Vidéo question :: Trouver la forme cartésienne de l’équation d’une droite Mathématiques • Troisième secondaire

Transcription de la vidéo

Déterminez la forme cartésienne de l'équation de la droite passant par l'origine et le point d'intersection des deux droites 𝐿 un 𝑟 égale un, un, moins deux plus 𝑡 fois un, quatre, trois et 𝐿 deux 𝑥 égale trois 𝑦 moins cinq sur moins quatre égale 𝑧 moins trois sur moins un.

Bien, voici l'idée. On a ces deux droites 𝐿 un et 𝐿 deux. On sait qu'il y a un point où elles se coupent. On veut donc déterminer l'équation de la droite qui passe par ce point d'intersection et par l'origine. La première étape consiste à déterminer le point d’intersection de 𝐿 un et 𝐿 deux. L'équation de 𝐿 deux est donnée sous ce que l'on appelle une forme cartésienne. En interprétant cette forme, on peut dire que si 𝑥 est toujours égal à trois, 𝑦 moins cinq sur moins quatre et 𝑧 moins trois sur moins un sont tous les deux égaux à un facteur d'échelle que nous pouvons appeler 𝑡 deux.

Cela veut dire que nous pouvons écrire l'équation de 𝐿 deux sous ce que l'on appelle la forme paramétrique. Écrite de cette façon, 𝑥 égale trois toujours, tandis que 𝑦, on peut dire, égale moins quatre fois 𝑡 deux plus cinq. Ceci est ainsi parce que 𝑦 moins cinq sur moins quatre égale 𝑡 deux. De même, parce que 𝑧 moins trois sur moins un égale 𝑡 deux, on peut dire que 𝑧 égale à moins 𝑡 deux plus trois. Après avoir écrit notre droite 𝐿 deux sous forme paramétrique, nous allons faire la même chose avec notre droite 𝐿 un. Cette droite, comme nous le voyons, est donnée sous ce qu'on appelle une forme vectorielle. Si on écrit cette équation sous forme paramétrique, on a que 𝑥 égale à un fois 𝑡 ou 𝑡 plus un. Alors, la composante 𝑦 est égale à quatre fois 𝑡 plus un et la composante 𝑧, trois fois 𝑡 moins deux.

Maintenant, voilà pourquoi nous avons écrit les équations de nos deux droites sous forme paramétrique. Au point d'intersection que nous voulons déterminer entre 𝐿 un et 𝐿 deux, on peut dire que les valeurs 𝑥 de la droite deux et de la droite un sont égales et qu'il en est de même pour les valeurs 𝑦 et 𝑧. Notez que ceci n'est valable qu'au seul point d'intersection de ces deux droites. Au point d'intersection unique, on peut donc dire que ces trois équations sont vraies. Ce que nous allons faire maintenant, c'est utiliser ces équations pour trouver les paramètres 𝑡 et 𝑡 deux.

Comme il y a deux inconnues que nous voulons déterminer, on va choisir deux équations à utiliser pour les trouver. Nous allons choisir les équations pour les valeurs 𝑥 et 𝑦 de notre point. Notre équation en 𝑥, à savoir que trois est égal à 𝑡 plus un, implique que 𝑡 est égal à trois moins un ou deux. Si on substitue ensuite cette valeur de 𝑡 à 𝑡 dans notre équation en 𝑦, on obtient que moins quatre fois 𝑡 deux plus cinq égale quatre fois deux, c'est notre valeur de 𝑡, plus un.

En réarrangeant un peu cette équation, cela veut dire que moins quatre 𝑡 deux égale quatre. Puis, si nous divisons les deux membres de cette équation par moins quatre, on trouve que 𝑡 deux égale moins un. Puisque nous connaissons les valeurs de 𝑡 et 𝑡 deux, on peut les substituer dans ces trois équations partout où elles apparaissent, et les valeurs que nous déterminerons seront les coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de notre point d'intersection de la droite un et de la droite deux. En faisant cela dans notre première équation, cela confirme que 𝑥 égale trois au point d'intersection de ces droites.

Dans la deuxième équation, cela nous dit que la valeur de 𝑦 à ce point est neuf. Et d'après notre troisième équation, on trouve que 𝑧 égale quatre. Donc, le point d'intersection de nos droites est trois, neuf, quatre. Et maintenant que nous savons cela, rappelons un peu la forme cartésienne de l'équation d'une droite. Une droite comme celle-ci peut s'écrire en général comme 𝑥 moins 𝑥 un sur 𝑙 égale à 𝑦 moins 𝑦 un sur 𝑚 égale à 𝑧 moins 𝑧 un sur 𝑛. Ici, 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑧 un sont les coordonnées d'un point par lequel passe cette droite. Et 𝑙, 𝑚, et 𝑛 sont les composantes d'un vecteur parallèle à la droite.

Lorsqu'il s'agit de l'équation de la droite que nous voulons déterminer, il suffit de connaître un point par lequel passe la droite ainsi qu'un vecteur qui lui est parallèle pour pouvoir écrire l'équation de cette droite sous forme cartésienne. Or, nous connaissons déjà un point par lequel passe notre droite. En fait, on connaît deux, l'origine et le point que nous avons recherché, trois, neuf, quatre. On ne connaît pas encore les composantes d'un vecteur colinéaire à notre droite. Mais notez que nous pourrions déterminer un tel vecteur en reliant nos deux points connus le long de la droite. Si on dit que ce vecteur a des composantes 𝑙, 𝑚, et 𝑛, alors ces valeurs sont données par la différence entre les différentes coordonnées de nos deux points. Ce vecteur a simplement pour composantes trois, neuf et quatre.

On a maintenant tout ce dont on a besoin pour écrire la forme cartésienne de l'équation de cette droite. Si on choisit de considérer que l'origine correspond au point 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un par lequel passe notre droite, alors on peut dire que l'équation de notre droite est 𝑥 divisé par trois égale 𝑦 divisé par neuf égale 𝑧 divisé par quatre. Sachez que notre réponse finale serait différente si nous avions choisi un autre point situé sur cette droite. Mais dans tous les cas, l'équation décrirait toujours la même droite dans l'espace. La forme cartésienne qui sera notre réponse finale est donc 𝑥 sur trois égale 𝑦 sur neuf égale 𝑧 sur quatre.