Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des problèmes sur le mouvement de deux corps reliés par une corde passant par une poulie lisse avec l’un d’eux reposant sur un plan incliné.
On considère deux corps reliés par une corde légère inextensible, où le corps de masse est supporté par une surface horizontale lisse et le corps de masse est suspendu à la corde. La corde passe par une poulie lisse qui nécessite une force négligeable pour tourner. La figure suivante montre les forces agissant sur les corps, où la force est la tension dans la corde et est la force de réaction.
L’accélération de chaque corps est déterminée par sa masse et la force résultante agissant sur lui, selon le principe fondamental de la dynamique. La tension dans la corde est constante.
Chaque corps a la même accélération, donnée par où est l’accélération de la pesanteur.
Si la surface qui supporte le corps de masse est un plan incliné, alors les forces agissant sur les corps sont celles représentées sur la figure suivante.
La force résultante du poids de l’objet de masse et de la force de réaction normale est donnée par où est l’angle d’inclinaison du plan par rapport à l’horizontale. La force résultante exercée sur le corps parallèlement au plan est donnée par
Étudions un exemple dans lequel nous devons déterminer l’accélération d’un tel système.
Exemple 1: Déterminer l’accélération d’un système impliquant un plan incliné et une poulie lisses
Un corps de masse 5 kg repose sur un plan lisse incliné selon un angle de par rapport à l’horizontale. Il est relié par une corde légère inextensible passant par une poulie lisse fixée au sommet du plan à un autre corps de masse 19 kg suspendu librement verticalement sous la poulie. Sachant que l’accélération de la pesanteur est , déterminez l’accélération du système.
Réponse
La figure suivante montre les forces agissant sur les corps et la somme des forces exercées sur le corps de masse 5 kg dues à son poids et la réaction normale sur celui-ci.
Les accélérations des deux corps sont égales. L’accélération du corps de masse 19 kg est donnée par
En multipliant l’expression par 19, on obtient
La force résultante sur le corps supporté peut être exprimée par
La force peut aussi être exprimée par
Par conséquent, on a
On a maintenant deux équations, (1) et (2), qui peuvent s’additionner pour donner
Cela se simplifie par
Au centième près, elle est de 6,59 m/s2.
Étudions maintenant un exemple dans lequel nous devons déterminer la tension dans la corde.
Exemple 2: Déterminer la force agissant sur une poulie dans un système avec un plan incliné
Deux corps de masses égales 7,4 kg sont reliés par une corde légère inextensible. L’un des corps repose sur un plan lisse incliné de par rapport à l’horizontale. La corde passe par une poulie lisse fixée au sommet du plan, et l’autre corps est suspendu librement verticalement sous la poulie. Déterminez la force agissant sur une poulie lorsque le système est libéré du repos. On suppose que l’accélération de la pesanteur est .
Réponse
La force agissant sur la poulie est la résultante des forces de tension dans les cordes. La force résultante exercée sur une poulie due à deux forces de tension verticale égales, et , est illustrée par la figure suivante.
Dans ce cas cependant, une force de tension agit verticalement vers le bas et l’autre agit parallèlement au plan incliné. La force résultante due à ces deux forces de tension est donc équivalente à la force illustrée sur la figure suivante.
L’angle d’inclinaison du plan est donc les forces exercées sur la poulie dues aux tensions dans la corde agissent comme indiqué sur la figure suivante.
La tension est constante sur toute la corde, donc et ont la même intensité. Pour déterminer et , on peut voir que ce système de forces est équivalent au système de forces représenté sur la figure suivante.
On peut définir une tension d’intensité , où
L’intensité de la résultante de et est donc donnée par
La tension dans la corde peut être déterminée en égalisant les accélérations des corps et, donc les intensités des forces produisant ces accélérations, lorsque les masses des corps sont égales. Les forces agissant sur les corps sont illustrées sur la figure suivante.
On voit sur la figure que
Cela peut être réarrangé pour donner
On a montré que la force exercée sur la poulie est donnée par qui peut être exprimée comme
Au centième près, elle est de 130,71 N.
Étudions maintenant un exemple dans lequel nous utilisons les équations du mouvement rectiligne uniformément varié.
Exemple 3: Étudier un système de poulie avec plan incliné en utilisant le principe fondamental de la dynamique et les équations du mouvement rectiligne uniformément varié
Un corps de masse 2,4 kg repose sur un plan lisse incliné selon un angle de par rapport à l’horizontale. Il est relié par une corde légère inextensible passant par une poulie lisse fixée au sommet du plan à un autre corps de masse 1,6 kg suspendu librement verticalement sous la poulie. Lorsque le système a été libéré du repos, les deux corps étaient au même niveau horizontal. Puis, 10 secondes plus tard, la corde s’est cassée. Déterminez après combien de temps le premier corps a commencé à se déplacer dans le sens opposé après que la corde se soit cassée. On suppose que .
