Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à trouver les dérivées de certaines fonctions positives en appliquant le logarithme népérien de chaque côté de la fonction avant de dériver.
Il peut arriver que nous ayons besoin de dériver une fonction, mais qu’il soit difficile, voire impossible, de lui appliquer nos techniques habituelles, telles les règles de derivation des fonctions composées, d’un produit ou d’un quotient. Par exemple, si nous nous contentions d’utiliser nos techniques habituelles, nous ne saurions comment dériver par rapport à les fonctions présentées ci-dessous :
Chacune de ces fonctions est élevée à une puissance d’apparence compliquée dans laquelle intervient la variable , les règles de dérivation dont nous avons l’habitude peuvent difficilement s’appliquer dans cette situation. Cependant, une méthode qui peut nous aider ici est la dérivation logarithmique.
Définition: Dérivation logarithmique
La dérivation logarithmique est une technique en quatre étapes permettant de dériver certaines fonctions inhabituelles ou compliquées, qu’il serait difficile voire impossible de dériver en n’utilisant que nos méthodes de dérivation habituelles. Soit une fonction dérivable, les étapes de la dérivation logarithmique sont les suivantes :
- prenez le logarithme népérien de chaque côté où le logarithme népérien ;
- utilisez les propriétés algébriques du logarithme pour simplifier ou développer le membre de droite ;
- dérivez chacun des côtés par rapport à ;
- résolvez l’équation .
On notera que bien que l’on ait spécifié que ces étapes ne peuvent être appliquées que lorsque , si l’on souhaite utiliser la dérivation logarithmique pour toute valeur de , on peut prendre le logarithme népérien de la valeur absolue de : . On couvre ainsi toutes les valeurs de notre fonction , les négatives comme les positives.
L’étape qui fait de la dérivation logarithmique une méthode si utile (en dehors de celle consistant à prendre le logarithme népérien) est la deuxième : l’utilisation des propriétés du logarithme pour simplifier le membre de droite. En effet,
- si comprend un produit, le transforme en une somme, car selon la propriété du produit dans un logarithme
- si comprend un quotient, le transforme en une différence, car selon la propriété du quotient dans un logarithme
- si comprend une puissance, la transforme en un produit, car selon la propriété de la puissance dans un logarithme
Une fois la fonction réécrite sous une forme plus facile à dériver, on peut dériver les expressions résultantes en utilisant nos méthodes habituelles et/ou les dérivées usuelles.
Le côté gauche de notre équation est et puisque que l’on doit maintenant dériver une fonction de où est lui-même une fonction de , nous utiliserons la dérivation pour les fonctions implicites. Pour cela, nous appliquerons la règle de derivations des fonctions composées, . En utilisant ceci pour dériver le côté gauche de notre équation par rapport à , on obtient
Ensuite, en utilisant le résultat connu , we have
Maintenant que nous connaissons les différentes étapes de la dérivation logarithmique, essayons de les mettre en pratique pour dériver des fonctions compliquées.
Exemple 1: Utiliser la dérivation logarithmique pour trouver la dérivée première d’une fonction puissance dont la variable apparaît à la fois dans la base et dans la puissance
Trouvez , sachant que .
