Vidéo de la leçon: Applications de la deuxième loi du mouvement de Newton : poulie inclinée Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes sur le mouvement de deux corps reliés par une corde passant par une poulie lisse où un des corps repose sur un plan incliné. Nous allons étudier des problèmes où le plan est lisse ou rugueux. Pour commencer cette vidéo, rappelons la deuxième loi du mouvement de Newton.

La deuxième loi de Newton stipule que la force résultante subie par un objet est égale à sa masse multipliée par son accélération. Dans cette vidéo, nous allons utiliser des quantités scalaires et utiliser l’équation 𝐹 égale 𝑚𝑎, où 𝐹 représente la somme des forces, 𝑚 la masse et 𝑎 l’accélération. Nous allons mesurer l’accélération en mètres par seconde carrée. La masse sera mesurée en kilogrammes. Le produit de ces unités donne alors des kilogrammes mètres par seconde carrée. Un kilogramme mètre par seconde carrée équivaut à un newton. Et c’est l’unité que nous allons utiliser pour mesurer nos forces.

Nous allons maintenant étudier un problème où le plan est lisse. Soient deux corps 𝐴 et 𝐵 reliés par une corde inextensible légère passant par une poulie lisse. Cela signifie que la tension dans la corde sera égale partout. Les deux corps subissent une force agissant verticalement vers le bas égale à leur poids. Cette force est égale à la masse du corps multipliée par l’accélération due à la pesanteur. Le corps sur le plan subit également une force de réaction perpendiculaire au plan. Mais puisque le plan est lisse, il n’y aura pas de force de frottement.

Comme la corde est inextensible, lorsque le système est libéré du repos, il accélère uniformément. Nous allons maintenant appliquer la deuxième loi de Newton pour décomposer les forces agissant sur les corps 𝐴 et 𝐵. Pour le corps 𝐵, nous allons étudier les forces agissant sur lui verticalement. Pour le corps 𝐴, nous allons étudier les forces agissant sur lui parallèlement au plan. Et nous devons pour cela connaître l’angle d’inclinaison, dans ce cas 𝛼. En utilisant nos connaissances en trigonométrie, nous pouvons identifier les composantes du poids du corps 𝐴 parallèle et perpendiculaire au plan. La force agissant parallèlement au plan est d’intensité 𝑀𝑔 fois sinus 𝛼 et la force perpendiculaire au plan est d’intensité 𝑀𝑔 fois cosinus 𝛼.

Si le corps 𝐵 accélère vers le bas et que l’on suppose qu’il s’agit du sens positif, la somme des forces agissant sur lui est égale à 𝑀𝑔 moins 𝑇. Cette somme est de plus égale à la masse du corps 𝐵 fois son accélération. Le corps 𝐴 se déplace vers le haut du plan. S’il s’agit du sens positif, la somme des forces agissant parallèlement au plan est égale à 𝑇 moins 𝑚𝑔 sin 𝛼. Et cette somme est égale à la masse du corps 𝐴 fois son accélération.

Cela nous donne un système de deux équations que nous pouvons résoudre pour calculer des inconnues. Nous allons maintenant étudier quelques exemples.

Un corps de masse cinq kilogrammes repose sur un plan lisse incliné d’un angle de 35 degrés par rapport à l’horizontale. Il est relié par une corde inextensible légère passant par une poulie lisse fixée en haut du plan à un autre corps de masse 19 kilogrammes suspendu librement sous la poulie. Sachant que l’accélération due à la pesanteur 𝑔 est égale à 9,8 mètres par seconde carrée, calculez l’accélération du système.

Commençons par représenter le système. Il est indiqué que le plan lisse est incliné de 35 degrés. Les masses des deux corps sont de cinq kilogrammes et 19 kilogrammes. Cela signifie qu’ils subissent une force verticale vers le bas respectivement égale à cinq 𝑔 et à 19𝑔, où l’accélération due à la pesanteur 𝑔 est égale à 9,8 mètres par seconde carrée.

La poulie est lisse et la corde est légère et inextensible. Cela signifie que la tension est égale partout dans la corde. Lorsque le système est libéré, l’accélération est également constante. Comme le plan est lisse, il n’y aura pas de force de frottement. Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser la deuxième loi de Newton, qui stipule que la somme des forces est égale à la masse fois l’accélération. Pour le corps sur le plan, nous allons décomposer les forces agissant sur lui parallèlement au plan. Et pour le corps suspendu librement, nous allons décomposer les forces agissant sur lui verticalement.

