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Fiche explicative de la leçon : Dérivation logarithmique Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à trouver les dérivées de certaines fonctions positives en appliquant le logarithme népérien de chaque côté de la fonction avant de dériver.

Il peut arriver que nous ayons besoin de dériver une fonction, mais qu’il soit difficile, voire impossible, de lui appliquer nos techniques habituelles, telles les règles de derivation des fonctions composées, d’un produit ou d’un quotient. Par exemple, si nous nous contentions d’utiliser nos techniques habituelles, nous ne saurions comment dériver par rapport à 𝑥 les fonctions présentées ci-dessous:𝑦=5𝑥,𝑦=3,𝑦=4𝑥9,𝑦=𝑥𝑥5.costan

Chacune de ces fonctions est élevée à une puissance d’apparence compliquée dans laquelle intervient la variable 𝑥, les règles de dérivation dont nous avons l’habitude peuvent difficilement s’appliquer dans cette situation. Cependant, une méthode qui peut nous aider ici est la dérivation logarithmique.

Définition: Dérivation logarithmique

La dérivation logarithmique est une technique en quatre étapes permettant de dériver certaines fonctions inhabituelles ou compliquées, qu’il serait difficile voire impossible de dériver en n’utilisant que nos méthodes de dérivation habituelles. Soit 𝑦=𝑓(𝑥)𝑦>0, une fonction dérivable, les étapes de la dérivation logarithmique sont les suivantes:

  1. prenez le logarithme népérien de chaque côté lnln𝑦=𝑓(𝑥), où le logarithme népérien lnlog𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥);
  2. utilisez les propriétés algébriques du logarithme pour simplifier ou développer le membre de droite;
  3. dérivez chacun des côtés par rapport à 𝑥;
  4. résolvez l’équation 𝑦=𝑦𝑥dd.

On notera que bien que l’on ait spécifié que ces étapes ne peuvent être appliquées que lorsque 𝑦>0, si l’on souhaite utiliser la dérivation logarithmique pour toute valeur de 𝑦0, on peut prendre le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑦:ln|𝑦. On couvre ainsi toutes les valeurs de notre fonction 𝑦, les négatives comme les positives.

L’étape qui fait de la dérivation logarithmique une méthode si utile (en dehors de celle consistant à prendre le logarithme népérien) est la deuxième:l’utilisation des propriétés du logarithme pour simplifier le membre de droite. En effet,

  • si 𝑓(𝑥) comprend un produit, ln𝑓(𝑥) le transforme en une somme, car selon la propriété du produit dans un logarithme logloglog𝑏𝑐=𝑏+𝑐,
  • si 𝑓(𝑥) comprend un quotient, ln𝑓(𝑥) le transforme en une différence, car selon la propriété du quotient dans un logarithme logloglog𝑏𝑐=𝑏𝑐,
  • si 𝑓(𝑥) comprend une puissance, ln𝑓(𝑥) la transforme en un produit, car selon la propriété de la puissance dans un logarithme loglog𝑏=𝑐𝑏.

Une fois la fonction réécrite sous une forme plus facile à dériver, on peut dériver les expressions résultantes en utilisant nos méthodes habituelles et/ou les dérivées usuelles.

Le côté gauche de notre équation est lnln𝑦=𝑓(𝑥) et puisque que l’on doit maintenant dériver une fonction de 𝑦𝑦 est lui-même une fonction de 𝑥, nous utiliserons la dérivation pour les fonctions implicites. Pour cela, nous appliquerons la règle de derivations des fonctions composées, dddddd𝑥𝑔((𝑥))=𝑔𝑥. En utilisant ceci pour dériver le côté gauche de notre équation par rapport à 𝑥, on obtient ddlnddlndddd𝑥𝑦=𝑦𝑦𝑦𝑥=𝑓𝑥.

Ensuite, en utilisant le résultat connu ddln𝑦𝑦=1𝑦(𝑦0), we have 1𝑦𝑦𝑥=𝑓𝑥𝑦𝑥=𝑦𝑓𝑥.dddddddd

Maintenant que nous connaissons les différentes étapes de la dérivation logarithmique, essayons de les mettre en pratique pour dériver des fonctions compliquées.

