeur d’entrée est 𝑥 et la valeur de sortie est 𝑦. Pour que l’ensemble de couples représente une fonction, deux couples ne peuvent pas avoir la même valeur d’entrée et une valeur de sortie différente. En d’autres termes, si deux couples ont la même valeur de 𝑥, leur valeur de 𝑦 doit également être la même.

On observe que la relation A a deux couples avec une valeur de 𝑥 égale à 4. Si la relation A est une fonction, alors les valeurs de 𝑦 correspondantes dans ces couples doivent aussi être égales. Cependant, les couples sont (4;12) et (4;15). Comme les valeurs de 𝑦 ne sont pas identiques, la relation A ne peut pas représenter une fonction. De même, la relation a deux couples avec une valeur de 𝑥 de 5, mais avec des valeurs de 𝑦 différentes.

Les couples de la relation B ont des valeurs de 𝑥 uniques donc la relation B représente une fonction.

On peut représenter les couples en utilisant un diagramme de correspondance, ou diagramme sagittal. Ces diagrammes sont constitués de colonnes parallèles qui représentent individuellement l’ensemble de départ de la fonction et l’ensemble d’arrivée de la fonction.

On considère la relation A de l’exemple 1. On peut représenter cette relation dans un diagramme comme illustré ci-dessous.

On observe que les éléments 4 et 5 de la colonne de départ correspondent à plus d’un élément dans la colonne d’arrivée. Ce diagramme sagittal ne peut donc pas représenter une fonction.

On remarque que pour qu’un diagramme sagittal représente une fonction, chaque valeur d’entrée doit avoir une valeur de sortie unique.

Nous allons maintenant étudier un exemple qui demande d’identifier une fonction à partir de trois diagrammes sagittaux.

Exemple 2: Identifier des fonctions à partir de diagrammes sagittaux

Laquelle des relations suivantes représente une fonction?

Réponse

Dans cette question, on a trois diagrammes sagittaux. Ces diagrammes sont utilisés pour représenter la relation entre les valeurs d’entrée et les valeurs de sortie. Un diagramme sagittal représente une fonction si et seulement si les éléments d’un ensemble correspondent exactement à un élément du deuxième ensemble.

On commence par le diagramme A. Les éléments 𝑎 et 𝑐 sont respectivement associés aux éléments uniques 1 et 3. Ces valeurs d’entrée ont exactement une valeur de sortie. Cependant, on sait aussi que pour qu’un diagramme sagittal représente une fonction, chaque valeur d’entrée doit avoir une valeur de sortie. L’élément 𝑏 ne correspond à aucun élément du deuxième ensemble, donc le diagramme sagittal A ne représente pas une fonction. En fait, ceci est un exemple de diagramme sagittal non valide, car un diagramme sagittal doit donner une valeur de sortie à toutes les valeurs d’entrée.

On considère ensuite le diagramme B.

Dans ce diagramme sagittal, chaque valeur d’entrée a une valeur de sortie. Cependant, l’élément 𝑐 est associé aux éléments 2 et 3 du deuxième ensemble. Comme les éléments d’un ensemble doivent correspondre exactement à un élément du deuxième ensemble, le diagramme sagittal B ne peut pas représenter une fonction.

On pourrait alors en déduire que le diagramme C représente une fonction. On peut confirmer cela en vérifiant que chaque valeur d’entrée a exactement une valeur de sortie. L’élément 𝑎 correspond à 3, l’élément 𝑏 correspond à 1, et l’élément 𝑐 correspond à 3.

Le diagramme sagittal C représente une fonction.

Dans l’exemple précédent, on a vu que C est une relation qui représente une fonction. Pour cette fonction, l’ensemble des valeurs d’entrée ( 𝑎, 𝑏 et 𝑐 ) est appelé l’ensemble de définition de la fonction et l’ensemble des valeurs de sorties possibles (1, 2, 3 et 4) est appelé l’ensemble d’arrivée de la fonction. Les valeurs de sortie effectives de la fonction, dans ce cas 1 et 3, sont appelées l’ensemble image de la fonction.

