Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer l’équation d’une droite parallèle ou perpendiculaire à une autre dans l’espace et à trouver le point d’intersection entre deux droites.
Nous savons qu’un vecteur non nul parallèle à la droite et un point sur la droite permettent de définir complètement une droite dans l’espace. Naturellement, les composantes du vecteur directeur et les coordonnées du point apparaissent explicitement dans l’équation d’une droite sous diverses formes. Rappelons différentes formes de l’équation d’une droite.
Définition : Equation d’une droite dans l’espace
Si une droite passe le point et est parallèle au vecteur non nul , alors son équation
- sous forme vectorielle est où est le vecteur position du point appartenant à la droite ;
- sous forme cartésienne est
- sous forme paramétrique est
Considérons un exemple où nous trouvons l’équation vectorielle d’une droite à partir d’un point sur la droite et d’un vecteur parallèle.
Exemple 1: Déterminer l’équation vectorielle d’une droite
Déterminez l’équation vectorielle de la droite passant par le point et parallèle au vecteur .
Réponse
On rappelle que l’équation vectorielle de la droite passant par le point et parallèle au vecteur non nul est donnée par où est le vecteur position du point et est le point d’origine . On sait que la droite passe par le point , on obtient donc .
On sait également que la droite est parallèle au vecteur . L’équation vectorielle de cette droite est donc
Un vecteur non nul parallèle à une droite est appelé vecteur directeur de la droite. Nous savons que le choix du vecteur directeur dans l’équation d’une droite n’est pas unique et que tout vecteur colinéaire non nul peut remplacer un vecteur directeur donné.
Même si l’équation de la droite est différente lorsqu’un vecteur directeur différent est utilisé, la nouvelle équation représente toujours la même droite.
Nous définissons les droites parallèles ci-dessous.
Définition : Droites parallèles en trois dimensions
Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Dans le prochain exemple, nous allons trouver l’équation vectorielle d’une droite parallèle à une droite donnée.
Exemple 2: Déterminer l’équation vectorielle d’une droite passant par un point et parallèle à une droite
Déterminez l’équation vectorielle de la droite passant par le point et parallèle à la droite passant par les deux points et .
Réponse
On rappelle l’équation vectorielle de la droite passant par le point et parallèle au vecteur est donnée par où est le vecteur position du point et le point est l’origine.
On sait que la droite passe par le point , ce qui donne . Il reste à trouver le vecteur directeur pour compléter l’équation de la droite.
On rappelle que deux droites sont parallèles si elles ont le même vecteur directeur. Comme les deux droites sont parallèles, elles ont le même vecteur directeur. On peut donc utiliser le vecteur directeur de la droite donnée pour dans l’équation vectorielle de la droite recherchée.
La droite donnée passe par et , elle est donc parallèle au vecteur
Cela donne .
Par conséquent, l’équation vectorielle de la droite est
Si deux droites sont sécantes dans l’espace, alors elles ont un point commun. Un moyen pratique de vérifier un point commun entre deux droites est d’utiliser les équations paramétriques des deux droites. Sous forme paramétrique, chaque coordonnée d’un point est donnée en fonction du paramètre, par exemple . Si deux droites passent par le même point, alors il doit exister une valeur du paramètre qui produit les coordonnées de ce point sur la première droite et une autre valeur produisant ces coordonnées sur la deuxième droite.
Dans le prochain exemple, nous allons utiliser cette méthode pour trouver une constante inconnue dans les équations de deux droites sécantes.
Exemple 3: Déterminer un coefficient inconnu dans les équations de deux droites sécantes dans l’espace
Pour quelle valeur de les droites et sont-elles sécantes ?
Réponse
On rappelle que l’on peut convertir l’équation cartésienne d’une droite en forme paramétrique en définissant chaque composante de l’équation égale à et en déterminant les variables , et correspondantes. À partir de l’équation de la première droite, on obtient
Les équations paramétriques de la première droite sont donc
D’après l’équation de la deuxième droite, on a
Les équations paramétriques de la deuxième droite sont donc
Si les deux droites ont un point commun , alors il doit exister des valeurs du paramètre et qui correspondent à ces coordonnées sur les deux droites. En d’autres termes, on substitue dans les équations paramétriques (1) et dans les équations paramétriques (2) puis on égalise les variables correspondantes de chaque ensemble d’équations. Cela donne le système d’équations suivant : .
Comme la première équation implique une constante inconnue, on va utiliser les deuxième et troisième équations pour identifier et . On pourra ensuite substituer ces valeurs dans la première équation pour trouver la constante inconnue .
