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Fiche explicative de la leçon: Interactions électromagnétiques dans les boucles conductrices Physique • Troisième année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à analyser le courant induit dans les boucles conductrices en modifiant le champ magnétique ainsi que le champ magnétique dû à une boucle de courant.

Lorsque nous parlons d’une boucle conductrice pouvant subir une variation de champ magnétique, cela peut vouloir dire l’une des deux choses suivantes:

  • La boucle conductrice se déplace d’une zone où le champ magnétique a une intensité et un sens donnés vers une zone où le champ magnétique a une intensité ou un sens différents.
  • La boucle conductrice est au repos dans un champ magnétique qui change d’intensité ou de sens.

Considérons d’abord une boucle conductrice qui se déplace d’une zone avec un champ magnétique nul vers une zone avec un champ magnétique uniforme non nul. Ceci est illustré par le schéma suivant.

Lorsqu’une partie de la boucle entre dans le champ magnétique, les électrons libres dans la partie de la boucle qui entre dans le champ sont soumis à une force de direction perpendiculaire au champ magnétique et au mouvement de la boucle. Ceci est illustré par le schéma suivant.

Seuls les électrons libres de la partie de la boucle dans le champ magnétique sont affectés par la force. Ces électrons sont poussés vers une extrémité du fil. Cette concentration d’électrons libres à une extrémité du fil induit un courant dans la boucle en repoussant les électrons libres situés à cette extrémité et en attirant des électrons libres situés à l’extrémité opposée. Ceci est illustré par le schéma suivant.

On peut voir à partir de là qu’il y aura un courant induit si deux choses sont vérifiées:

  • La boucle est en mouvement. Si la boucle ne se déplace pas, aucune force n’agit sur les électrons libres.
  • Une partie de la boucle est à l’intérieur du champ et une partie n’y est pas. Si la boucle est complètement dans le champ magnétique, la force sur les électrons libres est la même pour toutes les parties de la boucle. Un courant n’est produit dans la boucle que si la force nette dans une partie de la boucle est plus grande que dans les autres parties.

Le sens du courant induit dans une boucle est déterminé par la règle de la main droite. Ceci est illustré par l’image suivante.

En plus du courant induit dans une boucle, il peut être utile de considérer la différence de potentiel induite dans une boucle. Pour un conducteur droit, une différence de potentiel est la différence du potentiel électrique aux extrémités du conducteur. Cependant, une boucle n’a pas d’extrémité, donc une autre façon de voir la différence de potentiel doit être imaginée.

Une différence de potentiel, 𝑉, peut être exprimée par 𝑉=𝑊𝑄, avec 𝑊 le travail effectué par la différence de potentiel sur une charge 𝑄, aux bornes de la différence de potentiel.

Pour une boucle conductrice, « aux bornes de la différence de potentiel » signifie « autour de la boucle ». Lorsque le champ magnétique dans la boucle change, un travail est effectué sur les électrons libres dans la boucle pour les déplacer autour de la boucle contre la résistance du matériau qui la compose. On peut donc définir la différence de potentiel induite dans une boucle par un changement de champ magnétique. C’est ce que l’on appelle souvent la fem induite par la boucle, 𝜖.

La valeur de 𝜖 dépend de la vitesse à laquelle le champ magnétique dans une boucle change. C’est ce qu’on appelle le taux de variation du flux magnétique.

Le flux magnétique, 𝜙, dans une région de l’espace est donné par 𝜙=𝐵𝐴, avec 𝐵 l’intensité du champ magnétique dans la région et 𝐴 l’aire perpendiculaire à la direction du champ magnétique que les lignes du champ magnétique traversent.

La vitesse de variation du flux magnétique peut être représentée par la vitesse à laquelle une boucle passe à travers les lignes d’un champ magnétique. Ceci est illustré par le schéma suivant représentant les positions à des intervalles d’une seconde de deux boucles identiques entrant dans deux champs magnétiques identiques.

Nous voyons que la boucle avec la plus grande vitesse a un plus grand taux de variation du flux magnétique.