Réponse
Commençons par isoler sur le côté gauche. On divise des deux côtés par 6 pour obtenir
Puisqu’on a ici une fonction puissance comportant une variable dans sa base mais aussi dans sa puissance, on va utiliser la dérivation logarithmique pour évaluer sa dérivée. La première étape de la dérivation logarithmique consiste à appliquer le logarithme népérien de chaque côté de la fonction. On obtient
En prenant le logarithme népérien, on a bien pensé à préciser que , car le logarithme n’est défini que sur les réels strictement positifs. La deuxième étape de la dérivation logarithmique consiste à utiliser les propriétés du logarithme pour réécrire le côté droit de l’équation sous une forme plus facile à dériver. Ici, on constate que notre fonction est composée de la variable élevée à la puissance , le tout multiplié par la constante . On utilise d’abord la propriété du produit dans un logarithme, pour séparer la constante et la variable. On obtient alors la somme
On peut ensuite utiliser la propriété de la puissance dans un logarithme, pour transformer l’exposant du second terme en un facteur du logarithme de sa base. On obtient
Notre fonction est maintenant sous une forme adaptée à l’utilisation des règles de dérivation habituelles, on peut donc passer à la troisième étape. La troisième étape de la dérivation logarithmique consiste à dériver chaque côté par rapport à . La dérivée d’une somme de deux fonctions étant égale à la somme de leurs dérivées, on a
En utilisant la dérivation pour les fonctions implicites sur le côté gauche de l’équation, où est une fonction de , on obtient . Par ailleurs, étant une constante, sa dérivée est nulle, on a donc
Sur le côté droit, on dérive un produit de deux fonctions, on peut par conséquent utiliser la règle de derivation d’un produit pour dériver. On sait que la dérivée de par rapport à est et que la dérivée de par rapport à est . Ainsi, en appliquant la règle de derivation d’un produit, on obtient
La dernière étape de la dérivation logarithmique consiste à isoler sur le côté gauche de l’équation. Pour cela, on multiplie les deux côtés par . Et puisque , on a
Enfin, on combine les puissances de et on obtient
Passons maintenant à un exemple dans lequel nous verrons comment dériver, grâce à la dérivation logarithmique, une fonction trigonométrique avec une variable en exposant.
Exemple 2: Dériver des fonctions trigonométriques en utilisant la dérivation logarithmique
Utilisez la dérivation logarithmique pour trouver la dérivée de la fonction .
Réponse
Lorsqu’il semble difficile de dériver une fonction en s’en tenant uniquement aux règles de dérivation habituelles, la dérivation logarithmique peut s’avérer utile. C’est le cas ici car l’argument du cosinus, mais aussi sa puissance, sont variables. La première étape de la dérivation logarithmique consiste à prendre le logarithme népérien des deux côtés de notre fonction, ce qui nous donne
En prenant le logarithme népérien, on n’oublie pas de spécifier que , car le logarithme n’est défini que sur les réels strictement positifs. On utilise ensuite les propriétés algébriques du logarithme pour développer le côté droit en une expression facilement dérivable. On utilise la propriété du produit dans un logarithme pour séparer la constante 2 du terme :
On obtient alors
Le deuxième terme de la somme sur le côté droit comporte une puissance , donc on va utiliser la propriété de la puissance dans un logarithme, pour convertir la puissance en un facteur du logarithme de sa base :
Nous avons obtenu ce que nous voulions : le côté droit de notre équation ne contient plus que des termes facilement dérivables. Par conséquent, on peut passer à la troisième étape de la dérivation logarithmique. Cette dernière consiste à dériver par rapport à chaque côté de l’équation. La dérivée d’une somme de deux fonctions étant égale à la somme de leurs dérivées, on a
On applique maintenant la dérivation pour les fonctions implicites à gauche, où est une fonction de , ce qui nous donne , par ailleurs, est une constante donc sa dérivée est nulle, ainsi, on a
À droite, on doit à présent dériver un produit dont les facteurs sont et , donc on applique la règle de dérivation d’un produit pour dériver. Pour cela, il nous faut connaître la dérivée de par rapport à . Il s’agit d’une fonction de fonction, ou autrement dit, d’une fonction composée, on peut donc appliquer la règle de derivation des fonctions composées pour trouver sa dérivée. On pose , où , on a alors et
Et puisque , on a
Nous sommes maintenant en mesure d’appliquer la règle de derivation d’un produit sur le côté droit de notre équation principale. On pose et , de sorte que et , alors, d’après la règle de derivation d’un produit,
On avait commencé par prendre le logarithme népérien de chaque côté de l’équation d’origine, puis on a dérivé par rapport à , ce qui nous donne
La dernière étape de la dérivation logarithmique consiste à isoler sur le côté gauche. Pour cela, on multiplie des deux côtés par pour obtenir
A présent, en se rappelant que , on obtient
Dans le prochain exemple, nous utiliserons la dérivation logarithmique pour dériver une fonction composée avec une variable en exposant.
Exemple 3: Trouver la dérivée première d’une fonction en utilisant la dérivation logarithmique
Trouvez , sachant que .
