Transcription de la vidéo
Utilisez la dérivation logarithmique pour calculer la dérivée de la fonction 𝑦 égale moins trois 𝑥 à la puissance deux 𝑥.
Donc, la première chose que nous pouvons faire si nous voulons trouver la dérivée première de notre fonction 𝑦 égale moins trois 𝑥 à la puissance deux 𝑥 est de sortir moins trois, notre valeur constante, en dehors de la dérivée. Ce n’est qu’un facteur et cela nous arrange. On peut donc dire que la dérivée de notre fonction est égale à moins trois fois la dérivée de 𝑥 à la puissance deux 𝑥. Et ceci par rapport à 𝑥.
Donc, afin de dériver notre 𝑥 à la puissance deux 𝑥, nous allons utiliser une adaptation de notre règle de puissance. Et elle dit que si nous avons une fonction élevée à la puissance d’une fonction, alors sa dérivée est égale à cette fonction élevée à la puissance d’une fonction. Donc, dans notre cas ici, 𝑓 de 𝑥 élevée à la puissance 𝑔 de 𝑥 multipliée par la dérivée de ln ou le logarithme népérien de 𝑓 de 𝑥 multiplié par 𝑔 de 𝑥.
Si nous appliquons cela, nous allons avoir une dérivée égale à moins trois multiplié par 𝑥 puissance deux 𝑥 multiplié par la dérivée de ln 𝑥 multiplié par deux 𝑥. Si nous simplifions cela, nous pouvons dire que la dérivée est égale à moins trois 𝑥 à la puissance deux 𝑥 multipliée par la dérivée de deux 𝑥 ln 𝑥.
Maintenant, pour nous permettre de dériver deux 𝑥 ln 𝑥, nous allons devoir utiliser la règle dérivation du produit. Et ce que la règle de dérivation du produit nous dit, c’est que si nous avons deux fonctions multipliées ensemble, donc 𝑓 de 𝑥 multipliée par 𝑔 de 𝑥, alors si nous posons 𝑢 égale 𝑓 de 𝑥 et 𝑣 égale 𝑔 de 𝑥, la dérivée de 𝑢𝑣 est égale à 𝑢 d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 d𝑢 sur d𝑥, qui est 𝑢 multipliée par la dérivée de 𝑣 plus 𝑣 multipliée par la dérivée de 𝑢.
Très bien, nous pouvons maintenant appliquer cela à notre scénario. Donc, nous pouvons faire, c’est poser 𝑢 comme étant égal à deux 𝑥. Ensuite, d𝑢 sur d𝑥 va être égal à deux. Et c’est parce que si nous voulons dériver deux 𝑥, nous multiplions l’exposant par le coefficient, donc un par deux, ce qui nous donne deux. Et puis nous réduisons l’exposant de un, donc de un à zéro. Nous obtenons donc deux multiplié par 𝑥 à la puissance zéro, c’est-à-dire deux multiplié par un, ce qui nous donne deux. Et maintenant, si nous disons que 𝑣 est égale à ln 𝑥 ou au logarithme népérien de 𝑥, alors nous allons devoir dériver ceci pour trouver d𝑣 sur d𝑥.
Alors maintenant, ce que nous faisons est d’appliquer la règle de dérivation du logarithme népérien. Et quand nous faisons cela, nous obtenons d𝑣 sur d𝑥 est égal à un sur 𝑥. Et c’est parce que nous savons que la dérivée de ln 𝑥 vaut un sur 𝑥. Rassemblons tout ceci et appliquons la règle de dérivation du produit. Alors maintenant, si nous faisons cela, nous allons avoir la dérivée égale à moins trois 𝑥 à la puissance de deux 𝑥 multiplié par. Et nous avons 𝑢 d𝑣 sur d𝑥, qui va nous donner deux 𝑥 sur 𝑥. Et c’est parce que 𝑢 était deux 𝑥 et d𝑣 sur d𝑥 était un sur 𝑥. Ensuite, plus 𝑣 d𝑢 sur d𝑥, ce qui nous donne ln 𝑥 multiplié par deux. Donc je les ai réunis, ce qui nous donne deux ln 𝑥.
Alors maintenant, si nous cherchons à simplifier, la première chose que nous pouvons faire est de diviser le premier terme entre parenthèses par 𝑥 au numérateur et au dénominateur, car c’est un facteur commun. Il nous reste donc deux. Nous sommes donc maintenant au stade où la dérivée est égale à moins trois 𝑥 à la puissance deux 𝑥 multipliée par deux plus deux ln 𝑥.
Nous pouvons encore simplifier, car nous pouvons voir que deux est un facteur commun aux deux termes entre les parenthèses. Donc, si nous le sortons des parenthèses et que nous le multiplions par moins trois 𝑥 à la puissance deux 𝑥, nous allons obtenir moins six 𝑥 à la puissance deux 𝑥 multiplié par un plus ln 𝑥. Nous pouvons donc dire que nous avons utilisé la dérivation logarithmique pour déterminer la dérivée de 𝑦 égale moins trois 𝑥 à la puissance deux 𝑥. Et elle est, comme nous l’avons déjà dit, égale à moins six 𝑥 à la puissance deux 𝑥 multiplié par un plus ln 𝑥.