Nous pourrions également comparer deux boucles avec des vitesses égales qui entrent dans des champs magnétiques d’intensités différentes. Ceci est illustré par le schéma suivant.

Comme 𝜙=𝐵𝐴, le taux de variation du flux magnétique peut être représenté par l’expression 𝐵×Δ𝐴Δ𝑡, avec 𝐵 l’intensité du champ magnétique d’un champ magnétique perpendiculaire à la direction du vecteur vitesse de la boucle, 𝐴 la variation de l’aire de la boucle qui passe dans le champ magnétique, et Δ𝑡 l’intervalle de temps pendant lequel cette aire entre dans le champ.

L’intensité de la fem induite, 𝜖, pour une boucle est donnée par 𝜖=𝐵Δ𝐴Δ𝑡.

Cette formule peut s’appliquer à une bobine composée de plusieurs boucles en multipliant la fem induite par le nombre de boucles dans la bobine, 𝑁:𝜖=𝑁𝐵Δ𝐴Δ𝑡.

Regardons maintenant un exemple impliquant une bobine conductrice déplacée dans un champ magnétique uniforme.

Exemple 1: Déterminer la fem induite par une bobine conductrice qui entre dans un champ magnétique uniforme

Une bobine conductrice a un rayon de 𝑟=13cm et 35 tours. La bobine est déplacée de sorte que la moitié de son aire se trouve dans un champ magnétique uniforme de force 0,16 T, dirigé hors du plan du schéma représenté le long de l’axe de la bobine. La bobine passe de son ancienne position à sa nouvelle position en 0,24 s.

  1. Quelle est l’intensité de la force électromotrice induite dans la bobine?Donnez votre réponse au centième près.
  2. Le courant est-il dirigé dans le sens des aiguilles d’une montre ou dans le sens inverse?

Réponse

Partie 1

L’intensité de la fem, 𝜖, induite dans la bobine est donnée par la formule 𝜖=𝑁𝐵Δ𝐴Δ𝑡, avec 𝑁 le nombre de tours de la bobine, 𝐵 l’intensité du champ magnétique, et Δ𝐴Δ𝑡 le taux de variation de l’aire de la bobine entrant dans le champ magnétique.

La valeur de 𝑁 est de 35, et la valeur de 𝐵 est de 0,16 T.

L’aire de la bobine, 𝐴, est donnée par 𝐴=𝜋𝑟, avec 𝑟 qui est de 13 cm, qui équivaut à 0,13 m. La moitié de l’aire de la bobine entre dans le champ magnétique. L’intervalle de temps pendant lequel cela se produit est de 0,24 s.

On peut remplacer ces valeurs dans la formule pour obtenir 𝜖=35×0,16×(0,13)0,24.Tms

À deux décimales près, 𝜖 est de 0,62 V.

Partie 2

Le sens du courant peut être déterminé en utilisant la règle de la main droite. En utilisant les sens du mouvement et du champ magnétique pour la partie d’une boucle conductrice d’une bobine qui commence à entrer dans le champ magnétique, le sens du courant dans la boucle est montré sur le schéma suivant.

Nous voyons que le sens du courant est le sens des aiguilles d’une montre.

Nous avons maintenant expliqué les principes de base de l’induction de la fem en déplaçant une boucle conductrice d’une région dans laquelle le champ magnétique est nul vers une région dans laquelle le champ magnétique est non nul.

Considérons maintenant l’induction de la fem dans une boucle statique par un champ magnétique changeant.

Une situation dans laquelle cela se produit est celle où un aimant est déplacé vers une boucle conductrice ou qu’il s’en éloigne.

Le schéma suivant est une représentation simplifiée des lignes de champ magnétique du pôle nord d’un barreau aimanté passant par deux boucles à des distances différentes du pôle de l’aimant. Les lignes de champ représentées sont une coupe transversale en deux dimensions du champ magnétique autour du pôle nord de l’aimant.