Exemple 1: Utiliser la dérivation logarithmique pour trouver la dérivée première d’une fonction puissance dont la variable apparaît à la fois dans la base et dans la puissance

Trouvez dd𝑦𝑥, sachant que 6𝑦=7𝑥.

Réponse

Commençons par isoler 𝑦 sur le côté gauche. On divise des deux côtés par 6 pour obtenir 𝑦=76𝑥.

Puisqu’on a ici une fonction puissance comportant une variable dans sa base mais aussi dans sa puissance, on va utiliser la dérivation logarithmique pour évaluer sa dérivée. La première étape de la dérivation logarithmique consiste à appliquer le logarithme népérien de chaque côté de la fonction. On obtient lnln𝑦=76𝑥𝑦>0.

En prenant le logarithme népérien, on a bien pensé à préciser que 𝑦>0, car le logarithme n’est défini que sur les réels strictement positifs. La deuxième étape de la dérivation logarithmique consiste à utiliser les propriétés du logarithme pour réécrire le côté droit de l’équation sous une forme plus facile à dériver. Ici, on constate que notre fonction est composée de la variable 𝑥 élevée à la puissance 35𝑥, le tout multiplié par la constante 76. On utilise d’abord la propriété du produit dans un logarithme, logloglog𝑏𝑐=𝑏+𝑐, pour séparer la constante et la variable. On obtient alors la somme lnlnln𝑦=76+𝑥.

On peut ensuite utiliser la propriété de la puissance dans un logarithme, loglog𝑏=𝑐𝑏, pour transformer l’exposant du second terme en un facteur du logarithme de sa base. On obtient lnlnln𝑦=76+35𝑥𝑥.

Notre fonction est maintenant sous une forme adaptée à l’utilisation des règles de dérivation habituelles, on peut donc passer à la troisième étape. La troisième étape de la dérivation logarithmique consiste à dériver chaque côté par rapport à 𝑥. La dérivée d’une somme de deux fonctions étant égale à la somme de leurs dérivées, on a ddlnddlnddln𝑥𝑦=𝑥76+𝑥35𝑥𝑥.

En utilisant la dérivation pour les fonctions implicites sur le côté gauche de l’équation, où 𝑦 est une fonction de 𝑥, on obtient ddlndd𝑥𝑦=1𝑦𝑦𝑥. Par ailleurs, ln76 étant une constante, sa dérivée est nulle, on a donc 1𝑦𝑦𝑥=𝑥35𝑥𝑥.ddddln

Sur le côté droit, on dérive un produit de deux fonctions, on peut par conséquent utiliser la règle de derivation d’un produit pour dériver. On sait que la dérivée de ln𝑥 par rapport à 𝑥 est 1𝑥 et que la dérivée de 35𝑥=35𝑥 par rapport à 𝑥 est 35𝑥. Ainsi, en appliquant la règle de derivation d’un produit, on obtient 1𝑦𝑦𝑥=35𝑥1𝑥+𝑥35𝑥=35𝑥[1𝑥].ddlnln

La dernière étape de la dérivation logarithmique consiste à isoler dd𝑦𝑥 sur le côté gauche de l’équation. Pour cela, on multiplie les deux côtés par 𝑦. Et puisque 𝑦=76𝑥, on a ddlnln𝑦𝑥=76𝑥35𝑥[1𝑥]=710𝑥𝑥[1𝑥].

Enfin, on combine les puissances de 𝑥 et on obtient ddln𝑦𝑥=710𝑥[1𝑥].

Passons maintenant à un exemple dans lequel nous verrons comment dériver, grâce à la dérivation logarithmique, une fonction trigonométrique avec une variable en exposant.

Exemple 2: Dériver des fonctions trigonométriques en utilisant la dérivation logarithmique

Utilisez la dérivation logarithmique pour trouver la dérivée de la fonction 𝑦=2(𝑥)cos.

Réponse

Lorsqu’il semble difficile de dériver une fonction en s’en tenant uniquement aux règles de dérivation habituelles, la dérivation logarithmique peut s’avérer utile. C’est le cas ici car l’argument du cosinus, mais aussi sa puissance, sont variables. La première étape de la dérivation logarithmique consiste à prendre le logarithme népérien des deux côtés de notre fonction, ce qui nous donne lnlncos𝑦=2(𝑥),𝑦>0.

