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Fiche explicative de la leçon : Droites parallèles, perpendiculaires et sécantes dans l’espace Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer l’équation d’une droite parallèle ou perpendiculaire à une autre dans l’espace et à trouver le point d’intersection entre deux droites.

Nous savons qu’un vecteur non nul parallèle à la droite et un point sur la droite permettent de définir complètement une droite dans l’espace. Naturellement, les composantes du vecteur directeur et les coordonnées du point apparaissent explicitement dans l’équation d’une droite sous diverses formes. Rappelons différentes formes de l’équation d’une droite.

Définition : Equation d’une droite dans l’espace

Si une droite passe le point (𝑥;𝑦;𝑧) et est parallèle au vecteur non nul (𝑎,𝑏,𝑐), alors son équation

  • sous forme vectorielle est 𝑟(𝑡)=(𝑥,𝑦,𝑧)+𝑡(𝑎,𝑏,𝑐),(𝑥,𝑦,𝑧) est le vecteur position du point appartenant à la droite;
  • sous forme cartésienne est 𝑥𝑥𝑎=𝑦𝑦𝑏=𝑧𝑧𝑐,𝑎0,𝑏0,𝑐0;sachantqueet
  • sous forme paramétrique est 𝑥=𝑥+𝑎𝑡,𝑦=𝑦+𝑏𝑡,𝑧=𝑧+𝑐𝑡.

Considérons un exemple où nous trouvons l’équation vectorielle d’une droite à partir d’un point sur la droite et d’un vecteur parallèle.

Exemple 1: Déterminer l’équation vectorielle d’une droite

Déterminez l’équation vectorielle de la droite passant par le point (1;5;4) et parallèle au vecteur (3;5;1).

Réponse

On rappelle que l’équation vectorielle de la droite passant par le point 𝑃 et parallèle au vecteur non nul 𝑑 est donnée par 𝑟(𝑡)=𝑂𝑃+𝑡𝑑,𝑂𝑃 est le vecteur position du point 𝑃(1;5;4) et 𝑂 est le point d’origine (0;0;0). On sait que la droite passe par le point 𝑃(1;5;4), on obtient donc 𝑂𝑃=(1;5;4).

On sait également que la droite est parallèle au vecteur (3;5;1). L’équation vectorielle de cette droite est donc 𝑟=(1,5,4)+𝑡(3,5,1).

Un vecteur non nul parallèle à une droite est appelé vecteur directeur de la droite. Nous savons que le choix du vecteur directeur dans l’équation d’une droite n’est pas unique et que tout vecteur colinéaire non nul peut remplacer un vecteur directeur donné.

Même si l’équation de la droite est différente lorsqu’un vecteur directeur différent est utilisé, la nouvelle équation représente toujours la même droite.

Nous définissons les droites parallèles ci-dessous.

Définition : Droites parallèles en trois dimensions

Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Dans le prochain exemple, nous allons trouver l’équation vectorielle d’une droite parallèle à une droite donnée.

Exemple 2: Déterminer l’équation vectorielle d’une droite passant par un point et parallèle à une droite

Déterminez l’équation vectorielle de la droite passant par le point 𝐴(2;5;5) et parallèle à la droite passant par les deux points 𝐵(3;2;6) et 𝐶(5;0;9).

Réponse

On rappelle l’équation vectorielle de la droite passant par le point 𝐴 et parallèle au vecteur 𝑑 est donnée par 𝑟(𝑡)=𝑂𝐴+𝑡𝑑,𝑂𝐴 est le vecteur position du point 𝐴 et le point 𝑂 est l’origine.

On sait que la droite passe par le point 𝐴(2;5;5), ce qui donne 𝑂𝐴=(2;5;5). Il reste à trouver le vecteur directeur 𝑑 pour compléter l’équation de la droite.

On rappelle que deux droites sont parallèles si elles ont le même vecteur directeur. Comme les deux droites sont parallèles, elles ont le même vecteur directeur. On peut donc utiliser le vecteur directeur de la droite donnée pour 𝑑 dans l’équation vectorielle de la droite recherchée.