Nous pouvons voir que, pour la boucle plus éloignée du pôle de l’aimant, les lignes de champ sont plus divergentes, et que donc la densité des lignes de champ diminue plus on s’éloigne du pôle de l’aimant. Il s’ensuit que l’intensité du champ magnétique diminue à mesure qu’on s’éloigne du pôle.

La règle de la main droite peut être appliquée à ce système. Ceci est illustré par le schéma suivant.

Il est important de noter que seule la composante du champ magnétique perpendiculaire à la direction du mouvement de l’aimant induit un courant dans la boucle. Ceci est illustré par la figure suivante.

Cela n’est peut-être pas instinctif, mais il est important de comprendre qu’un courant serait induit exactement de la même manière si le barreau aimanté était stationnaire et que la boucle conductrice était déplacée vers le pôle de l’aimant.

Cette symétrie est également valable pour les champs magnétiques uniformes. Si un champ magnétique uniforme, qui pouvait se déplacer, le faisait dans une région contenant une boucle conductrice, une fem serait induite dans la boucle. Peu importe que ce soit la boucle conductrice ou le champ magnétique qui se déplace.

Regardons maintenant un exemple impliquant une bobine conductrice déplacée dans un champ magnétique non uniforme.

Exemple 2: Déterminer la variation de l’intensité du champ magnétique qui induit une force électromagnétique dans une bobine conductrice

Une bobine conductrice à quatre boucles a un diamètre de 𝑑=25cm. La bobine se déplace de 1,5 cm à une vitesse de 𝑣=7,5/cms parallèle à l’axe d’un barreau aimanté fixe, comme indiqué sur le schéma. Une fem d’une intensité de 3,6 mV est induite dans la bobine pendant qu’elle passe devant l’aimant. Déterminez la variation de l’intensité du champ magnétique entre les points où la bobine a commencé à se déplacer et où elle s’est arrêtée. Donnez votre réponse en notation scientifique, au dixième près.

Réponse

L’intensité de la fem, 𝜖, induite dans une bobine entrant dans un champ magnétique est donnée par la formule 𝜖=𝑁𝐵Δ𝐴Δ𝑡, avec 𝑁 le nombre de tours de la bobine, 𝐵 l’intensité du champ magnétique, et Δ𝐴Δ𝑡 le taux de variation de l’aire de la bobine entrant dans le champ magnétique.

Dans ce cas, cependant, l’aire de la bobine qui se trouve à l’intérieur du champ magnétique ne change pas. Au lieu de cela, c’est l’intensité du champ magnétique qui change. On peut donc exprimer l’équation pour 𝜖 comme étant 𝜖=𝑁𝐴Δ𝐵Δ𝑡.

Sous cette forme d’équation, 𝐴 est constante et la variation de 𝐵, Δ𝐵, est une variable de l’équation.

Nous souhaitons déterminer l’intensité de Δ𝐵.

Pour déterminer Δ𝐵, l’équation doit être réarrangée comme suit pour trouver Δ𝐵:𝜖=𝑁𝐴Δ𝐵Δ𝑡𝜖Δ𝑡=𝑁𝐴Δ𝐵𝜖Δ𝑡𝑁𝐴=Δ𝐵.

La fem induite est de 3,6 mV, ou 0,0036 V.

La valeur de 𝑁 est 4.

L’aire de la bobine, 𝐴, est donnée par 𝐴=𝜋𝑟.

La valeur de 𝑟 n’est pas donnée, mais elle est égale à la moitié du diamètre, 𝑑, de la bobine. La valeur de 𝑑 est 25 cm. Cela donne une valeur de 𝑟 de 12,5 cm , ou 0,125 m.

L’aire de la bobine est donc donnée par 𝐴=𝜋×0,125=0,015625𝜋.m

La bobine se déplace d’une distance de 1,5 cm, ou 0,015 m.

La vitesse de la bobine est de 7,5 cm/s, ou 0,075 m/s.

La durée, 𝑡, pendant lequel la bobine se déplace est donné par 𝑡==0,0150,075/=0,2.distancevitessemmss

On peut maintenant utiliser l’équation 𝜖Δ𝑡𝑁𝐴=Δ𝐵.