Puisqu’une fonction peut être représentée par un ensemble de couples, on peut donc également utiliser un graphique comme représentation visuelle d’une fonction. La représentation graphique d’une fonction 𝑓 est définie par un ensemble de couples (𝑥;𝑦) tels que 𝑦=𝑓(𝑥).

Par exemple, on considère la fonction définie par 𝑓𝑥𝑥. L’ensemble des couples qui représentent cette fonction est donné par 𝑥;𝑥, 𝑥. Alors, la représentation graphique de la fonction est la représentation graphique de 𝑦=𝑥 comme illustré ci-dessous.

Il s’agit d’un exemple de fonction non injective:il existe des valeurs dans l’ensemble image de la fonction associées à plus d’une valeur dans l’ensemble de définition.

Pour déterminer si une représentation graphique correspond à une fonction, nous utilisons le test de la droite verticale.

Comment utiliser le test de la droite verticale

On utilise une règle ou un objet droit pour tracer une droite parallèle à l’axe des ordonnées 𝑦 pour une valeur de 𝑥. Si la droite verticale coupe la courbe représentative plus d’une fois, la représentation graphique ne correspond pas à une fonction. Si la droite coupe la courbe représentative exactement une fois pour un ensemble donné de valeurs d’entrée (qui ne doivent pas nécessairement être toutes des nombres réels), alors la représentation graphique correspond à une fonction.

Sur la figure 1, une droite verticale coupe la courbe représentative deux fois. Cette représentation graphique ne correspond pas à une fonction. Sur la figure 2, une droite verticale coupe exactement une fois la courbe en tous les points de l’ensemble de définition de la fonction, donc la représentation graphique correspond à une fonction.

Nous allons maintenant montrer une application du test de la droite verticale.

Exemple 3: Utiliser le test de la droite verticale pour identifier des fonctions

Laquelle des relations suivantes représente une fonction sachant que 𝑥 est la valeur d’entrée et que 𝑦 est la valeur de sortie?

Réponse

Le test de la droite verticale est une manière graphique de déterminer si une représentation graphique correspond à une fonction. Si une représentation graphique correspond à une fonction, toute droite verticale doit la couper au plus une fois. On va donc ajouter une droite verticale aux deux figures et inspecter le nombre de points d’intersection avec les courbes représentatives.

On observe que si on ajoute la droite verticale 𝑥=5 sur la représentation graphique (a), la droite coupe deux fois la courbe représentative. Donc, la représentation graphique (a) ne peut pas correspondre à une fonction.

La droite verticale 𝑥=4 coupe la courbe représentative (b) exactement une fois. On pourrait translater cette droite verticale de n’importe quelle distance horizontale et ce serait toujours le cas.

Donc, la représentation graphique (b) correspond à une fonction.

La définition d’une fonction stipule qu’il s’agit d’une règle qui associe une valeur d’entrée à exactement une valeur de sortie. Dans de nombreux cas, on peut définir cette règle de manière algébrique. Par exemple, dans l’exemple 3, la représentation graphique qui correspondait à une fonction était la représentation graphique de 𝑦=2𝑥+4. La fonction peut donc être définie par 𝑓(𝑥)=2𝑥+4 (notation fonctionnelle) ou 𝑓𝑥2𝑥+4 (notation par flèche). Cela signifie que l’on peut déterminer si 𝑓 définit une fonction en traçant la représentation graphique de 𝑦=𝑓(𝑥) et en effectuant le test de la droite verticale.

Exemple 4: Reconnaître si une équation représente une fonction

L’équation 𝑥+𝑦=4 peut-elle être exprimée comme une fonction?Si oui, indiquez la fonction.

Réponse

Le test de la droite verticale peut être utilisé pour déterminer si une représentation graphique correspond à une fonction. Afin de déterminer si l’équation 𝑥+𝑦=4 peut être exprimée comme une fonction, on peut tracer sa représentation graphique.

On rappelle que l’équation d’un cercle centré en l’origine dont le rayon est 𝑟 unités est donnée par 𝑥+𝑦=𝑟.