En prenant le logarithme népérien, on n’oublie pas de spécifier que 𝑦>0, car le logarithme n’est défini que sur les réels strictement positifs. On utilise ensuite les propriétés algébriques du logarithme pour développer le côté droit en une expression facilement dérivable. On utilise la propriété du produit dans un logarithme pour séparer la constante 2 du terme (𝑥)cos:logloglog𝑏𝑐=𝑏+𝑐.

On obtient alors lnlnlncos𝑦=2+(𝑥).

Le deuxième terme de la somme sur le côté droit comporte une puissance (𝑥), donc on va utiliser la propriété de la puissance dans un logarithme, loglog𝑏=𝑐𝑏, pour convertir la puissance 𝑥 en un facteur du logarithme de sa base:lnlnlncos𝑦=2+𝑥𝑥.

Nous avons obtenu ce que nous voulions:le côté droit de notre équation ne contient plus que des termes facilement dérivables. Par conséquent, on peut passer à la troisième étape de la dérivation logarithmique. Cette dernière consiste à dériver par rapport à 𝑥 chaque côté de l’équation. La dérivée d’une somme de deux fonctions étant égale à la somme de leurs dérivées, on a ddlnddlnddlncos𝑥𝑦=𝑥2+𝑥[𝑥𝑥].

On applique maintenant la dérivation pour les fonctions implicites à gauche, où 𝑦 est une fonction de 𝑥, ce qui nous donne ddlndd𝑥𝑦=1𝑦𝑦𝑥, par ailleurs, ln2 est une constante donc sa dérivée est nulle, ainsi, on a 1𝑦𝑦𝑥=𝑥[𝑥𝑥].ddddlncos

À droite, on doit à présent dériver un produit dont les facteurs sont 𝑥 et lncos𝑥, donc on applique la règle de dérivation d’un produit pour dériver. Pour cela, il nous faut connaître la dérivée de lncos𝑥 par rapport à 𝑥. Il s’agit d’une fonction de fonction, ou autrement dit, d’une fonction composée, on peut donc appliquer la règle de derivation des fonctions composées pour trouver sa dérivée. On pose 𝑣()=ln, (𝑥)=𝑥cos, on a alors dd𝑣=1 et dddddddd𝑣𝑥=𝑣𝑥=1𝑥.

Et puisque (𝑥)=𝑥cos, on a ddcossintan𝑣𝑥=1𝑥(𝑥)=𝑥.

Nous sommes maintenant en mesure d’appliquer la règle de derivation d’un produit sur le côté droit de notre équation principale. On pose 𝑢=𝑥 et 𝑣=𝑥lncos, de sorte que dd𝑢𝑥=1 et ddtan𝑣𝑥=𝑥, alors, d’après la règle de derivation d’un produit, ddddddtanlncoslncostan𝑥(𝑢𝑣)=𝑢𝑣𝑥+𝑣𝑢𝑥=𝑥(𝑥)+1𝑥=𝑥𝑥𝑥.

On avait commencé par prendre le logarithme népérien de chaque côté de l’équation d’origine, puis on a dérivé par rapport à 𝑥, ce qui nous donne 1𝑦𝑦𝑥=𝑥𝑥𝑥.ddlncostan

La dernière étape de la dérivation logarithmique consiste à isoler dd𝑦𝑥 sur le côté gauche. Pour cela, on multiplie des deux côtés par 𝑦 pour obtenir ddlncostan𝑦𝑥=𝑦[𝑥𝑥𝑥].

A présent, en se rappelant que 𝑦=2(𝑥)cos, on obtient ddcoslncostan𝑦𝑥=2(𝑥)[𝑥𝑥𝑥].

Dans le prochain exemple, nous utiliserons la dérivation logarithmique pour dériver une fonction composée avec une variable en exposant.

Exemple 3: Trouver la dérivée première d’une fonction en utilisant la dérivation logarithmique

Trouvez dd𝑦𝑥, sachant que 𝑦=6𝑥+7.

Réponse

Si la puissance de l’expression entre parenthèses était une constante, on pourrait dériver en utilisant tout simplement la règle de derivation des fonctions composées. Cependant, la puissance est elle-même une fonction de 𝑥, la manière la plus simple de dériver une fonction de ce type est d’utiliser la dérivation logarithmique.