On peut soustraire la troisième équation à la deuxième équation pour obtenir
En résolvant cette équation pour déterminer , on obtient . On peut le substituer dans
En résolvant cette équation pour déterminer , on obtient . Cela donne les valeurs du paramètre et . En substituant ces valeurs dans
Résoudre cette équation pour déterminer donne
Par conséquent, les deux droites sont sécantes lorsque .
Dans l’exemple précédent, nous avons identifié une constante inconnue dans les équations de deux droites sécantes. Considérons un exemple où nous déterminons les coordonnées du point d’intersection entre deux droites et où nous l’utilisons pour trouver l’équation cartésienne d’une droite.
Exemple 4: Déterminer l’équation cartésienne d’une droite en utilisant le point d’intersection de deux autres droites
Déterminez l’équation cartésienne de la droite passant par l’origine et le point d’intersection des deux droites et .
Réponse
Pour trouver l’équation cartésienne d’une droite, on a besoin de son vecteur directeur et d’un point sur la droite. Comme on sait que la droite passe par l’origine et le point d’intersection, on peut définir le vecteur directeur de cette droite comme le vecteur allant de l’origine au point d’intersection. On commence donc par identifier le point d’intersection.
Pour déterminer le point d’intersection des deux droites et , on utilise les équations paramétriques des droites. On commence par déterminer la forme paramétrique des équations des deux droites.
À partir de l’équation vectorielle de , on a
Les équations paramétriques de sont donc
On convertit ensuite l’équation de sous forme paramétrique. À partir de la forme cartésienne, on note que . Pour la deuxième équation, on peut définir les deux membres égaux à et en déduire les variables et .
Les équations paramétriques de sont donc
On suppose que les droites et se coupent au point . Il doit donc exister une valeur du paramètre pour et une autre valeur du paramètre pour que ce point vérifie. On peut donc substituer ces valeurs dans les équations paramétriques de chaque droite et définir les coordonnées correspondantes égales entre elles. Cela donne
On peut réarranger la première équation pour obtenir . On peut substituer cette valeur dans la deuxième équation et réarranger :
On a donc obtenu et . On vérifie si ces valeurs du paramètre produisent le même ensemble de coordonnées dans et . En remplaçant par dans les équations paramétriques de on obtient
Cela donne les coordonnées sur .
Ensuite, on remplace par dans les équations paramétriques de :
Cela amène aux mêmes coordonnées pour la droite . Par conséquent, les droites et se coupent au point . Comme la droite recherchée passe également par l’origine, elle a pour vecteur directeur .
En utilisant les coordonnées de l’origine, on obtient l’équation cartésienne de la droite :
Par conséquent, l’équation cartésienne de la droite qui passe par l’origine et le point d’intersection des droites et est
Si deux droites sont sécantes, on peut vérifier si elles sont perpendiculaires en utilisant leurs vecteurs directeurs. Nous définissons les droites perpendiculaires ci-dessous.
Définition : Droites perpendiculaires dans l’espace
Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en un point et si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
On rappelle que deux vecteurs sont orthogonaux si l’angle entre eux est , ce qui revient à dire que leur produit scalaire est égal à zéro. Par conséquent, deux droites sécantes sont perpendiculaires si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est égal à zéro.
Dans le prochain exemple, nous allons déterminer si deux droites données sont parallèles ou perpendiculaires.
Exemple 5: Déterminer si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires
On considère les deux droites , , et . Déterminez si elles sont parallèles ou perpendiculaires.
Réponse
On rappelle que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, et qu’elles sont perpendiculaires si elles sont sécantes et que leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. On commence par vérifier si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires ou orthogonaux. S’ils sont orthogonaux, on devra également vérifier si elles se coupent en un point.
À partir des équations paramétriques de la première droite, on obtient le vecteur directeur . À partir de l’équation vectorielle de la deuxième droite, on obtient le vecteur directeur .
On rappelle que deux vecteurs et sont colinéaires s’il existe un scalaire satisfaisant
Pour vérifier si les deux vecteurs directeurs sont colinéaires, on peut substituer les vecteurs directeurs à et et vérifier les valeurs possibles de . On obtient
Cela amène aux trois équations
La première équation donne . Mais substituer cette valeur dans la deuxième et la troisième équations donne
Comme les deux équations sont fausses, on conclut qu’il n’y a pas de solution au système (3). Par conséquent, les vecteurs directeurs des deux droites ne sont pas colinéaires, ce qui signifie que les deux droites ne sont pas parallèles.
