Transcription de la vidéo
Une bobine formée de quatre tours a un diamètre 𝑑 égal à 25 centimètres. La bobine se déplace de 1,5 centimètres à une vitesse 𝑣 égale à 7,5 centimètres par seconde, parallèlement à l’axe d’un barreau aimanté stationnaire, comme le montre la figure. Une f.é.m. de valeur 3,6 millivolts est induite dans la bobine lorsqu’elle passe devant l’aimant. Trouver la variation de l’intensité du champ magnétique entre les points où la bobine a commencé à se déplacer et où elle s’est arrêtée. Donner la réponse en notation scientifique à une décimale près.
Dans notre figure, nous voyons ces deux composants: il y a la bobine conductrice qui comporte quatre spires et il y a un aimant permanent stationnaire. Le barreau magnétique, nous le savons, génère un champ magnétique. Et lorsque la bobine conductrice se déplace avec une vitesse 𝑣, elle subit une modification du champ magnétique due à l’aimant. Ce changement de champ magnétique à travers l’aire de la bobine conductrice crée un changement de flux magnétique, et cela, selon la loi de Faraday, induit une f.é.m. dans la bobine. Dans cet exemple, nous voulons trouver la variation de l’intensité du champ magnétique entre les points où la bobine a commencé à se déplacer et où elle s’est arrêtée. Nous pouvons commencer par écrire certaines des informations qui nous sont données.
On nous dit que la bobine se déplace à une vitesse de 7,5 centimètres par seconde. De plus, la distance que la bobine parcourt, nous l’appellerons 𝑠, est de 1,5 centimètres. Et ce mouvement à travers le champ magnétique du barreau aimanté induit une f.é.m., que nous appellerons 𝜀, de 3,6 millivolts dans la bobine. En plus de tout cela, le diamètre de la bobine 𝑑, on nous dit, est de 25 centimètres.
En faisant de l’espace sur l’écran, nous écrivons la loi que nous avons mentionnée plus tôt, la loi de Faraday. Cette loi relie la variation du flux magnétique, Δ𝜙 indice 𝐵, à travers un conducteur avec la f.é.m., représentée par 𝜀, induite dans le conducteur. Dans cette équation, 𝑁 majuscule est égal au nombre de spires dans le conducteur, et Δ𝑡 est l’intervalle de temps sur lequel cette variation du flux magnétique Δ𝜙 indice 𝐵 se produit. En général, le flux magnétique, 𝜙 indice 𝐵, est égal à l’intensité d’un champ magnétique, 𝐵, multiplié par la surface exposée à ce champ, 𝐴. Cela signifie que lorsque nous appliquons la loi de Faraday, nous pouvons remplacer ici 𝜙 indice 𝐵 par le facteur 𝐵 fois 𝐴. Ici, 𝐵 est le champ magnétique créé par notre barreau aimanté et 𝐴 est l’aire de l’une des boucles de notre bobine conductrice.
Nous pouvons voir que lorsque notre bobine se déplace, l’aire 𝐴 de ces boucles ne change pas. Plus précisément, la zone exposée au champ magnétique ne change pas. Cependant, comme le champ magnétique autour du barreau aimanté n’est pas uniforme, l’intensité du champ magnétique 𝐵 change lorsque la bobine se déplace. Le fait que dans cette grandeur 𝐵 change alors que 𝐴 non, signifie que nous pouvons réécrire l’équation comme ceci. C’est cette variable Δ𝐵 représentant la variation du champ magnétique subie par la bobine que nous voulons trouver. Sachant cela, réarrangeons cette équation pour en fonction de Δ𝐵. En multipliant les deux membres de l’équation par Δ𝑡 divisé par moins 𝑁 fois 𝐴, nous simplifions moins 𝑁, 𝐴 et Δ𝑡 à droite.