Réponse
Si la puissance de l’expression entre parenthèses était une constante, on pourrait dériver en utilisant tout simplement la règle de derivation des fonctions composées. Cependant, la puissance est elle-même une fonction de , la manière la plus simple de dériver une fonction de ce type est d’utiliser la dérivation logarithmique.
La première étape consiste à appliquer le logarithme népérien des deux côtés de notre fonction, de sorte que
Lorsqu’on a pris le logarithme népérien, on a spécifié que , car le logarithme n’est défini que sur les réels strictement positifs. On utilise ensuite les propriétés du logarithme pour développer le côté droit en une expression facilement dérivable. Le membre de droite comprend une puissance , donc on va appliquer la propriété de la puissance dans un logarithme, afin de le transformer en un facteur du logarithme de sa base :
Sur le côté droit, on a maintenant un produit de deux fonctions dérivables et on sait comment dériver ces deux fonctions. Par conséquent, on peut passer à la troisième étape de la dérivation logarithmique. Cette dernière consiste à dériver chacun des deux côtés par rapport à , de sorte que
On applique maintenant la dérivation pour les fonctions implicites à gauche, où est une fonction de , ce qui nous donne et donc
Sur le côté droit, on doit dériver un produit dont les facteurs sont et . On va donc utiliser la règle de derivation d’un produit pour dériver. Pour cela, on a besoin de connaître la dérivée de par rapport à . Il s’agit d’une fonction de fonction, donc on peut appliquer la règle de derivation des fonctions composées. On pose , où et on a, par consequent, et
Puisque , on a et donc on peut maintenant appliquer la règle de derivation d’un produit sur le côté droit de notre équation ci-dessus. On pose et , donc on a et, d’après la règle de derivation d’un produit,
En réarrangeant et en factorisant par 8, le facteur commun, on obtient
La dernière étape de la dérivation logarithmique consiste à isoler sur le côté gauche. Pour cela, on multiplie des deux côtés par et on obtient
Si l’on souhaite n’exprimer la dérivée qu’en fonction de , on remplace par et on trouve
Passons maintenant à un exemple dans lequel nous utiliserons la dérivation logarithmique pour dériver une constante élevée à une puissance dont l’expression, plutôt complexe, comprend une exponentielle et une fonction trigonométrique.
Exemple 4: Dériver une fonction composée d’une exponentielle et d’une fonction trigonométrique en utilisant la dérivation logarithmique
Soit , déterminez .
Réponse
La puissance de notre fonction étant elle-même une fonction assez complexe de la variable , la dérivation logarithmique est la méthode la plus simple pour dériver cette fonction. La première étape consiste à prendre le logarithme népérien des deux côtés, ce qui nous donne
En prenant le logarithme népérien, on a bien spécifié que , car le logarithme n’est défini que sur les réels strictement positifs. Si notre expression nous semble encore plus compliquée après cette première étape, gardons à l’esprit que nous la simplifierons dans la prochaine pour pouvoir ensuite la dériver facilement. La deuxième étape de la dérivation logarithmique consiste à utiliser les propriétés du logarithme pour réécrire le membre de droite sous une forme plus facile à dériver. Puisqu’ici nous avons une puissance, on va utiliser la propriété de la puissance dans un logarithme, à savoir
On peut ainsi ramener la puissance à un facteur du logarithme de sa base, ce qui nous donne c’est-à-dire une constante, , multipliée par l’expression . Puisqu’on sait comment dériver une telle expression, on peut maintenant passer à la troisième étape de la dérivation logarithmique. Cette dernière consiste à dériver chacun des deux côtés par rapport à , ce qui nous donne (la constante ayant été sortie de la dérivée).
On applique la dérivation pour les fonctions implicites sur le côté gauche de l’équation, où est une fonction de , et on a
On rappelle que et que et on dérive le côté droit pour obtenir
La dernière étape de la dérivation logarithmique consiste à isoler sur le côté gauche. On y parvient en multipliant les deux côtés par , ce qui nous donne
Finalement, on rappelle que et on réarrange le membre de droite pour trouver
Dans notre dernier exemple, nous utiliserons la dérivation logarithmique pour dériver une fonction quelque peu inhabituelle comportant deux puissances successives de .