La première étape consiste à appliquer le logarithme népérien des deux côtés de notre fonction, de sorte que lnln𝑦=6𝑥+7𝑦>0.

Lorsqu’on a pris le logarithme népérien, on a spécifié que 𝑦>0, car le logarithme n’est défini que sur les réels strictement positifs. On utilise ensuite les propriétés du logarithme pour développer le côté droit en une expression facilement dérivable. Le membre de droite comprend une puissance (8𝑥), donc on va appliquer la propriété de la puissance dans un logarithme, loglog𝑏=𝑐𝑏, afin de le transformer en un facteur du logarithme de sa base:lnln𝑦=8𝑥6𝑥+7.

Sur le côté droit, on a maintenant un produit de deux fonctions dérivables et on sait comment dériver ces deux fonctions. Par conséquent, on peut passer à la troisième étape de la dérivation logarithmique. Cette dernière consiste à dériver chacun des deux côtés par rapport à 𝑥, de sorte que ddlnddln𝑥𝑦=𝑥8𝑥6𝑥+7.

On applique maintenant la dérivation pour les fonctions implicites à gauche, où 𝑦 est une fonction de 𝑥, ce qui nous donne ddlndd𝑥𝑦=1𝑦𝑦𝑥 et donc 1𝑦𝑦𝑥=𝑥8𝑥6𝑥+7.ddddln

Sur le côté droit, on doit dériver un produit dont les facteurs sont 8𝑥 et ln6𝑥+7. On va donc utiliser la règle de derivation d’un produit pour dériver. Pour cela, on a besoin de connaître la dérivée de ln6𝑥+7 par rapport à 𝑥. Il s’agit d’une fonction de fonction, donc on peut appliquer la règle de derivation des fonctions composées. On pose 𝑣()=ln, (𝑥)=6𝑥+7 et on a, par consequent, dd𝑣=1 et dddddddd𝑣𝑥=𝑣𝑥=1𝑥.

Puisque (𝑥)=6𝑥+7, on a dd𝑥=54𝑥 et dd𝑣𝑥=1(6𝑥+7)54𝑥, donc on peut maintenant appliquer la règle de derivation d’un produit sur le côté droit de notre équation ci-dessus. On pose 𝑢=8𝑥 et 𝑣=6𝑥+7ln, donc on a ddetdd𝑢𝑥=8𝑣𝑥=54𝑥(6𝑥+7), et, d’après la règle de derivation d’un produit, ddddddln𝑥(𝑢𝑣)=𝑢𝑣𝑥+𝑣𝑢𝑥=8𝑥54𝑥(6𝑥+7)+6𝑥+78.

En réarrangeant et en factorisant par 8, le facteur commun, on obtient 1𝑦𝑦𝑥=86𝑥+7+54𝑥(6𝑥+7).ddln

La dernière étape de la dérivation logarithmique consiste à isoler dd𝑦𝑥 sur le côté gauche. Pour cela, on multiplie des deux côtés par 𝑦 et on obtient ddln𝑦𝑥=8𝑦6𝑥+7+54𝑥(6𝑥+7).

Si l’on souhaite n’exprimer la dérivée qu’en fonction de 𝑥, on remplace par 𝑦=6𝑥+7 et on trouve ddln𝑦𝑥=86𝑥+76𝑥+7+54𝑥(6𝑥+7).

Passons maintenant à un exemple dans lequel nous utiliserons la dérivation logarithmique pour dériver une constante élevée à une puissance dont l’expression, plutôt complexe, comprend une exponentielle et une fonction trigonométrique.

Exemple 4: Dériver une fonction composée d’une exponentielle et d’une fonction trigonométrique en utilisant la dérivation logarithmique

Soit 𝑦=2sin, déterminez dd𝑦𝑥.

Réponse

La puissance de notre fonction étant elle-même une fonction assez complexe de la variable 𝑥, la dérivation logarithmique est la méthode la plus simple pour dériver cette fonction. La première étape consiste à prendre le logarithme népérien des deux côtés, ce qui nous donne lnln𝑦=2𝑦>0.sin

En prenant le logarithme népérien, on a bien spécifié que 𝑦>0, car le logarithme n’est défini que sur les réels strictement positifs. Si notre expression nous semble encore plus compliquée après cette première étape, gardons à l’esprit que nous la simplifierons dans la prochaine pour pouvoir ensuite la dériver facilement. La deuxième étape de la dérivation logarithmique consiste à utiliser les propriétés du logarithme pour réécrire le membre de droite sous une forme plus facile à dériver. Puisqu’ici nous avons une puissance, on va utiliser la propriété de la puissance dans un logarithme, à savoir loglog𝑏=𝑐𝑏.