En remplaçant les valeurs de 𝐴 et Δ𝑡 nous avons déterminé que 0,0036×0,24×0,015625𝜋=Δ𝐵.Vsm

Au dixième près, Δ𝐵 est de 3,7×10T.

La formule de l’intensité de 𝜖 n’est pas la version complète de la formule. La fem induite a un signe ainsi qu’une intensité.

Formule: fem induite dans une boucle de courant en raison d’un champ magnétique changeant

La fem, 𝜖, dans une bobine entrant dans un champ magnétique est donnée par la formule 𝜖=𝑁𝐵Δ𝐴Δ𝑡, avec 𝑁 le nombre de tours de la bobine, 𝐵 l’intensité du champ magnétique, et Δ𝐴Δ𝑡 le taux de variation de l’aire de la bobine perpendiculaire au champ magnétique qui entre dans le champ magnétique.

La formule peut aussi prendre la forme 𝜖=𝑁𝐴Δ𝐵Δ𝑡, qui s’applique lorsqu’une aire de boucle constante se situe à l’intérieur d’un champ magnétique variable.

Le signe négatif dans la version complète de la formule indique que la fem est considérée comme ayant un sens opposé au sens d’une grandeur qui est une variable dans la formule. Si le signe négatif de la fem induite est inclus dans la formule, on l’appelle loi de Lenz.

Nous pouvons expliquer cela comme suit.

  • La fem induite dans une boucle par un champ magnétique variable produit un courant.
  • Le courant induit produit alors un deuxième champ magnétique.
  • Le sens du second champ magnétique est opposé à celui du champ magnétique qui induit le courant.

Ce processus est illustré dans les schémas suivants.

Nous voyons ici le champ magnétique du barreau aimanté qui induit un courant, à la fois vu de côté et au-dessus de la boucle.

Ensuite, nous verrons l’effet de ce courant induit.

Nous voyons ici, en regardant d’abord de côté et au-dessus de la boucle, le champ magnétique induit par le courant dans la boucle.

Les lignes de champ du champ magnétique induit par le courant sont dirigées vers le côté droit de la boucle. Cela signifie que le côté droit de la boucle agit comme le pôle nord d’un aimant.

On voit alors que le champ magnétique induit dans la boucle repousse l’aimant.

Ce sens opposé du champ magnétique induit par rapport au champ magnétique inducteur est la raison du signe négatif dans la formule pour la fem induite.

Il est intéressant de se demander si le champ magnétique d’une boucle induit par un courant induit dans une boucle induira alors un autre courant dans la boucle. La réponse est oui, et ce phénomène s’appelle l’auto-induction d’une boucle. Cependant, cette fiche explicative ne considère pas ce phénomène.

Les exemples qui ont été considérés impliquent tous deux un mouvement, soit d’une boucle soit d’une source de champ magnétique. Un champ magnétique, cependant, peut changer bien que la source du champ ou la boucle ne soient pas en mouvement.

Supposons qu’une bobine conductrice soit initialement au repos dans une bobine conductrice plus grande, comme indiqué sur le schéma suivant.

Chaque bobine est en réalité composée d’un seul fil qui forme une série de boucles. Si une différence de potentiel est connectée au fil qui forme la grande bobine, il y aura un courant dans la grande bobine.

Le courant dans la grande bobine va induire un champ magnétique dans la grande bobine. La petite bobine sera dans le champ magnétique de la grande bobine. Au départ, il n’y avait pas de champ magnétique dans la petite bobine, et donc l’induction du champ magnétique de la grande bobine va changer la force du champ magnétique dans lequel se trouve la petite bobine. Un courant sera alors induit dans la petite bobine.

Regardons un exemple impliquant une bobine induisant un courant dans une autre.