La droite donnée passe par 𝐵(3;2;6) et 𝐶(5;0;9), elle est donc parallèle au vecteur 𝐵𝐶=𝑂𝐶𝑂𝐵=(5,0,9)(3,2,6)=(5(3),0(2),9(6))=(8,2,3).

Cela donne 𝑑=(8;2;3).

Par conséquent, l’équation vectorielle de la droite est 𝑟=(2,5,5)+𝑡(8,2,3).

Si deux droites sont sécantes dans l’espace, alors elles ont un point commun. Un moyen pratique de vérifier un point commun entre deux droites est d’utiliser les équations paramétriques des deux droites. Sous forme paramétrique, chaque coordonnée d’un point est donnée en fonction du paramètre, par exemple 𝑡. Si deux droites passent par le même point, alors il doit exister une valeur du paramètre 𝑡=𝑡 qui produit les coordonnées de ce point sur la première droite et une autre valeur 𝑡=𝑡 produisant ces coordonnées sur la deuxième droite.

Dans le prochain exemple, nous allons utiliser cette méthode pour trouver une constante inconnue dans les équations de deux droites sécantes.

Exemple 3: Déterminer un coefficient inconnu dans les équations de deux droites sécantes dans l’espace

Pour quelle valeur de 𝑎 les droites 𝑥5=𝑦21=𝑧2 et 𝑥1𝑎=𝑦+24=𝑧+14 sont-elles sécantes?

Réponse

On rappelle que l’on peut convertir l’équation cartésienne d’une droite en forme paramétrique en définissant chaque composante de l’équation égale à 𝑡 et en déterminant les variables 𝑥, 𝑦 et 𝑧 correspondantes. À partir de l’équation de la première droite, on obtient 𝑥5=𝑡,𝑥=5𝑡;𝑦21=𝑡,𝑦=2𝑡;𝑧2=𝑡,𝑧=2𝑡.cequidonnecequidonnecequidonne

Les équations paramétriques de la première droite sont donc

𝑥=5𝑡,𝑦=2𝑡,𝑧=2𝑡.(1)

D’après l’équation de la deuxième droite, on a 𝑥1𝑎=𝑡,𝑥=1+𝑎𝑡;𝑦+24=𝑡,𝑦=2+4𝑡;𝑧+14=𝑡,𝑧=1+4𝑡.cequidonnecequidonnecequidonne

Les équations paramétriques de la deuxième droite sont donc

𝑥=1+𝑎𝑡,𝑦=2+4𝑡,𝑧=1+4𝑡.(2)

Si les deux droites ont un point commun (𝑥;𝑦;𝑧), alors il doit exister des valeurs du paramètre 𝑡 et 𝑡 qui correspondent à ces coordonnées sur les deux droites. En d’autres termes, on substitue 𝑡=𝑡 dans les équations paramétriques (1) et 𝑡=𝑡 dans les équations paramétriques (2) puis on égalise les variables correspondantes de chaque ensemble d’équations. Cela donne le système d’équations suivant:5𝑡=1+𝑎𝑡,2𝑡=2+4𝑡,2𝑡=1+4𝑡..

Comme la première équation implique une constante inconnue, on va utiliser les deuxième et troisième équations pour identifier 𝑡 et 𝑡. On pourra ensuite substituer ces valeurs dans la première équation pour trouver la constante inconnue 𝑎.

On peut soustraire la troisième équation à la deuxième équation pour obtenir 2𝑡=2+4𝑡2𝑡=1+4𝑡2+𝑡=1

En résolvant cette équation pour déterminer 𝑡, on obtient 𝑡=3. On peut le substituer dans 2𝑡=1+4𝑡2×(3)=1+4𝑡.pourobtenir

En résolvant cette équation pour déterminer 𝑡, on obtient 𝑡=74. Cela donne les valeurs du paramètre 𝑡=3 et 𝑡=74. En substituant ces valeurs dans 5𝑡=1+𝑎𝑡5×(3)=1+𝑎74.donne

Résoudre cette équation pour déterminer 𝑎 donne 𝑎=47×14=8.