On peut ainsi ramener la puissance à un facteur du logarithme de sa base, ce qui nous donne lnsinln𝑦=9𝑒+𝑥2, c’est-à-dire une constante, ln2, multipliée par l’expression 9𝑒+𝑥sin. Puisqu’on sait comment dériver une telle expression, on peut maintenant passer à la troisième étape de la dérivation logarithmique. Cette dernière consiste à dériver chacun des deux côtés par rapport à 𝑥, ce qui nous donne ddlnlnddsin𝑥𝑦=2𝑥9𝑒+𝑥 (la constante ln2 ayant été sortie de la dérivée).

On applique la dérivation pour les fonctions implicites sur le côté gauche de l’équation, où 𝑦 est une fonction de 𝑥, et on a 1𝑦𝑦𝑥=2𝑥9𝑒+𝑥.ddlnddsin

On rappelle que dddd𝑥𝑒=𝑒𝑥𝑢(𝑥)()() et que ddsincos𝑥𝑥=𝑥 et on dérive le côté droit pour obtenir 1𝑦𝑦𝑥=281𝑒+𝑥.ddlncos

La dernière étape de la dérivation logarithmique consiste à isoler dd𝑦𝑥 sur le côté gauche. On y parvient en multipliant les deux côtés par 𝑦, ce qui nous donne ddlncos𝑦𝑥=𝑦281𝑒+𝑥.

Finalement, on rappelle que 𝑦=2sin et on réarrange le membre de droite pour trouver ddcosln𝑦𝑥=281𝑒+𝑥2.sin

Dans notre dernier exemple, nous utiliserons la dérivation logarithmique pour dériver une fonction quelque peu inhabituelle comportant deux puissances successives de 𝑥.

Exemple 5: Trouver la dérivée première d’une fonction de la forme 𝑥𝑥𝑥 en utilisant la dérivation logarithmique

Soit 𝑦=𝑥, trouvez dd𝑦𝑥.

Réponse

Les puissances de notre fonction sont des variables, et la dérivation logarithmique est la méthode la plus adaptée pour dériver ce genre de fonction. La première étape consiste à prendre le logarithme népérien de chaque côté. Pour notre fonction 𝑦, cela nous donne lnln𝑦=𝑥𝑦>0.

Lorsqu’on a pris le logarithme népérien de chaque côté, on a spécifié que 𝑦>0, car le logarithme n’est défini que sur les réels strictement positifs.

La prochaine étape de la dérivation logarithmique consiste à utiliser les propriétés du logarithme pour développer le membre de droite. Cette étape nous permet généralement d’obtenir une expression facilement dérivable, cependant, avec une telle fonction, on comprend qu’il sera nécessaire d’appliquer les deux premières étapes de la dérivation logarithmique deux fois de suite pour parvenir à une expression facilement dérivable.

Puisque notre fonction comporte des puissances, on peut utiliser la propriété de la puissance dans un logarithme pour développer le membre de droite. Utiliser la propriété de la puissance dans un logarithme, à savoir loglog𝑏=𝑐𝑏, nous permet de ramener l’une des puissances à un simple facteur, on a donc lnln𝑦=𝑥𝑥.

Notre nouvelle expression, qui consiste maintenant en un produit, semble un peu plus facile à dériver que la précédente. Cependant, l’un des facteurs (𝑥) pose toujours problème. On va donc revenir à la première étape et prendre à nouveau le logarithme népérien de chaque côté. Cela nous permettra d’appliquer les propriétés du logarithme une nouvelle fois pour développer le membre de droite. On prend donc le logarithme népérien une nouvelle fois et on a lnlnlnln(𝑦)=[𝑥𝑥].

On peut maintenant utiliser la propriété du produit dans un logarithme, logloglog𝑏𝑐=𝑏+𝑐.