Exemple 3: Déterminer la fem induite dans une bobine par une deuxième bobine

Une bobine de 6 tours et d’un rayon de 2,1 cm est placée avec le centre de sa base au centre de la base d’une bobine de quatre tours et d’un rayon de 7,2 cm, comme indiqué sur le schéma. Le sommet de la plus petite bobine est situé sous le sommet de la plus grande bobine. La plus grande bobine est connectée à une source de tension variable et un courant est induit dans la plus grande bobine qui produit un champ magnétique uniforme à l’intérieur de celle-ci, ce dernier passe d’une intensité nulle à une intensité de 360 mT en 23 ms.

  1. Quelle est l’intensité de la force électromotrice induite dans la plus petite bobine?Donnez votre réponse au centième près.
  2. Le courant qui passe dans la petite bobine est-il dirigé dans le sens des aiguilles d’une montre ou dans le sens inverse?

Réponse

Partie 1

La fem, 𝜖, induite dans la petite bobine qui entre dans le champ magnétique est donnée par la formule 𝜖=𝑁𝐴Δ𝐵Δ𝑡, avec 𝑁 le nombre de tours de la bobine, 𝐴 l’aire de la bobine et Δ𝐵Δ𝑡 le taux de variation du champ magnétique dans lequel se trouve la petite bobine. Donc, 𝜖Δ𝑡𝑁𝐴=Δ𝐵.

Le nombre de tours dans la bobine est de 6.

L’aire de la bobine, 𝐴, est donnée par 𝐴=𝜋𝑟, avec 𝑟 qui est de 2,1 cm, ou 0,021 m.

L’aire de la bobine est donc donnée par 𝐴=𝜋×0,021=0,000441𝜋.m

Le champ magnétique change de 0 T en 360 mT. La variation du champ magnétique est alors donnée par Δ𝐵=0,3600=0,360.TTT

Le temps, Δ𝑡, pendant lequel l’intensité du champ magnétique varie, est de 23 ms, ou 0,023 s.

En remplaçant les valeurs obtenues dans 𝜖=𝑁𝐴Δ𝐵Δ𝑡, on obtient 𝜖=6×0,000441𝜋×0,3600,023.mTs

À deux décimales près, 𝜖 est 0,13 V.

Partie 2

Le courant dans la grande bobine induit un champ magnétique. Au centre de la grande bobine, ce champ agit verticalement vers le bas. Le champ magnétique de la grande bobine doit induire un courant dans la petite bobine qui induira un champ magnétique au centre de la petite bobine qui agira verticalement vers le haut. Ceci est illustré par le schéma suivant.

Pour que la petite bobine produise un champ magnétique vers le haut, le courant dans la petite bobine doit être dans le sens des aiguilles d’une montre.

Il est intéressant de se demander si le champ magnétique induit dans la petite boucle induirait un courant dans la grande boucle. La réponse est oui, et ce phénomène s’appelle l’induction mutuelle de deux bobines. Cependant, cette fiche explicative ne considère pas ce phénomène.

Résumons maintenant ce qui a été appris dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Une boucle conductrice traversée par un champ magnétique possède une fem induite et donc un courant induit dans la boucle.
  • Peu importe si une boucle se déplace dans une zone où le champ magnétique varie dans l’espace ou si le champ magnétique dans lequel la boucle est située varie. L’une ou l’autre de ces situations engendre une fem induite dans la boucle.
  • La fem, 𝜖, induite dans une bobine entrant dans un champ magnétique est donnée par la formule 𝜖=𝑁𝐵Δ𝐴Δ𝑡, avec 𝑁 le nombre de tours de la bobine, 𝐵 l’intensité du champ magnétique, et Δ𝐴Δ𝑡 le taux de variation de l’aire de la bobine perpendiculaire au champ magnétique qui entre dans le champ magnétique.
    La formule peut aussi prendre la forme de 𝜖=𝑁𝐴Δ𝐵Δ𝑡, qui s’applique lorsqu’une aire de boucle constante se situe à l’intérieur d’un champ magnétique variable.
  • Le courant induit dans une boucle va induire un champ magnétique autour de la boucle.
  • Le champ magnétique dû à un courant induit dans une boucle sera de sens opposé au champ magnétique externe qui a induit le courant.

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