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Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver l’équation d’une droite parallèle ou perpendiculaire à une autre dans l’espace, et à trouver le point d’intersection de deux droites.
Rappelons qu’on peut caractériser une droite en trois dimensions par sa forme vectorielle en utilisant deux données. Nous avons besoin d’un point sur la droite et d’un vecteur non nul parallèle à cette droite. Celui-ci s’appelle le vecteur directeur. Deux vecteurs sont parallèles ou colinéaires s’ils sont multiples scalaires l’un de l’autre. L’équation vectorielle d’une droite en trois dimensions s’écrit 𝐫 de 𝑡 égale 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro plus 𝑡 fois 𝑎, 𝑏, 𝑐. Où 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro est le vecteur position du point appartenant à la droite, et 𝑎, 𝑏, 𝑐 est le vecteur non nul parallèle à la droite.
Naturellement, les composantes du vecteur directeur et les coordonnées du point appartenant à la droite peuvent apparaître explicitement sous diverses formes dans l’équation de la droite. Rappelons donc les deux autres. La forme cartésienne est 𝑥 moins 𝑥 zéro sur 𝑎 égale 𝑦 moins 𝑦 zéro sur 𝑏 égale 𝑧 moins 𝑧 zéro sur 𝑐 pour 𝑎, 𝑏 et 𝑐 non nuls. Et la forme paramétrique est 𝑥 égale 𝑥 zéro plus 𝑎𝑡, 𝑦 égale 𝑦 zéro plus 𝑏𝑡, et 𝑧 égale 𝑧 zéro plus 𝑐𝑡.
Par exemple, supposons qu’une droite passe par le point moins un, moins cinq, quatre et qu’elle soit parallèle au vecteur moins trois, cinq, un. Notons 𝑥 zéro égale moins un, 𝑦 zéro égale moins cinq, et 𝑧 zéro égale quatre. Bien sûr, la droite est parallèle à ce vecteur non nul. Donc 𝑎 égale moins trois, 𝑏 égale cinq et 𝑐 égale un. Cela signifie que l’équation vectorielle de la droite est 𝐫 de 𝑡 égale moins un, moins cinq, quatre plus 𝑡 fois moins trois, cinq, un.
Donc, à l’aide de ces informations, comment déterminer si deux droites données sous forme vectorielle sont parallèles ? Eh bien, peu importe le point par lequel passent les droites ; si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, s’ils indiquent la même direction, alors les droites elles-mêmes sont également parallèles. Bien sûr, bien que notre représentation soit en deux dimensions, cette affirmation vaut également pour les vecteurs à trois dimensions ou plus. Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Voyons d’abord comment trouver la forme vectorielle de l’équation d’une droite dont on sait qu’elle est parallèle à une droite donnée.
Trouvez la forme vectorielle de l’équation de la droite passant par le point 𝐴 deux, cinq, cinq et parallèle à la droite passant par les deux points 𝐵 moins trois, moins deux, moins six et 𝐶 cinq, zéro, moins neuf.
On nous demande de donner la forme vectorielle de l’équation de la droite. Faisons d’abord un rappel là-dessus. Étant donnée une droite passant par le point 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro et parallèle au vecteur 𝑎, 𝑏, 𝑐, son équation est 𝐫 est égal au vecteur 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro plus 𝑡 fois le vecteur 𝑎, 𝑏, 𝑐. On appelle ce vecteur 𝑎, 𝑏, 𝑐 le vecteur directeur de la droite. Nous connaissons déjà le point appartenant à notre droite. C’est 𝐴 deux, cinq, cinq. Donc, d’après la définition de l’équation vectorielle d’une droite, nous pouvons noter 𝑥 zéro égale deux, 𝑦 zéro égale cinq et 𝑧 zéro égale cinq.