On vérifie maintenant si les deux droites sont perpendiculaires. On rappelle que deux droites sont perpendiculaires si elles sont sécantes et que leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Les vecteurs directeurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est égal à zéro. Le produit scalaire donne
Par conséquent, les vecteurs directeurs sont orthogonaux. Il reste donc à montrer que les droites se coupent en un point. Pour trouver l’intersection, on peut écrire les équations des droites sous forme paramétrique. L’équation de la première droite est déjà donnée sous forme paramétrique, on convertit donc la deuxième équation sous forme paramétrique :
Si les deux droites ont un point commun, il doit exister des valeurs des paramètres et satisfaisant
On peut utiliser les deux premières équations pour résoudre ce système par combinaison. On commence par multiplier la deuxième équation par 2 :
On soustrait ensuite la première équation à celle-ci pour obtenir
En résolvant cette équation pour déterminer , on obtient . Le substituer dans ce qui conduit à . On a donc obtenu et . On vérifie si ces valeurs de paramètres produisent un point commun sur les deux droites. On remplace d’abord par dans les équations paramétriques de la première droite :
Cela amène au point . On remplace ensuite par dans les équations paramétriques de la deuxième droite : ce qui conduit au même point . Par conséquent, les deux droites ont un point commun .
Comme les vecteurs directeurs des deux droites sont orthogonaux et que les deux droites se coupent en un point, les droites sont perpendiculaires.
Dans l’exemple suivant, nous allons trouver la droite perpendiculaire à une droite donnée qui passe aussi par l’origine.
Exemple 6: Déterminer l’équation de la droite passant par l’origine et perpendiculaire à une autre droite
Déterminez l’équation de la droite perpendiculaire à la droite et qui passe par l’origine.
Réponse
On sait que la droite recherchée passe par l’origine : si on peut identifier un vecteur directeur de la droite, alors son équation vectorielle sera
Comme la droite recherchée est perpendiculaire à la droite donnée, le vecteur directeur doit être orthogonal au vecteur directeur de la droite donnée, . On rappelle que deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est égal à zéro. On doit donc avoir
On suppose que la droite recherchée coupe la droite donnée en un point . On voit alors sur la figure ci-dessous que la droite recherchée a pour vecteur directeur car l’énoncé indique qu’elle passe par l’origine.
On doit donc identifier le point se situant sur la droite donnée tel que
Comme est un point sur la droite, ses coordonnées doivent vérifier l’équation de la droite :
Cela signifie qu’il existe une valeur du paramètre donnant les coordonnées
Le membre gauche de l’équation (4) est alors
Cette expression est égale à zéro si les droites sont perpendiculaires. Définir l’expression résultante égale à zéro donnera la valeur du paramètre correspondant au point d’intersection :
En substituant la valeur du paramètre dans les coordonnées de :
Par conséquent, la droite recherchée et la droite donnée sont perpendiculaires et se coupent au point . Cela indique que la droite est parallèle au vecteur
On peut multiplier ce vecteur par le scalaire 7 pour obtenir un vecteur directeur colinéaire à plus simple :
En utilisant ce vecteur directeur, l’équation vectorielle de la droite est
Jusqu’à présent, nous avons étudié des droites parallèles, sécantes et perpendiculaires dans l’espace. Nous allons maintenant étudier quelques cas spécifiques, qui sont les droites confondues et les droites non coplanaires dans l’espace.
Si deux droites parallèles se coupent en un point, alors elles partagent un point et un vecteur directeur ; par conséquent, leurs équations sont identiques. Dans ce cas, on dit que les droites sont confondues. En revanche, si deux droites parallèles ne se chevauchent pas entièrement, alors elles n’ont aucun point commun. Par conséquent, deux droites parallèles se chevauchent complètement ou ne se coupent pas du tout.
Voici un exemple de droites confondues. On considère les deux droites suivantes :
Les droites et ont respectivement les vecteurs directeurs et . On note que ce qui indique que les vecteurs directeurs sont colinéaires. Par conséquent, les deux droites et sont parallèles. De plus, on note que la droite passe par le point . Si ces coordonnées satisfont l’équation de , alors on sait que ce point se situe également sur . En substituant ce point dans l’équation cartésienne de , on obtient
On remarque que l’équation ci-dessus est vérifiée ; par conséquent, les coordonnées de satisfont également l’équation de . Les droites et sont donc parallèles et se coupent également en un point . Cela indique que ces droites sont confondues.