En appliquant cette règle sur le côté droit, on obtient lnlnlnlnln(𝑦)=𝑥+(𝑥).

On peut aussi à nouveau appliquer la propriété de la puissance dans un logarithme afin de développer le premier terme de notre somme, on a donc maintenant lnlnlnlnln(𝑦)=𝑥𝑥+(𝑥), soit une expression que l’on peut dériver en utilisant les règles dont on a l’habitude. Cela nous amène à la troisième étape de la dérivation logarithmique, qui consiste à dériver chacun des côtés par rapport à 𝑥:ddlnlnddlnddlnln𝑥(𝑦)=𝑥(𝑥𝑥)+𝑥(𝑥) (la dérivée d’une somme étant égale à la somme des dérivées). Commençons par le premier terme du membre de droite.

Il s’agit d’un produit dont les facteurs sont 𝑥 et ln𝑥. En utilisant la règle de derivation d’un produit et le fait que ddln𝑥𝑥=1𝑥, on a ddlnlnln𝑥(𝑥𝑥)=𝑥1𝑥+𝑥1=1+𝑥.

Intéressons-nous maintenant au second terme du membre de droite, on constate qu’il va falloir utiliser une technique similaire pour ce terme et pour celui du membre de gauche. On considère l’expression lnln(𝑥). Cette expression est de la forme ln𝑢, 𝑢 est une fonction derivable de 𝑥. Il s’agit donc d’une fonction de fonction, où 𝑢(𝑥)=𝑥ln. On sait que ddln𝑥𝑥=1𝑥 et que ddlndd𝑥𝑢=1𝑢𝑢𝑥 (pour 𝑢>0). Par conséquent, on a ddlnlnlnln𝑥(𝑥)=1𝑥1𝑥=1𝑥𝑥.

On a trouvé les dérivées des deux termes de droite, donc il ne nous reste plus qu’à évaluer la dérivée sur le côté gauche. Alors, c’est ddlnln𝑥(𝑦). On avait remarqué précédemment que l’on pouvait utiliser pour cela la même technique que celle employée pour le second terme du membre de gauche.

Ainsi, on veut dériver l’expression ln𝑢, 𝑢=𝑦ln. Cette fois, nous devons tenir compte du fait que 𝑦 est une fonction de 𝑥, alors ddlnlnlnddlnlnddlndd𝑥(𝑦)=1𝑦𝑥𝑦=1𝑦1𝑦𝑦𝑥=1𝑦𝑦𝑦𝑥.

Nous pouvons maintenant assembler les résultats de notre différenciation comme suit:1𝑦𝑦𝑦𝑥=1+𝑥+1𝑥𝑥.lnddlnln

Dans la dernière étape de la différenciation logarithmique, nous isolons dd𝑦𝑥 sur le côté gauche en multipliant les deux côtés par 𝑦𝑦ln et en réorganisant;nous avons ddlnlnln𝑦𝑥=(𝑦𝑦)𝑥+1𝑥𝑥+1.

Concluons cette fiche explicative sur la dérivation logarithmique en récapitulant quelques points clés.

Points clés

  • Lorsqu’il est difficile ou impossible d’utiliser les méthodes de dérivation habituelles sur une fonction potentiellement compliquée, on peut envisager la dérivation logarithmique, dans cette méthode, on applique le logarithme népérien, où le logarithme népérien, ln, est log. Cette méthode est particulièrement efficace sur les fonctions ayant une variable en exposant.
  • Pour appliquer la dérivation logarithmique sur une fonction dérivable de 𝑥, 𝑦=𝑓(𝑥)𝑦>0,les étapes sont les suivantes:
    • on applique le logarithme népérien des deux côtés lnln𝑦=𝑓(𝑥);
    • on utilise les propriétés algébriques du logarithme, loglogloglogloglogloglog𝑏𝑐=𝑏+𝑐,𝑏𝑐=𝑏𝑐,𝑏=𝑐𝑏 pour simplifier ou développer le membre de droite;
    • on dérive chacun des côtés par rapport à 𝑥;
    • on résout l’équation et on trouve 𝑦=𝑦𝑥dd.
  • En prenant le logarithme népérien de chaque côté, on spécifie que 𝑦>0, car le logarithme n’est défini que sur les réels strictement positifs.

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