La force de cinq 𝑔 n’est ni parallèle ni perpendiculaire au plan. Nous devons donc calculer ses deux composantes. En utilisant nos connaissances en trigonométrie, on voit que sa composante perpendiculaire au plan est d’intensité cinq 𝑔 fois cosinus de 35 degrés et que sa composante parallèle au plan est d’intensité cinq 𝑔 fois sinus de 35 degrés.

Le corps 𝐴 se déplace vers le haut du plan. Si on suppose qu’il s’agit du sens positif, la somme des forces agissant sur lui est alors égale à 𝑇 moins cinq 𝑔 fois sinus 35. Cela est aussi égal à cinq 𝑎 car la masse de l’objet est cinq kilogrammes. Comme l’objet 𝐵 accélère vers le bas, la somme des forces agissant verticalement sur lui est égale à 19𝑔 moins 𝑇. Qui est aussi égale à 19𝑎. Nous avons maintenant un système de deux équations que nous pouvons résoudre pour déterminer l’accélération du système. En additionnant l’équation un et l’équation deux, on élimine la tension 𝑇.

Le membre gauche devient 19𝑔 moins cinq 𝑔 fois sinus de 35 degrés. Et le membre droit devient 24𝑎. On peut alors diviser les deux membres de cette équation par 24. Taper cette expression sur une calculatrice nous donne une valeur de 𝑎 égale à 6,5872. En arrondissant au centième près, nous pouvons conclure que l’accélération est de 6,59 mètres par seconde carrée. Nous pourrions remplacer cette valeur dans l’équation un ou deux pour calculer la tension 𝑇. Mais cela n’est pas demandé dans cette question.

Nous allons maintenant étudier ce qui se passe lorsque la surface est rugueuse. En revenant au schéma précédent, on rappelle que nous avons utilisé la deuxième loi de Newton pour créer deux équations pour un plan lisse. Nous avons décomposé les forces verticalement pour l’objet suspendu et parallèlement au plan pour l’objet sur le plan incliné. Voyons maintenant ce qui se passe lorsque le plan est rugueux.

Lorsque le corps 𝐴 accélère vers le haut du plan, une force de frottement agit parallèlement au plan et vers le bas. Cela signifie que nous avons maintenant la tension agissant dans le sens positif et deux forces agissant dans le sens négatif. La somme des forces agissant parallèlement au plan est donc égale à 𝑇 moins 𝑚𝑔 fois sinus 𝛼 moins la force de frottement 𝐹 𝑟. Et cette somme est égale à la masse fois l’accélération.

On rappelle alors que la force de frottement est égale à 𝜇, le coefficient de frottement, fois la force de réaction normale 𝑅, où 𝜇 est une constante comprise entre zéro et un inclus. Si on décompose les forces perpendiculairement au plan, on constate que la somme des forces est égale à 𝑅 moins 𝑚𝑔 fois cosinus 𝛼. Mais le corps ne se déplace pas dans cette direction. Par conséquent, l’accélération est égale à zéro. 𝑅 moins 𝑚𝑔 fois cosinus 𝛼 égale zéro.

Que l’on peut reformuler par 𝑅 égale 𝑚𝑔 cosinus 𝛼. Pour résoudre un problème de ce type sur un plan rugueux et calculer des inconnues, on peut donc utiliser ces trois équations ainsi que la formule qui relie la force de frottement et la force de réaction normale. Nous allons maintenant étudier un exemple de ce type.

Un corps 𝐴 de masse 240 grammes repose sur un plan rugueux incliné d’un angle par rapport à l’horizontale dont le sinus est égal à trois sur cinq. Il est relié par une corde inextensible légère passant par une poulie lisse fixée en haut du plan à un autre corps 𝐵 de masse 300 grammes. Sachant que lorsque le système a été libéré du repos, le corps 𝐵 est descendu de 196 centimètres en trois secondes, calculez le coefficient de frottement entre le corps et le plan. Supposez que 𝑔 est égale à 9,8 mètres par seconde carrée.