Réponse
L’état initial du système est illustré par la figure suivante.
La figure montre que la force résultante du poids du corps de masse et de la force de réaction normale exercée sur le corps agit parallèlement au plan vers le bas. La force parallèle au plan est la somme du poids du corps et de la réaction normale sur le corps.
La force résultante sur le corps supporté est donnée par
La force résultante sur le corps suspendu est donnée par
L’accélération de chaque corps est égale à la force résultante exercée sur le corps divisée par sa masse. Les accélérations des corps sont égales, donc l’accélération du système est donnée par
On voit que et
En additionnant ces expressions, on obtient
En substituant les valeurs connues, on a
L’intensité de la tension dans la corde est donnée par
L’intensité de la somme du poids du corps et la force de réaction normale sur celui-ci est donnée par
On voit ainsi que le corps supporté accélère vers le haut parallèlement à la surface et que le corps suspendu descend verticalement. On aurait pu s’y attendre car la question indique que lorsque la tension cesse d’agir sur le corps sur la surface, il change de sens de mouvement. Si le corps se déplaçait initialement vers le bas parallèlement à la surface, supprimer la force de tension agissant sur lui ne provoquerait pas un mouvement du corps vers le haut parallèlement à la surface.
Pendant 10 secondes, le vecteur vitesse du corps est vers le haut le long de la pente avec une norme donnée par
Lorsque la tension dans la corde cesse d’agir sur le corps, le corps accélère vers le bas parallèlement à la surface. Avec le sens parallèle à la surface vers le haut considéré comme positif, l’accélération est donnée par
Le corps commence à se déplacer vers le bas parallèlement à la surface à l’instant où son vecteur vitesse instantané parallèlement à la surface vers le haut est nul. Le temps nécessaire pour ce changement de vecteur vitesse peut être déterminé en utilisant la formule
En réarrangeant pour isoler , on a
En substituant les valeurs connues, on obtient
Étudions maintenant un exemple dans lequel nous déterminons le coefficient de frottement d’une surface inclinée rugueuse.
Exemple 4: Déterminer le coefficient de frottement dans un système avec une poulie et un plan incliné rugueux
Un corps de masse 240 g repose sur un plan rugueux incliné d’un angle par rapport à l’horizontale dont le sinus est . Il est relié à un autre corps de masse 300 g par une corde légère inextensible passant par une poulie lisse fixée au sommet du plan. Si le système est libéré du repos et que le corps descend de 196 cm en 3 secondes, déterminez le coefficient de frottement entre le corps et le plan. On suppose que .
Réponse
La résultante du poids du corps et de la réaction normale sur celui-ci agit vers le bas parallèlement au plan. Cette force résultante, , est donnée par où est la masse de et est l'angle auquel le plan est incliné. Notez que pour rendre les unités de masse cohérentes avec les unités SI de base utilisées pour la distance et le temps, les masses des corps en grammes sont converties en masses en kilogrammes. Ainsi, en substituant , , et , nous avons
Dessinons un schéma du système. Les corps et seront reliés par un fil, et ils auront chacun une force agissant sur eux en raison de la tension de la corde, la gravité agissant dans le sens opposé. De plus, le corps aura une force de friction agissant à l'encontre de la direction du mouvement (c'est-à-dire vers le bas de la pente).
Puisque le plan est incliné d'un angle dont le sinus est , nous pouvons voir que les longueurs des côtés de l'objet sont dans le rapport .
Dans cette question, nous devons calculer le coefficient de frottement , qui est directement lié à l'intensité de la force de frottement en la formule où est l'intensité de la force normale à la pente. Ceci est donné par
Malheureusement, nous ne connaissons pas ou , mais nous savons que le sinus de l'angle est . Comme le montre le schéma, cela signifie que nous connaissons le rapport entre les longueurs des côtés, et nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la distance horizontale déplacée par (que nous noterons ) :
Par conséquent, nous avons
En remplaçant cela dans la formule pour , nous obtenons
Pour résoudre ce problème et trouver , nous aurons besoin de trouver , ce que nous pouvons faire en considérant les autres forces du système.