Mais comment trouver le vecteur directeur de la droite ? Nous savons qu’il est parallèle à la droite qui passe par les points 𝐵 et 𝐶. Trouvons donc le vecteur 𝚩𝐂. On trouve le vecteur 𝚩𝐂 en prenant le vecteur 𝐎𝐂 moins le vecteur 𝐎𝚩. Puisque les coordonnées indiquent la position de chaque point par rapport à l’origine, alors le vecteur 𝐎𝐂 est simplement le vecteur cinq, zéro, moins neuf et le vecteur 𝐎𝚩 est moins trois, moins deux, moins six. Et donc, la différence entre ces deux vecteurs se calcule simplement en soustrayant leurs composantes individuelles. Cela signifie que pour trouver la première composante, on soustrait moins trois de cinq, et on obtient huit.
De même, la deuxième composante vaut zéro moins moins deux, c’est-à-dire deux. Ensuite, la troisième composante vaut moins neuf moins moins six, soit moins trois. Et donc le vecteur 𝚩𝐂 est le vecteur huit, deux, moins trois. Bien sûr, si deux vecteurs sont colinéaires, ça veut dire qu’un vecteur est un multiple scalaire de l’autre. Et donc le vecteur directeur de notre droite est un multiple scalaire du vecteur huit, deux, moins trois. Bien sûr, ce multiple scalaire peut valoir un. Nous allons donc définir le vecteur directeur de notre droite, notons-le 𝐝, comme étant huit, deux, moins trois.
Maintenant, il ne reste plus qu’à insérer ce que nous savons de notre droite dans la formule générale de l’équation vectorielle d’une droite. Ainsi, l’équation vectorielle est 𝐫 égale à deux, cinq, cinq plus 𝑡 fois huit, deux, moins trois.
Dans notre premier exemple, nous avons traité le cas des droites parallèles. Mais lorsque deux droites du plan à deux dimensions ne sont ni parallèles ni confondues (c’est-à-dire identiques), alors elles ont un point d’intersection. Ce n’est toutefois pas le cas en trois dimensions. Dans ce cas, elles peuvent également être non coplanaires. C’est-à-dire qu’elles ne sont ni sécantes ni parallèles. Mais lorsque deux droites se coupent, alors on peut trouver le point d’intersection de deux droites données en trois dimensions. Voyons comment ça se passe.
Trouvez l’équation cartésienne de la droite passant par l’origine et par le point d’intersection des deux droites 𝐿 un d’équation 𝐫 égale un, un, moins deux plus 𝑡 un, quatre, trois et 𝐿 deux pour laquelle on a 𝑥 égale trois et 𝑦 moins cinq sur moins quatre égale 𝑧 moins trois sur moins un.
Rappelez-vous que si on sait qu’une droite passe par le point 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro et qu’elle est parallèle au vecteur 𝑎, 𝑏, 𝑐, Alors sa forme cartésienne est 𝑥 moins 𝑥 zéro sur 𝑎 égale 𝑦 moins 𝑦 zéro sur 𝑏 égale 𝑧 moins 𝑧 zéro sur 𝑐. Il apparaît donc que pour trouver l’équation de cette droite, on va devoir trouver un point par lequel elle passe et un vecteur qui lui est parallèle. D’ailleurs, on nous dit qu’elle passe par l’origine, dont les coordonnées sont zéro, zéro, zéro. On a donc 𝑥 zéro égale zéro, 𝑦 zéro égale zéro, et 𝑧 zéro égale zéro.
Puisqu’on sait que notre vecteur passe par l’origine et par le point d’intersection des droites 𝐿 un et 𝐿 deux, on va maintenant devoir trouver la valeur de ce point d’intersection. Une fois que nous l’aurons trouvée, nous pourrons utiliser ces informations sur ce point et sur l’origine pour en déduire son vecteur directeur.
Commençons par écrire chaque équation sous forme paramétrique, car c’est généralement plus facile à utiliser. Pour ce faire, il faut distribuer le 𝑡 sur le deuxième vecteur, puis ajouter chacune des coordonnées. Donc 𝑥 égale un plus une fois 𝑡. C’est-à-dire un plus 𝑡. 𝑦 égale un plus quatre 𝑡. Et 𝑧 égale moins deux plus trois 𝑡. Pour la deuxième droite, on sait déjà que 𝑥 égale trois, mais il va falloir réécrire la seconde moitié de cette équation. Appelons 𝑡 chaque côté de l’équation, puisque c’est équivalent. Réécrivons ensuite les deux équations pour exprimer 𝑦 et 𝑧, respectivement, en fonction de 𝑡.
