Vidéo de la leçon: Dériver à l’aide du logarithme Mathématiques

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Si nous souhaitons dériver une fonction compliquée, par exemple un produit, un quotient ou une puissance, nous pouvons utiliser nos connaissances sur la dérivée du logarithme, la formule de la dérivée d’une composée et les propriétés des logarithmes pour trouver la dérivée de cette fonction. Pour cela, nous prenons le logarithme de la fonction et utilisons les propriétés des logarithmes pour développer ou simplifier l’expression ; puis nous la dérivons. La dernière étape est ensuite de déterminer d𝑦 sur d𝑥. Dans cette vidéo, nous allons détailler cette méthode et étudier quelques exemples.

Supposons que la fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 soit trop complexe pour être dérivée en utilisant les règles habituelles. Pour utiliser la dérivation à l’aide du logarithme, nous commençons par appliquer le logarithme népérien aux deux membres pour obtenir ln de 𝑦 égale ln de 𝑓 de 𝑥, où le logarithme népérien est le logarithme de base 𝑒 et 𝑒 est le nombre d’Euler égal à 2,71828 à cinq décimales près. Une fois que nous avons appliqué le logarithme népérien aux deux membres, nous pouvons utiliser les propriétés des logarithmes pour développer la fonction. La troisième étape consiste ensuite à dériver les deux membres par rapport à 𝑥. Et la dernière étape est de déterminer 𝑦 prime, soit d𝑦 sur d𝑥. Examinons un peu plus en détail ces étapes car cette méthode présente des restrictions.

Comme nous prenons le logarithme des deux membres dans la première étape, la dérivation à l’aide du logarithme n’est valable que pour les valeurs de 𝑓 supérieures à zéro. Si on observe la représentation graphique du logarithme népérien pour une variable 𝑢, on peut en effet voir que la fonction n’est pas définie pour les valeurs de 𝑢 inférieures ou égales à zéro. Nous pouvons inclure des valeurs strictement négatives de la variable, mais uniquement en prenant le logarithme de sa valeur absolue, qui ressemble à ceci. Notez cependant que cette fonction n’est toujours pas définie pour 𝑢 égale zéro. Et on sait que pour 𝑢 supérieur à zéro, la dérivée de ln de 𝑢 par rapport à 𝑢 est un sur 𝑢. Et en fait, pour 𝑢 différent de zéro, il en va de même pour la dérivée de ln de valeur absolue de 𝑢. Donc la dérivée est un sur 𝑢 dans les deux cas.

Lorsque nous utilisons cette méthode de dérivation, nous devons donc spécifier si 𝑓 de 𝑥 est supérieure à zéro, auquel cas on prend le logarithme népérien des deux membres, ou si 𝑓 de 𝑥 est différente de zéro, auquel cas, on prend le logarithme népérien des valeurs absolues des deux membres. Nous prenons donc le logarithme népérien des deux membres, mais comment cela nous aide-t-il à dériver une fonction compliquée? Eh bien, c’est là que la deuxième étape entre en jeu. Dans la deuxième étape, nous utilisons les propriétés des logarithmes pour développer le membre droit.

Rappelez-vous que les logarithmes transforment les produits et les quotients en sommes tels que de 𝑎𝑏 égale de 𝑎 plus de 𝑏 et de 𝑎 sur 𝑏 égale de 𝑎 moins ln 𝑏 ; ils transforment également les puissances en produits. Ainsi, de 𝑎 puissance 𝑏 égale 𝑏 fois de 𝑎. Et une fois que nous avons développé la fonction en une forme plus facile à manipuler, nous dérivons les expressions résultantes dans l’étape 3.

Sur le membre gauche, on utilise la dérivation implicite puisque l’on dérive maintenant une fonction de 𝑦, qui est elle-même une fonction de 𝑥. Comment cela fonctionne-t-il? Eh bien, pour une fonction 𝑔 de 𝑦, qui est elle-même une fonction de 𝑥, et qui est égale à ℎ de 𝑥; alors sur le membre gauche, d𝑔 sur d𝑥 égale d𝑔 sur d𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥, qui, sur le membre droit, est égal à dℎ sur d𝑥. Nous pouvons alors passer l’étape quatre, qui est de déterminer d𝑦 sur d𝑥. Et cela nous donne d𝑦 sur d𝑥 égale dℎ sur d𝑥 divisé par d𝑔 sur d𝑦. Rappelons que dans notre cas, 𝑔 est égale à ln de 𝑦 qui est égal à de 𝑥. Faisons un peu de place ici.