Exemple 5: Trouver la dérivée première d’une fonction de la forme 𝑥𝑥𝑥 en utilisant la dérivation logarithmique
Soit , trouvez .
Réponse
Les puissances de notre fonction sont des variables, et la dérivation logarithmique est la méthode la plus adaptée pour dériver ce genre de fonction. La première étape consiste à prendre le logarithme népérien de chaque côté. Pour notre fonction , cela nous donne
Lorsqu’on a pris le logarithme népérien de chaque côté, on a spécifié que , car le logarithme n’est défini que sur les réels strictement positifs.
La prochaine étape de la dérivation logarithmique consiste à utiliser les propriétés du logarithme pour développer le membre de droite. Cette étape nous permet généralement d’obtenir une expression facilement dérivable, cependant, avec une telle fonction, on comprend qu’il sera nécessaire d’appliquer les deux premières étapes de la dérivation logarithmique deux fois de suite pour parvenir à une expression facilement dérivable.
Puisque notre fonction comporte des puissances, on peut utiliser la propriété de la puissance dans un logarithme pour développer le membre de droite. Utiliser la propriété de la puissance dans un logarithme, à savoir nous permet de ramener l’une des puissances à un simple facteur, on a donc
Notre nouvelle expression, qui consiste maintenant en un produit, semble un peu plus facile à dériver que la précédente. Cependant, l’un des facteurs () pose toujours problème. On va donc revenir à la première étape et prendre à nouveau le logarithme népérien de chaque côté. Cela nous permettra d’appliquer les propriétés du logarithme une nouvelle fois pour développer le membre de droite. On prend donc le logarithme népérien une nouvelle fois et on a
On peut maintenant utiliser la propriété du produit dans un logarithme,
En appliquant cette règle sur le côté droit, on obtient
On peut aussi à nouveau appliquer la propriété de la puissance dans un logarithme afin de développer le premier terme de notre somme, on a donc maintenant soit une expression que l’on peut dériver en utilisant les règles dont on a l’habitude. Cela nous amène à la troisième étape de la dérivation logarithmique, qui consiste à dériver chacun des côtés par rapport à : (la dérivée d’une somme étant égale à la somme des dérivées). Commençons par le premier terme du membre de droite.
Il s’agit d’un produit dont les facteurs sont et . En utilisant la règle de derivation d’un produit et le fait que , on a
Intéressons-nous maintenant au second terme du membre de droite, on constate qu’il va falloir utiliser une technique similaire pour ce terme et pour celui du membre de gauche. On considère l’expression . Cette expression est de la forme , où est une fonction derivable de . Il s’agit donc d’une fonction de fonction, où . On sait que et que (pour ). Par conséquent, on a
On a trouvé les dérivées des deux termes de droite, donc il ne nous reste plus qu’à évaluer la dérivée sur le côté gauche. Alors, c’est . On avait remarqué précédemment que l’on pouvait utiliser pour cela la même technique que celle employée pour le second terme du membre de gauche.
Ainsi, on veut dériver l’expression , où . Cette fois, nous devons tenir compte du fait que est une fonction de , alors
Nous pouvons maintenant assembler les résultats de notre différenciation comme suit :
Dans la dernière étape de la différenciation logarithmique, nous isolons sur le côté gauche en multipliant les deux côtés par et en réorganisant ; nous avons
Concluons cette fiche explicative sur la dérivation logarithmique en récapitulant quelques points clés.
Points clés
- Lorsqu’il est difficile ou impossible d’utiliser les méthodes de dérivation habituelles sur une fonction potentiellement compliquée, on peut envisager la dérivation logarithmique, dans cette méthode, on applique le logarithme népérien, où le logarithme népérien, , est . Cette méthode est particulièrement efficace sur les fonctions ayant une variable en exposant.
- Pour appliquer la dérivation logarithmique sur une fonction dérivable de , les étapes sont les suivantes :
- on applique le logarithme népérien des deux côtés
- on utilise les propriétés algébriques du logarithme, pour simplifier ou développer le membre de droite ;
- on dérive chacun des côtés par rapport à ;
- on résout l’équation et on trouve .
- En prenant le logarithme népérien de chaque côté, on spécifie que , car le logarithme n’est défini que sur les réels strictement positifs.