Transcription de la vidéo
Un objet de masse 222 grammes est en repos sur un plan rugueux incliné sur l’horizontale d’un angle dont la tangente est quatre tiers. L’objet est lié par une corde légère inextensible passant sur une poulie lisse fixée au sommet du plan, à un autre objet de masse 310 grammes, qui pend librement verticalement sous la poulie. Sachant que le coefficient de frottement entre l’objet et le plan est un sixième, déterminez l’accélération du système. Prenez l’accélération gravitationnelle 𝑔 égale 9,8 mètres par seconde carrée.
Il y a énormément d’informations ici. Nous allons donc commencer par dessiner un diagramme de corps libre, c’est-à-dire un diagramme qui montre simplement tous les éléments clés et les forces agissant sur chaque corps. On nous dit qu’un corps de masse 222 grammes est au repos sur un plan rugueux incliné par rapport à l’horizontale. Celui-ci est incliné par rapport à l’horizontale d’un angle dont la tangente est de quatre tiers. Définissons donc cet angle comme étant égal à alpha. Et nous pouvons donc dire que tangente alpha est égale à quatre tiers.
Ajoutons ce premier corps au plan. On nous dit que le corps a une masse de 222 grammes, mais bien sûr, les unités SI de masse sont les kilogrammes. Et 222 grammes sont équivalents à 0,222 kilogrammes. Cela nous permet d’ajouter vers le bas la force du poids du corps sur ce plan. Le poids est donné par la masse du corps en kilogrammes fois 𝑔, l’accélération de la pesanteur. Le corps exerce donc donc une force vers le bas sur le plan de 0,222𝑔.
Ensuite, nous utilisons la troisième loi de Newton sur le mouvement. Cela nous indique que puisque le corps exerce une force vers le bas sur le plan, le plan doit exercer une force dans la direction opposée sur le corps. Nous dessinons cette force comme étant perpendiculaire au plan. Appelons-la 𝑅, et nous calculerons la valeur de 𝑅 dans un instant. Ensuite, on nous dit que le corps est lié par une corde légère inextensible qui passe autour d’une poulie, qui est fixée au sommet du plan, à un corps de masse de 310 grammes qui pend librement verticalement sous la poulie comme indiqué. Encore une fois, nous allons convertir cette masse en kilogrammes, ce qui nous donne 0,31. Et donc la force vers le bas du poids de ce corps doit être de 0,31 fois 𝑔, où 𝑔 est encore une fois l’accélération de la pesanteur.
Alors, nous n’avons pas tout à fait fini avec les forces agissant sur chacun de ces corps. Il y a bien sûr la force de tension. Sur le premier corps, cela agit dans la direction parallèle au plan et vers le haut. Et sur le deuxième corps, elle agit dans le sens exactement opposé à la force du poids vers le bas. Et en fait, on nous dit que le coefficient de frottement entre le corps et le plan est de un sixième. Cela signifie qu’il existe une force de frottement qui tente d’agir contre le mouvement de cet objet.
Nous pourrions faire l’hypothèse que puisque cette deuxième particule a une plus grande masse, la première particule va tenter de remonter le plan lorsque le système est libéré en partant du repos. Et par conséquent, la force de frottement agira dans le sens opposé. Elle agira vers le bas du plan. Cette force de frottement 𝐹 indice 𝑟 peut bien sûr être calculée en trouvant mu 𝑅, où mu est le coefficient de frottement et 𝑅 est la force de réaction normale, comme spécifié sur notre schéma. On nous dit bien sûr que mu est égal à un sixième ici. Nous avons donc toutes les informations dont nous avons besoin pour calculer l’accélération du système. Nous la définissons comme étant égale à 𝑎. Libérons de l’espace.
Nous allons commencer par étudier les forces sur la première particule, celle sur le plan. Nous voulons le faire parce que nous devons calculer la valeur de la force de frottement. Et pour ce faire, nous devons calculer la valeur de 𝑅, la force de réaction normale. Commençons donc par résoudre pour les forces dans une direction perpendiculaire au plan. Eh bien, la somme de ces forces est zéro. Dans une direction perpendiculaire au plan, la particule est elle-même en équilibre. Elle ne quitte pas le plan et ne se déplace vers l’intérieur du plan. Nous avons donc la force de réaction normale qui agit dans cette direction. Mais nous devons également considérer la force du poids de cet objet. Elle agit dans une direction ni parallèle ni perpendiculaire au plan. Nous allons donc décomposer cette force en ses deux composantes.