Cela signifie que l’équation 𝑥+𝑦=4 représente un cercle centré en l’origine avec un rayon de 4=2 unités. Sa représentation graphique est tracée ci-dessous.

Pour déterminer si cette représentation graphique correspond à une fonction, on ajoute une droite verticale sur le graphique et on vérifie le nombre de points d’intersection avec la courbe représentative. S’il y a plus d’un point d’intersection, la représentation graphique ne correspond pas à une fonction.

La droite verticale 𝑥=12 coupe deux fois la courbe représentative donc cette représentation graphique, et donc 𝑥+𝑦=4 ne correspond pas à une fonction.

Non, l’équation 𝑥+𝑦=4 ne peut pas être exprimée comme une fonction.

Dans l’exemple précédent, il était assez facile de tracer la représentation graphique de l’équation pour pouvoir effectuer le test de la droite verticale. Cependant, on aurait aussi pu essayer de reformuler l’équation en fonction de 𝑥, comme 𝑥+𝑦=4,𝑦=4𝑥𝑦=±4𝑥.

On remarque que lorsque l’on prend la racine carrée des deux membres de l’équation, on prend la racine carrée positive et négative de l’expression 4𝑥. Cela signifie que pour toute valeur unique de 𝑥, il peut y avoir deux valeurs de sorties possibles, une positive et une négative. Puisqu’une fonction associe chaque élément d’un ensemble à exactement un élément d’un deuxième ensemble, on peut en déduire que l’équation 𝑥+𝑦=4 ne peut pas représenter une fonction.

Dans le dernier exemple, nous allons montrer comment suivre un processus similaire pour exprimer une équation en notation fonctionnelle.

Exemple 5: Reconnaître une équation exprimée en notation fonctionnelle

Laquelle des expressions suivantes est l’équation 𝑦=𝑥+1 exprimée en notation fonctionnelle?

  1. 𝑓(𝑥)=𝑥+1
  2. 𝑓(𝑥)=𝑥+1
  3. Elle ne peut pas être exprimée par une fonction.
  4. 𝑓(𝑥)=𝑥+1
  5. 𝑓(𝑦)=𝑥+1

Réponse

Pour écrire une équation en notation fonctionnelle, on doit vérifier si on peut exprimer 𝑦 comme une fonction de 𝑥, 𝑦=𝑓(𝑥). On réarrange donc l’équation 𝑦=𝑥+1 pour isoler 𝑦. On prend la racine cubique des deux membres de l’équation pour obtenir 𝑦=𝑥+1.

On observe que 𝑦 est maintenant écrit comme une fonction de 𝑥;en d’autres termes, pour déterminer la valeur de 𝑦, on peut substituer une valeur de 𝑥 dans l’expression 𝑥+1.

Pour exprimer 𝑦=𝑥+1 en notation fonctionnelle, on écrit 𝑓(𝑥)=𝑥+1. La réponse est (D).

Dans l’exemple précédent, on a réarrangé une équation pour écrire 𝑦 en fonction de 𝑥. Ce processus ne produit pas toujours une fonction, et il faut veiller à ce que toutes les valeurs de 𝑥 de l’ensemble de définition de cette fonction donnent une valeur unique de 𝑦 lorsqu’elles sont substituées. Pour cette raison, toute reformulation qui nécessite d’annuler un exposant pair (par exemple, la racine carrée ou la racine quatrième) ne produit pas une fonction.

Terminons par résumer certains concepts clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • Une fonction associe chaque élément d’un ensemble de départ à exactement un élément d’un ensemble d’arrivée.
  • Les fonctions peuvent être injectives (une valeur d’entrée a une valeur de sortie) ou non (plusieurs valeurs d’entrée ont la même valeur de sortie).
  • Les fonctions peuvent être représentées par des couples de nombres, des diagrammes sagittaux, des équations et des graphiques.
  • La notation fonctionnelle 𝑦=𝑓(𝑥) signifie que 𝑦 est une fonction de 𝑥.
  • La notation par flèche 𝑓𝑋𝑌 signifie que la fonction 𝑓 associe chaque élément de l’ensemble 𝑋 à un élément de l’ensemble 𝑌.

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