Donc, d𝑔 sur d𝑥 égale d𝑔 sur d𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥. Et rappelez-vous que d sur d𝑢 de la fonction ln de 𝑢 égale un sur 𝑢. Donc, d𝑔 sur d𝑦 égale un sur 𝑦. Et on a d𝑔 sur d𝑥 égale un sur 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥. Qui est égal à d sur d𝑥 au membre droit. On peut maintenant multiplier par 𝑦, ce qui donne d𝑦 sur d𝑥 sur le membre gauche est égal à 𝑦 fois d sur d𝑥 sur le membre droit. Et nous avons notre dérivée d𝑦 sur d𝑥. Voyons maintenant comment la dérivation à l’aide du logarithme fonctionne en pratique si le membre droit est un produit.

Soit la fonction 𝑦, qui est le produit des fonctions 𝑓 de et 𝑔 de . Nous souhaitons utiliser la dérivation à l’aide du logarithme pour déterminer d𝑦 sur d𝑥. On commence par prendre les logarithmes népériens des valeurs absolues des deux membres. Et on remarque que cela est possible pour 𝑦 différent de zéro. On peut appliquer la propriété du logarithme d’un produit à droite, où on a également utilisé la propriété de la valeur absolue d’un produit. Le membre droit devient donc ln de valeur absolue de 𝑓 plus ln de valeur absolue de 𝑔.

Nous voulons maintenant dériver les deux membres par rapport à 𝑥 ; sur le membre droit, on peut utiliser le fait que la dérivée d’une somme est la somme des dérivées. Sur le membre gauche, on peut utiliser le fait que la dérivée de ln de valeur absolue de 𝑢 est égale à un sur 𝑢 pour 𝑢 non nul. Et en rappelant que 𝑦 est en fait une fonction de 𝑥, on peut utiliser la formule de la dérivée d’une composée. Elle stipule que si 𝑔 est une fonction de 𝑦 qui est elle-même une fonction de 𝑥, alors d𝑔 sur d𝑥 égale d𝑔 sur d𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥. Dans ce cas, 𝑔 égale ln de valeur absolue de 𝑦. Et en utilisant le résultat précédent, sa dérivée par rapport à 𝑦 est un sur 𝑦, que l’on multiplie par d𝑦 sur d𝑥 d’après la formule de la dérivée d’une composée.

On suit exactement le même raisonnement pour chacun des termes du membre droit et on obtient un sur 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥 égale un sur 𝑓 d𝑓 sur d𝑥 plus un sur 𝑔 d𝑔 sur d𝑥. Pour rendre les choses un peu plus claires, utilisons la notation 𝑦 prime égale d𝑦 sur d𝑥. Si on multiplie maintenant par 𝑦, 𝑦 s’annule sur le membre gauche et on obtient 𝑦 fois 𝑓 prime sur 𝑓 plus 𝑦 fois 𝑔 prime sur 𝑔 sur le membre droit.

Rappelez-vous, cependant, que 𝑦 est en fait égale à 𝑓 fois 𝑔. On peut alors annuler un 𝑓 au premier terme et un 𝑔 au deuxième terme et il nous reste 𝑦 prime égale prime 𝑔 plus 𝑓 𝑔 prime, qui est en fait la formule de la dérivée d’un produit. Nous avons donc montré que la formule de la dérivée d’un produit peut être considérée comme une conséquence de la dérivée du logarithme. Et la formule de la dérivée d’un quotient peut également être obtenue de cette manière. L’idée principale cependant, est que pour une fonction 𝑦, nous avons pris le logarithme népérien des deux membres et utilisé les propriétés des logarithmes pour développer ou séparer le membre droit. Nous avons ensuite dérivé chaque terme, puis isolé 𝑦 prime ou d𝑦 sur d𝑥. Maintenant que nous avons présenté ces étapes, essayons-les sur un exemple où 𝑦 est une fonction de 𝑥 relativement complexe.

Déterminez d𝑦 sur d𝑥 si six 𝑦 égale sept 𝑥 puissance trois sur cinq 𝑥.