Nous notons que puisque les objets sont connectés, ils accéléreront à la même vitesse, ce qui peut être déterminé à partir du mouvement de . On nous donne que le corps accélère à partir du repos et en un temps de 3 secondes a un déplacement de 196 cm. Comme la valeur de dans la question est donnée comme 9,8 m/s2, on doit tenir compte du déplacement en mètres plutôt qu'en centimètres. Ainsi, le déplacement est de 1,96 m. La formule du déplacement est où est la vitesse initiale, est le temps, et est l'accélération. Cela peut être réorganisé pour isoler , en prenant à zéro :
Après avoir trouvé l'accélération, cela signifie que nous pouvons calculer les forces résultantes, et , en utilisant la deuxième loi de Newton. Autrement dit, pour ,
et pour ,
Chacune de ces forces résultantes peut également être écrite comme la somme des forces agissant sur les corps. C'est-à-dire,
Si nous ajoutons directement ces deux équations, nous pouvons annuler les instances de pour obtenir ou, réarrangé en fonction de ,
Ensuite, nous pouvons remplacer (3), (4) et (7) pour obtenir
Enfin, nous pouvons obtenir en divisant par 1,8116 :
Maintenant, regardons un autre exemple impliquant un plan rugueux incliné.
Exemple 5: Résolution d'un système de poulie à plan incliné rugueux en utilisant la deuxième loi de Newton et les équations du mouvement
Un corps de masse 162 g repose sur un plan rugueux incliné d’un angle par rapport à l’horizontale dont la tangente est . Il est relié par une corde légère inextensible passant par une poulie lisse fixée au sommet du plan à un autre corps de masse 181 g suspendu librement verticalement sous la poulie. Le coefficient de frottement entre le premier corps et le plan est . Déterminez la distance parcourue par le système pendant les 7 secondes initiales de son mouvement, sachant que les corps ont été libérés du repos. On suppose que .
Réponse
Il est indiqué que
Ainsi, lorsque le corps supporté par le plan se déplace le long du plan, il monte ou descend de 4 mètres verticalement pour chaque déplacement de 3 mètres horizontalement. D’après le théorème de Pythagore, où est la distance parcourue le long de la surface par le corps.
Par conséquent, et
La figure suivante montre toutes les forces agissant sur le corps supporté sauf une, où le poids du corps et la force de réaction normale sur celui-ci sont représentés par leur force résultante, qui agit vers le bas parallèlement au plan. La force est la tension dans la corde.
La force non représentée est la force de frottement sur le corps supporté. La force n’est pas représentée car la force de frottement agit dans le sens opposé à la force résultante sur le corps, et le sens de la force résultante sur le corps supporté n’a pas été établi. Déterminons-le maintenant.
La force exercée verticalement vers le bas sur le corps suspendu par la corde est donnée par
La force agissant parallèlement au plan sur le corps supporté par le plan est donnée par
En divisant par , on obtient
Comme on voit que
Par conséquent, la masse suspendue descend et la masse supportée se déplace parallèlement au plan vers le haut.
La force de frottement sur le corps supporté est donnée par le produit de la force de réaction normale sur le corps et le coefficient de frottement entre le corps et la surface qui le supporte. Toutes les forces agissant sur le corps supporté agissent parallèlement au plan ; par conséquent, on peut exprimer la force de frottement sur le corps par
La force résultante sur le corps supporté est donc donnée par
où est l’accélération du système.
La force résultante sur le corps suspendu est donnée par
En additionnant les forces résultantes sur les corps données par les équations (7) et (7), on obtient
Le déplacement du corps supporté peut être déterminé en utilisant la formule
En substituant les valeurs connues, on trouve qu’après 7 secondes d’accélération,
Cela peut être exprimé sous la forme d’un entier en le convertissant en une valeur en centimètres, ce qui donne 196 cm.
Résumons ce que nous avons appris dans ces exemples.
Points clés
Les points suivants s’appliquent à un système de deux corps reliés par une corde légère inextensible, où le corps de masse est supporté par un plan lisse incliné selon un angle par rapport à l’horizontale et le corps de masse est suspendu à la corde. La corde passe par une poulie lisse qui nécessite une force négligeable pour tourner, comme indiqué sur la figure suivante.
- La force résultante agissant sur le corps suspendu est égale à la somme de la tension dans la corde et du poids du corps. Elle est donnée par où est la tension dans la corde et est l’accélération de la pesanteur.
- La force résultante agissant sur le corps supporté est égale à la somme de la tension dans la corde et de la composante du poids du corps agissant parallèlement au plan. Elle est donnée par où est la tension dans la corde et est l’accélération de la pesanteur.
- Les accélérations du corps suspendu et du corps supporté sont toutes deux égales aux forces résultantes exercées sur ceux-ci divisées par leurs masses, et les deux accélérations sont égales. On a donc où est la tension dans la corde et est l’accélération de la pesanteur.
- Si le plan incliné qui supporte le corps de masse est rugueux, l’accélération du système est donnée par où est le coefficient de frottement de l’objet avec le plan. La force de frottement sur le corps de masse peut être dans le même sens ou dans le sens opposé à la tension dans la corde, selon si le corps se déplace vers le haut ou vers le bas parallèlement au plan.