Nous avons montré que deux droites parallèles distinctes ne partagent aucun point. Dans l’espace, il est également possible que deux droites non parallèles n’aient aucun point d’intersection. Dans ce cas, on dit que ces droites sont non coplanaires. Nous donnons la définition suivante.
Définition : Droites non coplanaires dans l’espace
Deux droites dans l’espace sont non coplanaires si elles ne sont ni parallèles ni sécantes.
On étudie un exemple de deux droites non coplanaires ci-dessous.
La droite rouge coïncide avec l’axe des , elle a donc comme vecteur directeur . La droite bleue passe par et , elle a donc le vecteur directeur
On rappelle que deux vecteurs sont colinéaires si l’un est un multiple scalaire de l’autre. Si le vecteur était un multiple scalaire de , le scalaire devrait être nul si on considère leur composante en . Cependant, cela conduirait à ce qui est visiblement faux. Donc, n’est pas un multiple scalaire de et les deux vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. Ainsi, les deux droites ne sont pas parallèles. Il est visible sur la figure que la droite bleue ne coupe jamais l’axe des . Par conséquent, ces deux droites ne se coupent pas et ne sont pas parallèles. Les deux droites sont donc non coplanaires.
Dans le dernier exemple, nous allons déterminer si deux droites représentées par leurs équations sont parallèles, confondues, sécantes ou non coplanaires.
Exemple 7: Déterminer si deux droites sont parallèles, confondues, sécantes ou non coplanaires
On considère les deux droites et . Choisissez l’affirmation correcte à propos des deux droites.
- Les droites et sont parallèles mais non confondues.
- Les droites et sont confondues.
- Les droites et sont sécantes.
- Les droites et sont non coplanaires.
Réponse
On rappelle que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. À partir des équations vectorielles de et , on obtient les vecteurs directeurs pour et pour .
On rappelle que deux vecteurs et sont colinéaires s’il existe un scalaire satisfaisant
En substituant les vecteurs directeurs de et à et , on obtient
On note que la composante en du vecteur sur le membre le plus à droite de l’équation est égale à zéro quelle que soit la valeur de . Comme la composante correspondante du vecteur tout à gauche est non nulle, cette équation n’a pas de solution. Cela signifie que n’est pas un multiple scalaire de . Par conséquent, les droites et ne sont pas parallèles.
On vérifie ensuite si les droites sont sécantes. Pour vérifier l’intersection de deux droites, on peut utiliser les équations paramétriques des droites. À partir de la forme vectorielle donnée, on peut écrire
Les équations paramétriques de sont alors
De même, pour , ce qui signifie que la forme paramétrique de cette équation est
Si les deux droites ont un point commun, il doit exister des valeurs des paramètres et donnant les coordonnées du point qui satisfont les équations (5) et (6). On remplace par dans l’équation (5) et dans l’équation (6) pour obtenir une expression des coordonnées sur et . En définissant les coordonnées de et égales les unes aux autres, on obtient
La troisième équation conduit immédiatement à . Substituer cette valeur dans la deuxième équation des coordonnées ci-dessus donne
On a donc obtenu et . Cela signifie que s’il existe un ensemble partagé de coordonnées entre les droites et , alors ces coordonnées doivent être obtenues avec la valeur du paramètre pour et pour .
On vérifie si ces valeurs du paramètre produisent un ensemble commun de coordonnées sur et . On remplace d’abord par dans les équations paramétriques (5) :
Cela conduit aux coordonnées de correspondant à la valeur du paramètre 4. On remplace ensuite par dans les équations paramétriques (6) :
Cela donne les coordonnées de correspondant à la valeur du paramètre 0. On note qu’elles sont différentes des coordonnées de . Cela signifie qu’il n’existe pas d’ensemble de coordonnées partagé. En d’autres termes, les droites et ne sont pas sécantes.
Comme les droites ne sont ni parallèles ni sécantes, et sont des droites non coplanaires.
Résumons quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Deux droites sont parallèles si elles partagent un vecteur directeur commun. Alternativement, deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
- Pour déterminer le point d’intersection entre deux droites, on trouve les valeurs des paramètres et qui produisent le même ensemble de coordonnées dans les équations paramétriques de chaque droite.
- Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en un point et si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
- Si deux droites parallèles se coupent en un point, elles se chevauchent complètement. Dans ce cas, les deux droites sont confondues.
- Deux droites sont non coplanaires si elles ne sont ni parallèles ni sécantes.