Nous devons déterminer la dérivée par rapport à 𝑥 de la fonction six 𝑦 égale sept 𝑥 puissance trois sur cinq 𝑥. Commençons par quelques remarques sur cette équation. La première est que le membre gauche est six 𝑦 au lieu de 𝑦. Puisque 𝑦 n’est pas seul à gauche, il s’agit d’une fonction implicite ou d’une équation. La deuxième chose à noter est que l’exposant à droite n’est pas une constante. Il s’exprime en effet en fonction d’une variable 𝑥. Pour cette raison, nous ne pouvons utiliser aucune des formules de dérivation habituelles. Pour trouver d𝑦 sur d𝑥, nous pouvons donc essayer de dériver à l’aide du logarithme.

La première chose à faire est d’isoler 𝑦 sur le membre gauche en divisant par six. On peut alors annuler le six à gauche et obtenir y égale sept sur six 𝑥 puissance trois sur cinq 𝑥. On applique maintenant la dérivation à l’aide du logarithme. Et la première étape consiste à appliquer le logarithme népérien aux deux membres. On rappelle que le logarithme népérien est le logarithme de base 𝑒, où 𝑒, qui est le nombre d’Euler, est égal à 2,71828 à cinq décimales près; on a donc ln de 𝑦 égale ln de 𝑓 de 𝑥. Dans ce cas, ln de sept sur six fois 𝑥 puissance trois sur cinq 𝑥.

On rappelle que pour que la dérivation à l’aide du logarithme soit possible, il faut préciser ici que 𝑦 est strictement supérieur à zéro. En effet, le logarithme de zéro n’est pas défini et la fonction n’existe pas pour les valeurs négatives. Si nous souhaitons inclure des valeurs négatives, nous devons utiliser la valeur absolue de 𝑦 et de 𝑓 de 𝑥. Mais dans ce cas, nous allons simplement supposer que 𝑦 est supérieure à zéro. Notre fonction semble maintenant plus compliquée qu’au départ. Mais c’est à ce stade que l’utilisation des logarithmes entre en jeu. Nous allons utiliser les propriétés des logarithmes pour développer le membre de droite. La première chose que l’on peut faire est d’utiliser la propriété du logarithme d’un produit qui stipule que ln de 𝑎𝑏 égale ln de 𝑎 plus ln de 𝑏 ; on peut donc séparer le membre de droite par ln de sept sur six plus ln de 𝑥 puissance trois sur cinq 𝑥.

Et on peut développer davantage le deuxième terme en utilisant la propriété du logarithme d’une puissance. C’est-à-dire ln de 𝑎 puissance 𝑏 égale 𝑏 fois ln de 𝑎. Le membre droit devient alors ln de sept sur six plus trois sur cinq 𝑥 fois ln de 𝑥. La troisième étape de la dérivation à l’aide du logarithme est de dériver les deux membres par rapport à 𝑥. À gauche, on dérive une fonction d’une fonction car 𝑦 est en fait une fonction de 𝑥. Et on rappelle que pour une fonction 𝑔 de 𝑦 qui est elle-même une fonction de 𝑥, d𝑔 sur d𝑥 égale d𝑔 sur d𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥 d’après la formule de la dérivée d’une composée. Dans ce cas, 𝑔 est égale au logarithme népérien de 𝑦.

Et on peut alors utiliser le résultat selon lequel la dérivée de ln de 𝑢 par rapport à 𝑢 est un sur 𝑢 pour 𝑢 supérieur à zéro ; donc sur le membre gauche, on obtient un sur 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥, où un sur 𝑦 est d𝑔 sur d𝑦. Sur le membre droit, le logarithme de sept sur six est une constante donc sa dérivée est égale à zéro. Nous devons maintenant trouver la dérivée de trois sur cinq 𝑥 fois ln de 𝑥. On utilise pour cela la formule de la dérivée d’un produit, avec 𝑓 égale trois sur cinq 𝑥 et 𝑔 égale ln de 𝑥.