En multipliant par moins quatre, puis en ajoutant cinq de chaque côté de la première équation, on obtient 𝑦 égale cinq moins quatre 𝑡. De même, on obtient 𝑧 égale trois moins 𝑡. Et donc nous avons écrit nos deux équations sous forme paramétrique. Donc, nos droites se coupent en un certain point 𝑥, 𝑦, 𝑧. Donc, ce point est associé à une certaine valeur du paramètre 𝑡 — notons-la 𝑡 un pour la première ligne — et à une autre valeur du paramètre, notons-la 𝑡 deux, pour la deuxième ligne. Ensuite, nous substituerons chaque valeur dans la forme paramétrique des équations de la droite, puis nous les fixerons égales les unes aux autres.
Pour l’abscisse 𝑥, c’est un plus 𝑡 un est égal à trois, qu’on peut résoudre, on obtient 𝑡 un est égal à deux. Ensuite, pour l’ordonnée 𝑦, un plus quatre 𝑡 un est égal à cinq moins quatre 𝑡 deux. Remplaçons ensuite 𝑡 un par deux dans cette équation. Nous obtenons un plus huit égale cinq moins quatre 𝑡 deux. En simplifiant, nous obtenons quatre 𝑡 deux égale moins quatre. Donc 𝑡 deux égale moins un. On s’aperçoit alors qu’il n’y a pas besoin d’effectuer d’autres calculs, bien qu’on puisse substituer ces valeurs dans l’équation correspondante en 𝑧 juste pour vérifier que ça fonctionne.
En remplaçant 𝑡 un par deux et 𝑡 deux par moins un, nous obtenons quatre égale quatre, ce qui indique que nos calculs sont probablement corrects. Et donc nous choisissons l’un de ces paramètres, et nous le substituons dans l’équation correspondante pour trouver le point d’intersection. Utilisons 𝑡 un égale deux et substituons-le dans les formules de 𝐿 un. Nous obtenons un plus deux pour l’abscisse 𝑥, un plus quatre fois deux pour l’ordonnée 𝑦, et moins deux plus trois fois deux pour 𝑧. Et donc le point d’intersection est trois, neuf, quatre.
Appelons 𝑃 ce point d’intersection, alors le vecteur directeur de notre droite est le vecteur qui relie l’origine 𝑂 au point 𝑃. C’est-à-dire tout simplement trois, neuf, quatre. Maintenant, revenons au début et rappelons-nous cette formule de l’équation cartésienne de la droite, nous pouvons écrire 𝑎 égale trois, 𝑏 égale neuf et 𝑐 égale quatre. Utilisons cela dans l’équation d’une droite. L’équation obtenue est 𝑥 sur trois égale 𝑦 sur neuf égale 𝑧 sur quatre.
Jusqu’ici, nous avons traité le cas des droites parallèles, non parallèles, confondues et non-coplanaires. Mais si deux droites se coupent, il y a une autre possibilité. C’est le fait d’être perpendiculaires ou orthogonales l’une à l’autre. Autrement dit, elles se coupent à un angle de 90 degrés. Donnons une définition formelle : deux droites sont perpendiculaires si elles se croisent en un point et que leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Ici, il est également utile de rappeler que deux vecteurs 𝐚 et 𝐛 sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est égal à zéro. Donc, ici, 𝐚 scalaire 𝐛 égale zéro. L’exemple suivant montrera une application de ces définitions.
Considérons les deux droites 𝑥 égale quatre plus deux 𝑡, 𝑦 égale six plus 𝑡, 𝑧 égale deux moins deux 𝑡 et 𝐫 égale six, sept, zéro plus 𝑡 fois cinq, quatre, sept. Déterminez si elles sont parallèles ou perpendiculaires.