Pour ce faire, nous commençons par dessiner un triangle rectangle comme indiqué. L’angle inclus dans ce triangle rectangle est alpha. Nous essayons de trouver le côté dans ce triangle qui est adjacent à l’angle alpha. Puisque l’hypoténuse est de 0,222𝑔, cette valeur est 0,22𝑔 fois cosinus alpha. Maintenant, nous n’avons pas besoin d’utiliser les fonctions trigonométriques réciproques pour trouver la valeur de alpha ici. Si nous reconnaissons que quatre et trois sont deux valeurs dans l’un des triplets reconnus de Pythagore, nous pouvons dessiner un triangle rectangle et trouver les valeurs de cosinus alpha et sinus alpha , en notant bien sûr que ce triangle n’est pas à l’échelle.
Puisque le tangente alpha est le côté opposé sur le côté adjacent, notre triangle pourrait ressembler un peu à ceci. Le troisième côté de ce triangle est constitué de cinq unités. Ensuite, puisque le rapport cosinus relie le côté adjacent et l’hypoténuse, on peut dire que cosinus alpha est égal à trois cinquièmes. Et puisque nous sommes ici, sinus alpha est l’opposé sur l’hypoténuse ; il est de quatre cinquièmes. Donc, cette composante de la force du poids va être de 0,222𝑔 fois trois cinquièmes.
Formons une équation avant de simplifier davantage. Nous voulons trouver la somme des forces dans cette direction. Donc, si nous considérons que la direction par rapport au plan est positive, la somme des forces est 𝑅 moins 0,222𝑔 fois trois cinquièmes. Et nous avons dit que la particule est en équilibre dans cette direction, donc cette somme est égale à zéro. Pour isoler 𝑅, nous ajoutons 0,222𝑔 fois trois cinquièmes des deux côtés de l’équation. Et puis en substituant 𝑔 égale 9,8, nous obtenons 1,30536. Nous avons donc la force de réaction normale du plan sur cette première particule. Ajoutons cela au schéma, et nous sommes maintenant prêts à résoudre pour les forces parallèles au plan.
Commençons par trouver la composante de la force du poids de cette première particule qui agit dans cette direction. Cette fois, c’est le côté du triangle opposé à l’angle alpha. Donc, c’est 0,22𝑔 fois sinus alpha, dont nous savons maintenant qu’il vaut 0,22𝑔 fois quatre cinquièmes. Cette fois, la particule n’est pas en équilibre ; nous savons qu’elle bouge. Nous allons donc utiliser 𝐹 égale 𝑚𝑎, et nous commencerons par trouver la somme des forces dans cette direction. En prenant la direction dans laquelle nous supposons que cela va se déplacer comme positif, nous avons 𝑇 dans le sens positif puis le frottement et 0,222𝑔 fois quatre cinquièmes dans le sens négatif. La somme de ces forces est donc comme indiqué. Elle est égale à la masse de cette particule fois l’accélération, donc 0,222𝑎.
Ensuite, en utilisant le fait que le frottement est égal à mu 𝑅, nous avons mu égale un sixième et 𝑅 égale 1,30536. Et puis en calculant la valeur exacte de 0,222𝑔 fois quatre cinquièmes, notre équation devient 𝑇 moins un sixième fois 1,30536 moins 1,74048 égale 0,222𝑎. Et puis cela se simplifie en 𝑇 moins 1,95804 égale 0,222𝑎.
Nous remarquons que nous avons une équation impliquant deux inconnues. Donc, si nous pouvons créer une autre équation en 𝑇 et 𝑎, alors nous pourrions les résoudre simultanément. Pour ce faire, nous étudions les forces impliquant la deuxième particule. C’est un peu plus simple. Nous travaillons simplement dans le sens de la gravité. Si nous prenons la direction positive pour être à nouveau la direction selon laquelle la particule se déplace, la somme des forces est maintenant de 0,31𝑔 moins 𝑇. Encore une fois, cela équivaut à la masse multipliée par l’accélération, donc 0,31𝑎.
Nous avons maintenant une paire d’équations simultanées. Rappelez-vous, nous essayons de trouver l’accélération du système, il serait donc utile d’éliminer 𝑇 de nos équations. Réarrangeons notre première équation pour isoler 𝑇 et substituons dans notre seconde. Cela nous donne 0,31𝑔 moins 1,95804 plus 0,222𝑎 égale 0,31𝑎. Nous soustrayons 1,95804 de 0,31𝑔, où 𝑔 vaut 9,8, et nous obtenons 1,07996. En distribuant le signe moins sur l’ensemble des parenthèses, le côté gauche devient 1,07996 moins 0,222𝑎.
Notre prochaine étape sera d’ajouter 0,222𝑎 aux deux côtés, ce qui nous donnera 1,07996 égale 0,532𝑎. Et enfin, nous devons diviser par 0,532. Cela nous donne 2,03. Et c’est en mètres par seconde carrée. Et donc nous multiplions par 100 pour obtenir notre accélération en centimètres par seconde carrée. Nous avons donc démontré que l’accélération du système est 𝑎 égale 203 centimètres par seconde carrée.