Par conséquent, les deux droites sont sécantes lorsque 𝑎=8.

Dans l’exemple précédent, nous avons identifié une constante inconnue dans les équations de deux droites sécantes. Considérons un exemple où nous déterminons les coordonnées du point d’intersection entre deux droites et où nous l’utilisons pour trouver l’équation cartésienne d’une droite.

Exemple 4: Déterminer l’équation cartésienne d’une droite en utilisant le point d’intersection de deux autres droites

Déterminez l’équation cartésienne de la droite passant par l’origine et le point d’intersection des deux droites 𝐷𝑟=(1;1;2)+𝑡(1;4;3) et 𝐷𝑥=3,𝑦54=𝑧31.

Réponse

Pour trouver l’équation cartésienne d’une droite, on a besoin de son vecteur directeur et d’un point sur la droite. Comme on sait que la droite passe par l’origine et le point d’intersection, on peut définir le vecteur directeur de cette droite comme le vecteur allant de l’origine au point d’intersection. On commence donc par identifier le point d’intersection.

Pour déterminer le point d’intersection des deux droites 𝐷 et 𝐷, on utilise les équations paramétriques des droites. On commence par déterminer la forme paramétrique des équations des deux droites.

À partir de l’équation vectorielle de 𝐷, on a 𝑟=(1,1,2)+𝑡(1,4,3)=(1+𝑡,1+4𝑡,2+3𝑡).

Les équations paramétriques de 𝐷 sont donc 𝐷𝑥=1+𝑡,𝑦=1+4𝑡,𝑧=2+3𝑡.

On convertit ensuite l’équation de 𝐷 sous forme paramétrique. À partir de la forme cartésienne, on note que 𝑥=3. Pour la deuxième équation, on peut définir les deux membres égaux à 𝑡 et en déduire les variables 𝑦 et 𝑧. 𝑦54=𝑡𝑦=54𝑡,𝑧31=𝑡𝑧=3𝑡.donnedonne

Les équations paramétriques de 𝐷 sont donc 𝐷𝑥=3,𝑦=54𝑡,𝑧=3𝑡.

On suppose que les droites 𝐷 et 𝐷 se coupent au point (𝑥;𝑦;𝑧). Il doit donc exister une valeur du paramètre 𝑡=𝑡 pour 𝐷 et une autre valeur du paramètre 𝑡=𝑡 pour 𝐷 que ce point vérifie. On peut donc substituer ces valeurs dans les équations paramétriques de chaque droite et définir les coordonnées correspondantes égales entre elles. Cela donne 1+𝑡=3,1+4𝑡=54𝑡,2+3𝑡=3𝑡.

On peut réarranger la première équation pour obtenir 𝑡=2. On peut substituer cette valeur dans la deuxième équation et réarranger:1+4×2=54𝑡,𝑡=1.cequidonne

On a donc obtenu 𝑡=2 et 𝑡=1. On vérifie si ces valeurs du paramètre produisent le même ensemble de coordonnées dans 𝐷 et 𝐷. En remplaçant par 𝑡=2 dans les équations paramétriques de 𝐷 on obtient 𝐷𝑥=1+2=3,𝑦=1+4×2=9,𝑧=2+3×2=4.

Cela donne les coordonnées (3;9;4) sur 𝐷.

Ensuite, on remplace par 𝑡=1 dans les équations paramétriques de 𝐷:𝐷𝑥=3,𝑦=54×(1)=9,𝑧=3(1)=4.

Cela amène aux mêmes coordonnées (3;9;4) pour la droite 𝐷. Par conséquent, les droites 𝐷 et 𝐷 se coupent au point 𝑃(3;9;4). Comme la droite recherchée passe également par l’origine, elle a pour vecteur directeur 𝑂𝑃=(3;9;4).

En utilisant les coordonnées (0;0;0) de l’origine, on obtient l’équation cartésienne de la droite:𝑥03=𝑦09=𝑧04.

Par conséquent, l’équation cartésienne de la droite qui passe par l’origine et le point d’intersection des droites 𝐷 et 𝐷 est 𝑥3=𝑦9=𝑧4.