On peut déterminer si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires en examinant leurs vecteurs directeurs. Et donc, nous allons d’abord réécrire l’équation de la première droite sous forme vectorielle afin d’en extraire ensuite son vecteur directeur. C’est donc de la forme 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro plus 𝑡 fois 𝑎, 𝑏, 𝑐, où 𝑎, 𝑏, 𝑐 est le vecteur directeur et 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro est un point appartenant à la droite. Pour ce faire, commençons par écrire chaque expression comme la composante de notre vecteur. Ensuite, séparons les composantes comme ceci. Nous obtenons donc quatre, six, deux plus deux 𝑡, 𝑡, moins deux 𝑡. Ensuite, factorisons cette constante 𝑡. Donc, la forme vectorielle de la première droite est quatre, six, deux plus 𝑡 fois deux, un, moins deux.
Maintenant, écrivons le vecteur directeur de chacune de nos droites. Appelons la première droite 𝐿 un. Son vecteur directeur est deux, un, moins deux. Ensuite, le vecteur directeur de la deuxième droite, nous l’appellerons 𝐿 deux, est cinq, quatre, sept. Rappelons que si deux vecteurs sont colinéaires, ici nos vecteurs directeurs, alors l’un est un multiple scalaire de l’autre. Donc, pour que nos droites soient parallèles, il faut que le vecteur directeur deux, un, moins deux puisse s’écrire comme multiple scalaire 𝑘 du vecteur cinq, quatre, sept.
Maintenant, si nous regardons les deuxièmes composantes un et quatre, nous en déduisons que pour que ce soit vrai, 𝑘 doit être égal à un quart, puisqu’un quart de quatre est égal à un. Mais un quart de cinq n’est pas égal à deux, et un quart de sept n’est pas égal à moins deux. Et donc ce n’est pas vrai. Ces vecteurs ne peuvent pas s’écrire comme multiples scalaires l’un de l’autre, et donc les droites ne sont pas parallèles. Nous pourrions en déduire qu’elles sont perpendiculaires. Mais nous allons le vérifier. Pour que deux vecteurs soient orthogonaux, il faut que leur produit scalaire soit nul. Les droites doivent également être sécantes, mais nous en parlerons dans un instant.
Vérifions simplement que le produit scalaire des vecteurs est bien nul. Alors, leur produit scalaire est deux fois cinq plus un fois quatre plus moins deux fois sept, ce qui est en effet égal à zéro. Donc, jusque-là c’est bon. Il faut bien sûr vérifier que les deux droites sont sécantes. Donc, si les deux droites se croisent en un point, il doit exister des valeurs des paramètres 𝑡 un dans la première équation, 𝑡 deux dans la seconde, pour lesquelles les coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧, respectivement, sont égales.
Pour l’abscisse 𝑥, écrivons quatre plus deux 𝑡 un est égal à six plus cinq 𝑡 deux. Pour l’ordonnée 𝑦, c’est six plus 𝑡 un égale sept plus quatre 𝑡 deux. Et puis nous avons l’équation correspondante pour la coordonnée 𝑧. En résolvant deux de ces équations simultanément, nous obtenons 𝑡 un égale un et 𝑡 deux égale zéro. Bien sûr, nous pouvons les vérifier en insérant ces valeurs dans la troisième équation que nous n’avons pas encore utilisée. Substituons 𝑡 un égale un dans l’équation de la première droite, nous trouvons que ce point d’intersection est quatre plus deux, six plus un, deux moins deux, c’est-à-dire six, sept, zéro.
Vérifions pour l’autre droite. Nous obtenons les mêmes valeurs par substitution dans 𝐿 deux. Comme prévu, nous obtenons en effet six, sept, zéro. Et bien sûr, si nous avions substitué 𝑡 un égale un et 𝑡 deux égale zéro dans cette troisième équation que nous n’avons pas utilisée, nous aurions obtenu ce résultat. Donc, puisque les vecteurs directeurs des deux droites sont orthogonaux et que les droites sont sécantes, nous pouvons dire que les droites elles-mêmes sont perpendiculaires.
Récapitulons quelques concepts clés de cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons appris que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Nous avons également vu qu’elles sont perpendiculaires si elles sont sécantes et que leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Si deux droites parallèles sont sécantes, alors elles se superposent entièrement. Dans ce cas, on dit qu’elles sont confondues. Et en trois dimensions, il existe des droites non coplanaires. Elles ne sont pas parallèles, mais elles ne sont pas non plus sécantes.