En remarquant que trois sur cinq 𝑥 est en fait trois sur cinq fois 𝑥 puissance moins un et qu’il s’agit donc d’une fonction de la forme 𝑎 𝑥 puissance n, on peut utiliser la formule de la dérivée d’une puissance qui stipule que la dérivée de 𝑎 𝑥 puissance n égale 𝑛 𝑎 𝑥 puissance 𝑛 moins un. On multiplie par l’exposant et on retire un à l’exposant. d sur d𝑥 de trois sur cinq 𝑥 puissance moins un est donc égal à moins trois sur cinq fois 𝑥 puissance moins deux.

On rappelle de plus que la dérivée de ln de 𝑥 est un sur 𝑥 donc pour la formule de la dérivée d’un produit, 𝑓 prime égale moins trois sur cinq fois 𝑥 puissance moins deux et 𝑔 prime égale un sur 𝑥; la dérivée du membre droit est donc égale à moins trois sur cinq 𝑥 carré, soit f prime, fois ln de 𝑥, qui correspond à 𝑔, plus trois sur cinq 𝑥, qui est 𝑓, fois un sur 𝑥, soit 𝑔 prime. En réarrangeant, on obtient trois sur cinq 𝑥 carré moins trois sur cinq 𝑥 carré fois ln de 𝑥. Et comme on a un facteur commun de trois sur cinq 𝑥 carré, on peut le placer à l’avant de l’expression.

Rappelez-vous que nous cherchons d𝑦 sur d𝑥. Cela signifie que nous devons isoler d𝑦 sur d𝑥 sur le membre gauche. On peut le faire en multipliant par 𝑦. Et il s’agit de la quatrième étape de la dérivation à l’aide du logarithme. On annule 𝑦 sur le membre gauche. Et sur le membre droit, on obtient trois 𝑦 sur cinq 𝑥 carré fois un moins ln de 𝑥. On rappelle cependant que 𝑦 est égal à sept sur six fois 𝑥 puissance trois sur cinq 𝑥. Et en substituant cela, on peut annuler un facteur trois et la constante devient sept sur 10. Si on observe maintenant les puissances de 𝑥, on obtient 𝑥 puissance trois sur cinq 𝑥 moins deux. Et nous concluons que d𝑦 sur d𝑥 est égale à sept sur 10 fois 𝑥 puissance trois sur cinq 𝑥 moins deux fois un moins ln de 𝑥.

Étudions maintenant un autre exemple de dérivation à l’aide du logarithme pour une fonction avec un exposant variable, mais impliquant cette fois une fonction trigonométrique.

Utilisez la dérivation à l’aide du logarithme pour déterminer la dérivée de la fonction 𝑦 égale deux cosinus de 𝑥 puissance 𝑥.

Nous devons trouver la dérivée de la fonction 𝑦 égale deux cos 𝑥 puissance 𝑥. Et nous devons pour cela utiliser la dérivation à l’aide du logarithme. Pour une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, la première chose à faire est de prendre le logarithme népérien des deux membres. On rappelle que le logarithme népérien est le logarithme de base 𝑒, où 𝑒 est le nombre d’Euler et est égal à 2,71828 à cinq décimales près. Nous devons spécifier que si nous ne prenons pas les valeurs absolues de 𝑦 et de 𝑓 de 𝑥, alors 𝑦 doit être supérieur à zéro. En effet, le logarithme de zéro n’est pas défini et le logarithme n’existe pas pour les valeurs négatives.

Techniquement, si nous prenons les valeurs absolues de 𝑦 et 𝑓 de 𝑥 puis appliquons le logarithme népérien, nous couvrons les valeurs négatives. Mais nous allons simplement supposer ici que cette solution est pour 𝑦 positif. Et on prend donc le logarithme népérien des deux membres. La deuxième étape consiste à utiliser les propriétés des logarithmes pour développer le membre droit. Comme l’argument est un produit, on peut utiliser la propriété du logarithme d’un produit qui indique que ln de 𝑎 𝑏 égale ln de 𝑎 plus ln de 𝑏. Ici, 𝑎 égale deux et 𝑏 égale cos 𝑥 puissance 𝑥 donc on obtient ln de deux plus ln de cos 𝑥 puissance 𝑥.