Si deux droites sont sécantes, on peut vérifier si elles sont perpendiculaires en utilisant leurs vecteurs directeurs. Nous définissons les droites perpendiculaires ci-dessous.

Définition : Droites perpendiculaires dans l’espace

Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en un point et si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

On rappelle que deux vecteurs sont orthogonaux si l’angle entre eux est 90, ce qui revient à dire que leur produit scalaire est égal à zéro. Par conséquent, deux droites sécantes sont perpendiculaires si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est égal à zéro.

Dans le prochain exemple, nous allons déterminer si deux droites données sont parallèles ou perpendiculaires.

Exemple 5: Déterminer si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires

On considère les deux droites 𝑥=4+2𝑡, 𝑦=6+𝑡, 𝑧=22𝑡 et 𝑟=(6;7;0)+𝑡(5;4;7). Déterminez si elles sont parallèles ou perpendiculaires.

Réponse

On rappelle que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, et qu’elles sont perpendiculaires si elles sont sécantes et que leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. On commence par vérifier si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires ou orthogonaux. S’ils sont orthogonaux, on devra également vérifier si elles se coupent en un point.

À partir des équations paramétriques de la première droite, on obtient le vecteur directeur (2;1;2). À partir de l’équation vectorielle de la deuxième droite, on obtient le vecteur directeur (5;4;7).

On rappelle que deux vecteurs 𝑢 et 𝑣 sont colinéaires s’il existe un scalaire 𝑐 satisfaisant 𝑢=𝑐𝑣.

Pour vérifier si les deux vecteurs directeurs sont colinéaires, on peut substituer les vecteurs directeurs à 𝑢 et 𝑣 et vérifier les valeurs possibles de 𝑐. On obtient (2,1,2)=𝑐(5,4,7)=(5𝑐,4𝑐,7𝑐).

Cela amène aux trois équations

2=5𝑐,1=4𝑐,2=7𝑐.(3)

La première équation donne 𝑐=25. Mais substituer cette valeur dans la deuxième et la troisième équations donne 1=4×25=85,2=7×25=145.??

Comme les deux équations sont fausses, on conclut qu’il n’y a pas de solution 𝑐 au système (3). Par conséquent, les vecteurs directeurs des deux droites ne sont pas colinéaires, ce qui signifie que les deux droites ne sont pas parallèles.

On vérifie maintenant si les deux droites sont perpendiculaires. On rappelle que deux droites sont perpendiculaires si elles sont sécantes et que leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Les vecteurs directeurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est égal à zéro. Le produit scalaire donne (2,1,2)(5,4,7)=2×5+1×4+(2)×7=0.

Par conséquent, les vecteurs directeurs sont orthogonaux. Il reste donc à montrer que les droites se coupent en un point. Pour trouver l’intersection, on peut écrire les équations des droites sous forme paramétrique. L’équation de la première droite est déjà donnée sous forme paramétrique, on convertit donc la deuxième équation sous forme paramétrique:𝑥=6+5𝑡,𝑦=7+4𝑡,𝑧=7𝑡.

Si les deux droites ont un point commun, il doit exister des valeurs des paramètres 𝑡 et 𝑡 satisfaisant 4+2𝑡=6+5𝑡,6+𝑡=7+4𝑡,22𝑡=7𝑡.

On peut utiliser les deux premières équations pour résoudre ce système par combinaison. On commence par multiplier la deuxième équation par 2:12+2𝑡=14+8𝑡.

On soustrait ensuite la première équation à celle-ci pour obtenir 12+2𝑡=14+8𝑡4+2𝑡=6+5𝑡8=8+3𝑡

En résolvant cette équation pour déterminer 𝑡, on obtient 𝑡=0. Le substituer dans 22𝑡=7𝑡22𝑡=0,donne ce qui conduit à 𝑡=1. On a donc obtenu 𝑡=1 et 𝑡=0. On vérifie si ces valeurs de paramètres produisent un point commun sur les deux droites. On remplace d’abord par 𝑡=1 dans les équations paramétriques de la première droite:𝑥=4+2𝑡=4+2×1=6,𝑦=6+𝑡=6+1=7,𝑧=22𝑡=22×1=0.