Si nous échangeons ensuite les membres de l’expression restante, nous constatons que Δ𝐵 est égal à 𝜀 fois Δ𝑡 sur moins 𝑁 fois 𝐴. Dans l’énoncé de notre problème, on nous donne les valeurs pour 𝜀, 𝑁 et 𝐴. Nous ne l’avons pas écrit plus tôt, mais 𝑁, le nombre de spires dans notre bobine, est de quatre. Nous n’avons cependant pas de valeur pour Δ𝑡, le temps pendant lequel notre bobine conductrice se déplace. Mais nous savons de quelle distance la bobine s’est déplacée, 1,5 centimètres, et nous savons à quelle vitesse elle s’est déplacée, 7,5 centimètres par seconde.
Si nous rappelons que, en général, la vitesse moyenne d’un objet est égale à la distance parcourue par cet objet divisée par le temps nécessaire pour parcourir cette distance, puis en multipliant les deux membres de cette équation par 𝑡 divisé par 𝑣 - de sorte qu’à gauche, 𝑣 se simplifie et à droite, le temps 𝑡 se simplifie - nous trouvons que cette équation pour la vitesse moyenne dit aussi que 𝑡 est égal à 𝑑 divisé par 𝑣. En utilisant les variables de notre scénario, nous pouvons donc écrire que Δ𝑡 est égal à 𝑠, la distance parcourue par la bobine, divisée par 𝑣, sa vitesse. En faisant ce remplacement dans notre équation, on lit alors que Δ𝐵 est égal à 𝜀 fois 𝑠 divisé par moins 𝑁 fois 𝐴 fois 𝑣.
On nous donne des valeurs pour toutes les variables à droite de cette expression, à l’exception de la section. Notons, cependant, que nous connaissons le diamètre de chacune des boucles de notre bobine. Nous pouvons nous rappeler que l’aire d’un cercle, en fonction du diamètre de ce cercle 𝑑, est égale à 𝜋 divisé par quatre fois 𝑑 au carré. En remplaçant l’aire 𝐴 dans notre équation par cette expression, nous pouvons noter que cela est mathématiquement équivalent à la multiplication du numérateur et du dénominateur par quatre, ce qui nous donne cette expression.
À ce stade, notons que ce signe négatif de notre équation, qui provient du signe négatif de la loi de Faraday, aide à indiquer la direction de la f.é.m. induite dans un conducteur. Dans cet exemple, cependant, on nous a donné la f.é.m. induite. Et par conséquent, lorsque nous calculons Δ𝐵, nous ne pourrons calculer que l’intensité de sa variation. Pour cette raison, nous pouvons supprimer le signe négatif de cette expression. Notre réponse sera positive. Nous n’avons donc pas besoin d’envisager le sens de ce changement. Nous sommes maintenant prêts à remplacer les valeurs connues par 𝜀, 𝑠, 𝑁, 𝑑 et 𝑣. Avec ces remplacements effectués, notons qu’aucune de nos unités n’est dans le SI. C’est-à-dire que nous devons convertir les millivolts en volts et les centimètres en mètres.
Avant de faire cela, notons qu’il y a un facteur de quatre au numérateur et au dénominateur qui peut donc se simplifier. En ce qui concerne nos conversions d’unités, nous rappelons qu’un millivolt équivaut à 10 à la puissance moins trois ou un millième de volt. Cela signifie que 3,6 millivolts est égal à 3,6 fois 10 puissance moins trois volts. De même, un centimètre est égal à 10 puissance moins deux ou un centième de mètre. Et ainsi, nous pouvons convertir toutes nos valeurs de centimètres en mètres en multipliant par 10 puissance moins deux.
Les unités de cette expression, et n’hésitez pas à vérifier vous-même, reviennent à des volt secondes par mètre carré, ce qui est exactement équivalent au teslas. En calculant ce résultat à une décimale près, nous trouvons que Δ𝐵 est 3,7 fois 10 puissance moins trois teslas. C’est l’intensité de la variation du champ magnétique subie par notre bobine mobile.