Le deuxième terme comporte un exposant donc on peut utiliser la propriété du logarithme d’une puissance qui stipule que ln de 𝑎 puissance 𝑏 égale 𝑏 fois ln de 𝑎. Dans ce cas, 𝑎 égale cos 𝑥 et l’exposant 𝑏 est égal à 𝑥. Sur le membre droit, on a donc ln de deux plus 𝑥 ln de cos 𝑥. La troisième étape de la dérivation à l’aide du logarithme est de dériver les deux membres par rapport à 𝑥. À droite, on utilise le fait que la dérivée d’une somme est la somme des dérivées. Et sur le membre gauche, on utilise la dérivation implicite. On a en effet une fonction de 𝑦 qui est elle-même une fonction de 𝑥.

Et pour une fonction 𝑔 de 𝑦 qui est elle-même une fonction de 𝑥, alors d𝑔 sur d𝑥 égale d𝑔 sur d𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥 d’après la formule de la dérivée d’une composée. Dans ce cas, 𝑔 est égale au logarithme népérien de 𝑦. Et on rappelle que la dérivée de ln de u par rapport à 𝑢 égale un sur 𝑢 si 𝑢 est supérieur à zéro. Cela donne un sur 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥 à gauche. À droite, comme ln de deux est une constante, sa dérivée est égale à zéro. Et pour le deuxième terme, on peut utiliser la formule de la dérivée d’un produit, où dans cette formule, 𝑓 de égale 𝑥 et 𝑔 de égale ln de cos 𝑥.

On définit de plus ℎ de égale cos 𝑥, donc 𝑔 égale ln de ℎ. Et en plus de la formule de la dérivée d’un produit, on peut utiliser la formule de la dérivée d’une composée. Si 𝑓 égale 𝑥, alors d𝑓 sur d𝑥 égale un, dℎ sur d𝑥 égale moins sin 𝑥, et d’après la formule de la dérivée d’une composée, d𝑔 sur d𝑥 égale d𝑔 sur dℎ fois dℎ sur d𝑥 ; qui est égal à un sur ℎ, la dérivée de ln de h, fois moins sin 𝑥 ; ce qui donne moins sin 𝑥 sur cos 𝑥. Et comme sinus 𝑥 sur cosinus 𝑥 égale tangente de 𝑥, on obtient moins tan 𝑥.

On rappelle maintenant que pour la formule de la dérivée de ce produit, 𝑓 égale 𝑥 et 𝑔 égale ln de cos 𝑥. La dérivée du second terme est donc 𝑓 prime fois 𝑔, soit un fois ln de cos 𝑥, plus 𝑓 fois 𝑔 prime, soit 𝑥 fois moins tan 𝑥, c’est-à-dire ln de cos 𝑥 moins 𝑥 tan 𝑥.

Ok, faisons un peu de place. Et on a un sur 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥 égale ln de cos 𝑥 moins 𝑥 tan 𝑥. La dernière étape consiste à isoler d𝑦 sur d𝑥. Si on multiplie par 𝑦, on peut annuler 𝑦 au membre gauche. Et on rappelle que 𝑦 est en fait égal à deux cos 𝑥 puissance 𝑥 donc d𝑦 sur d𝑥 égale deux cos 𝑥 puissance 𝑥 fois ln de cos 𝑥 moins 𝑥 tan 𝑥.

Terminons notre présentation sur la dérivation à l’aide du logarithme par quelques points clés. Soit une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 que nous souhaitons dériver en utilisant la dérivation à l’aide du logarithme. La première étape consiste à prendre le logarithme népérien des deux membres, en rappelant que le logarithme népérien est le logarithme de base 𝑒. Et que 𝑒 est le nombre d’Euler, approximativement égal à 2,71828. On obtient donc ln de 𝑦 égale ln de 𝑓 de 𝑥. Nous devons spécifier que cela n’est valable que pour des valeurs de 𝑦 supérieures à zéro car le logarithme de zéro n’est pas défini. Et la fonction logarithme n’existe pas pour les valeurs négatives.

Alternativement, nous pouvons prendre le logarithme népérien des valeurs absolues. Cela couvre alors les valeurs de 𝑦 qui sont strictement positives ou négatives mais non nulles. La deuxième étape consiste à utiliser les propriétés des logarithmes pour développer l’expression obtenue. Nous dérivons ensuite par rapport à 𝑥 et terminons par déterminer d𝑦 sur d𝑥. Nous pouvons utiliser la dérivation à l’aide du logarithme lorsque la fonction est trop complexe pour pouvoir appliquer les formules standard de dérivation, par exemple lorsque l’exposant est une variable et non une constante.