Cela amène au point (6;7;0). On remplace ensuite par 𝑡=0 dans les équations paramétriques de la deuxième droite:𝑥=6+5𝑡=6+5×0=6,𝑦=7+4𝑡=7+4×0=7,𝑧=7𝑡=7×0=0, ce qui conduit au même point (6;7;0). Par conséquent, les deux droites ont un point commun (6;7;0).

Comme les vecteurs directeurs des deux droites sont orthogonaux et que les deux droites se coupent en un point, les droites sont perpendiculaires.

Dans l’exemple suivant, nous allons trouver la droite perpendiculaire à une droite donnée qui passe aussi par l’origine.

Exemple 6: Déterminer l’équation de la droite passant par l’origine et perpendiculaire à une autre droite

Déterminez l’équation de la droite perpendiculaire à la droite 𝑟=(1;2;3)+𝑡(3;5;1) et qui passe par l’origine.

Réponse

On sait que la droite recherchée passe par l’origine:si on peut identifier un vecteur directeur 𝑑 de la droite, alors son équation vectorielle sera 𝑟=𝑡𝑑.

Comme la droite recherchée est perpendiculaire à la droite donnée, le vecteur directeur 𝑑 doit être orthogonal au vecteur directeur de la droite donnée, (3;5;1). On rappelle que deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est égal à zéro. On doit donc avoir 𝑑(3,5,1)=0.

On suppose que la droite recherchée coupe la droite donnée en un point 𝑃. On voit alors sur la figure ci-dessous que la droite recherchée a pour vecteur directeur 𝑃𝑂 car l’énoncé indique qu’elle passe par l’origine.

On doit donc identifier le point 𝑃 se situant sur la droite donnée tel que

𝑂𝑃(3,5,1)=0.(4)

Comme 𝑃 est un point sur la droite, ses coordonnées doivent vérifier l’équation de la droite:𝑟=(1,2,3)+𝑡(3,5,1)=(1+3𝑡,25𝑡,3+𝑡).

Cela signifie qu’il existe une valeur du paramètre 𝑡 donnant les coordonnées 𝑃(1+3𝑡,25𝑡,3+𝑡).

Le membre gauche de l’équation (4) est alors 𝑂𝑃(3,5,1)=(1+3𝑡,25𝑡,3+𝑡)(3,5,1)=3(1+3𝑡)5(25𝑡)+(3+𝑡)=3+9𝑡10+25𝑡+3+𝑡=10+35𝑡.

Cette expression est égale à zéro si les droites sont perpendiculaires. Définir l’expression résultante égale à zéro donnera la valeur du paramètre 𝑡 correspondant au point 𝑃 d’intersection:10+35𝑡=0,𝑡=1035=27.cequidonne

En substituant la valeur du paramètre 𝑡=27 dans les coordonnées de 𝑃:𝑃(1+3𝑡,25𝑡,3+𝑡)=𝑃1+3×27,25×27,3+27=𝑃77+67,147107,217+27=𝑃17,47,237.

Par conséquent, la droite recherchée et la droite donnée sont perpendiculaires et se coupent au point 𝑃17;47;237. Cela indique que la droite est parallèle au vecteur 𝑂𝑃=17,47,237.

On peut multiplier ce vecteur par le scalaire 7 pour obtenir un vecteur directeur colinéaire à 𝑂𝑃 plus simple:𝑑=717,47,237=(1,4,23).

En utilisant ce vecteur directeur, l’équation vectorielle de la droite est 𝑟=𝑡(1,4,23).

Jusqu’à présent, nous avons étudié des droites parallèles, sécantes et perpendiculaires dans l’espace. Nous allons maintenant étudier quelques cas spécifiques, qui sont les droites confondues et les droites non coplanaires dans l’espace.

Si deux droites parallèles se coupent en un point, alors elles partagent un point et un vecteur directeur;par conséquent, leurs équations sont identiques. Dans ce cas, on dit que les droites sont confondues. En revanche, si deux droites parallèles ne se chevauchent pas entièrement, alors elles n’ont aucun point commun. Par conséquent, deux droites parallèles se chevauchent complètement ou ne se coupent pas du tout.

Voici un exemple de droites confondues. On considère les deux droites suivantes:𝐷𝑥12=𝑦24=𝑧36,𝐷𝑥21=𝑦2=𝑧63.

Les droites 𝐷 et 𝐷 ont respectivement les vecteurs directeurs (2;4;6) et (1;2;3). On note que (2,4,6)=2(1,2,3), ce qui indique que les vecteurs directeurs sont colinéaires. Par conséquent, les deux droites 𝐷 et 𝐷 sont parallèles. De plus, on note que la droite 𝐷 passe par le point (1;2;3). Si ces coordonnées satisfont l’équation de 𝐷, alors on sait que ce point se situe également sur 𝐷. En substituant ce point dans l’équation cartésienne de 𝐷, on obtient 121=22=363.

On remarque que l’équation ci-dessus est vérifiée;par conséquent, les coordonnées de (1;2;3) satisfont également l’équation de 𝐷. Les droites 𝐷 et 𝐷 sont donc parallèles et se coupent également en un point (1;2;3). Cela indique que ces droites sont confondues.

Nous avons montré que deux droites parallèles distinctes ne partagent aucun point. Dans l’espace, il est également possible que deux droites non parallèles n’aient aucun point d’intersection. Dans ce cas, on dit que ces droites sont non coplanaires. Nous donnons la définition suivante.

Définition : Droites non coplanaires dans l’espace

Deux droites dans l’espace sont non coplanaires si elles ne sont ni parallèles ni sécantes.

On étudie un exemple de deux droites non coplanaires ci-dessous.

La droite rouge coïncide avec l’axe des 𝑥, elle a donc comme vecteur directeur (1;0;0). La droite bleue passe par (0;1;0) et (0;0;1), elle a donc le vecteur directeur (0,1,0)(0,0,1)=(0,1,1).

On rappelle que deux vecteurs sont colinéaires si l’un est un multiple scalaire de l’autre. Si le vecteur (0;1;1) était un multiple scalaire de (1;0;0), le scalaire devrait être nul si on considère leur composante en 𝑥. Cependant, cela conduirait à (0,1,2)=0×(1,0,0),? ce qui est visiblement faux. Donc, (0;1;1) n’est pas un multiple scalaire de (1;0;0) et les deux vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. Ainsi, les deux droites ne sont pas parallèles. Il est visible sur la figure que la droite bleue ne coupe jamais l’axe des 𝑥 . Par conséquent, ces deux droites ne se coupent pas et ne sont pas parallèles. Les deux droites sont donc non coplanaires.

Dans le dernier exemple, nous allons déterminer si deux droites représentées par leurs équations sont parallèles, confondues, sécantes ou non coplanaires.

Exemple 7: Déterminer si deux droites sont parallèles, confondues, sécantes ou non coplanaires

On considère les deux droites 𝐷𝑟=(3;4;1)+𝑡(1;1;1) et 𝐷𝑟=(2;0;5)+𝑡(2;3;0). Choisissez l’affirmation correcte à propos des deux droites.

  1. Les droites 𝐷 et 𝐷 sont parallèles mais non confondues.
  2. Les droites 𝐷 et 𝐷 sont confondues.
  3. Les droites 𝐷 et 𝐷 sont sécantes.
  4. Les droites 𝐷 et 𝐷 sont non coplanaires.

Réponse

On rappelle que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. À partir des équations vectorielles de 𝐷 et 𝐷, on obtient les vecteurs directeurs (1;1;1) pour 𝐷 et (2;3;0) pour 𝐷.

On rappelle que deux vecteurs 𝑢 et 𝑣 sont colinéaires s’il existe un scalaire 𝑐 satisfaisant 𝑢=𝑐𝑣.

En substituant les vecteurs directeurs de 𝐷 et 𝐷 à 𝑢 et 𝑣, on obtient (1,1,1)=𝑐(2,3,0)=(2𝑐,3𝑐,0).

On note que la composante en 𝑧 du vecteur sur le membre le plus à droite de l’équation est égale à zéro quelle que soit la valeur de 𝑐. Comme la composante correspondante du vecteur tout à gauche est non nulle, cette équation n’a pas de solution. Cela signifie que (1;1;1) n’est pas un multiple scalaire de (2;3;0). Par conséquent, les droites 𝐷 et 𝐷 ne sont pas parallèles.

On vérifie ensuite si les droites sont sécantes. Pour vérifier l’intersection de deux droites, on peut utiliser les équations paramétriques des droites. À partir de la forme vectorielle donnée, on peut écrire 𝐷𝑟=(3,4,1)+𝑡(1,1,1)=(3+𝑡,4𝑡,1+𝑡).

Les équations paramétriques de 𝐷 sont alors

𝐷𝑥=3+𝑡,𝑦=4𝑡,𝑧=1+𝑡.(5)

De même, pour 𝐷, 𝐷𝑟=(2,0,5)+𝑡(2,3,0)=(22𝑡,3𝑡,5), ce qui signifie que la forme paramétrique de cette équation est

𝐷𝑥=22𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=5.(6)

Si les deux droites ont un point commun, il doit exister des valeurs des paramètres 𝑡 et 𝑡 donnant les coordonnées du point qui satisfont les équations (5) et (6). On remplace par 𝑡=𝑡 dans l’équation (5) et 𝑡=𝑡 dans l’équation (6) pour obtenir une expression des coordonnées sur 𝐷 et 𝐷. En définissant les coordonnées de 𝐷 et 𝐷 égales les unes aux autres, on obtient 3+𝑡=22𝑡,4𝑡=3𝑡,1+𝑡=5.

La troisième équation conduit immédiatement à 𝑡=4. Substituer cette valeur dans la deuxième équation des coordonnées ci-dessus donne 44=3𝑡,𝑡=0.cequidonne

On a donc obtenu 𝑡=4 et 𝑡=0. Cela signifie que s’il existe un ensemble partagé de coordonnées entre les droites 𝐷 et 𝐷, alors ces coordonnées doivent être obtenues avec la valeur du paramètre 𝑡=4 pour 𝐷 et 𝑡=0 pour 𝐷.

On vérifie si ces valeurs du paramètre produisent un ensemble commun de coordonnées sur 𝐷 et 𝐷. On remplace d’abord par 𝑡=4 dans les équations paramétriques (5):𝑥=3+𝑡=3+4=7,𝑦=4𝑡=44=0,𝑧=1+𝑡=1+4=5.

Cela conduit aux coordonnées (7;0;5) de 𝐷 correspondant à la valeur du paramètre 4. On remplace ensuite par 𝑡=0 dans les équations paramétriques (6):𝑥=22𝑡=22×0=2,𝑦=3𝑡=3×0=0,𝑧=5.

Cela donne les coordonnées (2;0;5) de 𝐷 correspondant à la valeur du paramètre 0. On note qu’elles sont différentes des coordonnées (7;0;5) de 𝐷. Cela signifie qu’il n’existe pas d’ensemble de coordonnées partagé. En d’autres termes, les droites 𝐷 et 𝐷 ne sont pas sécantes.

Comme les droites ne sont ni parallèles ni sécantes, 𝐷 et 𝐷 sont des droites non coplanaires.

Résumons quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Deux droites sont parallèles si elles partagent un vecteur directeur commun. Alternativement, deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
  • Pour déterminer le point d’intersection entre deux droites, on trouve les valeurs des paramètres 𝑡 et 𝑡 qui produisent le même ensemble de coordonnées dans les équations paramétriques de chaque droite.
  • Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en un point et si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
  • Si deux droites parallèles se coupent en un point, elles se chevauchent complètement. Dans ce cas, les deux droites sont confondues.
  • Deux droites sont non coplanaires si elles ne sont ni parallèles ni sécantes.

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