Commençons par représenter le système. Il est indiqué que le sinus de l’angle 𝛼 est égal à trois sur cinq. En utilisant nos connaissances en trigonométrie sur les triangles rectangles de type trois, quatre, cinq, on sait que le cosinus de 𝛼, ou cos 𝛼, doit être égal à quatre sur cinq. Les masses des deux corps sont données en grammes. Et on sait qu’il y a 1 000 grammes dans un kilogramme. Cela signifie que 240 grammes est égal à 0,24 kilogramme. On divise la valeur en grammes par 1 000.

Le corps 𝐴 subit donc un poids agissant verticalement vers le bas d’intensité 0,24𝑔, où 𝑔 est égal à 9,8 mètres par seconde carrée. Le corps 𝐵 a une masse de 300 grammes, ce qui équivaut à 0,3 kilogramme. Par conséquent, ce corps a un poids vers le bas de 0,3 fois 𝑔.

La corde est inextensible et légère et passe par une poulie lisse. Cela signifie que la tension est égale dans toute la corde. Cela signifie également qu’une fois libéré, le système se déplacera avec une accélération uniforme. Le corps 𝐴 subit de plus une force de réaction normale perpendiculaire au plan. Et comme le plan est rugueux, il y a une force de frottement agissant vers le bas du plan.

Nous allons maintenant utiliser la deuxième loi de Newton, qui stipule que la somme des forces est égale à la masse fois l’accélération, pour décomposer les forces parallèlement et perpendiculairement au plan pour le corps 𝐴 et verticalement pour le corps 𝐵. Le poids du corps 𝐴 agit verticalement vers le bas. Nous devons donc trouver ses composantes parallèle et perpendiculaire au plan. En utilisant à nouveau nos connaissances en trigonométrie, on obtient une force perpendiculaire au plan d’intensité 0,24𝑔 fois cosinus 𝛼 et une force parallèle au plan d’intensité 0,24𝑔 fois sinus 𝛼.

Trois forces agissent sur 𝐴 parallèlement au plan : la tension, la force de frottement et cette composante du poids. Cela nous donne l’équation 𝑇 moins 0,24𝑔 fois sinus 𝛼 moins la force de frottement 𝐹 𝑟 égale 0,24𝑎. Perpendiculairement au plan, la somme des forces est égale à 𝑅 moins 0,24𝑔 fois cosinus 𝛼. Le corps ne se déplace pas dans cette direction. Donc cette somme est égale à zéro.

En réarrangeant l’équation, on trouve que la force de réaction normale 𝑅 est égale à 0,24𝑔 fois cosinus 𝛼. Enfin, en étudiant les forces agissant verticalement sur le corps 𝐵, où le sens positif est vers le bas, on a 0,3𝑔 moins 𝑇 égale 0,3𝑎. On peut alors substituer les valeurs de sinus 𝛼 et cosinus 𝛼. Cela signifie que la force de réaction normale est égale à 1 176 sur 625. Et 0,24𝑔 fois sinus 𝛼 égale 882 sur 625.

Notre prochaine étape consiste à calculer l’accélération du système, sachant que le corps 𝐵 est descendu de 196 centimètres en trois secondes. Pour cela, nous allons utiliser les équations du mouvement rectiligne uniformément varié ou MRUV. Le déplacement du corps est de 196 centimètres. Cela est égal à 1,96 mètre, car il y a 100 centimètres dans un mètre. Le corps a été libéré du repos donc le vecteur vitesse initial est de zéro mètre par seconde. Nous essayons de calculer l’accélération et nous savons que la durée est de trois secondes.

Cela signifie que nous pouvons utiliser l’équation 𝑠 égale 𝑢𝑡 plus un demi de 𝑎𝑡 au carré. Substituer nos valeurs nous donne alors 1,96 égale zéro fois trois plus un demi de 𝑎 fois trois au carré. Le membre droit se simplifie par 4,5a. Diviser les deux membres par 4,5 nous donne 𝑎 égale 98 sur 225. L’accélération du système est de 98 sur 225 mètres par seconde carrée. Nous pouvons maintenant substituer cette valeur dans nos équations.

Il nous reste à présent deux inconnues, la tension 𝑇 et la force de frottement 𝐹 𝑟. Nous savons que la force de réaction normale est de 1 176 sur 625 newtons. En ajoutant 𝑇 et en soustrayant 49 sur 375 aux deux membres de l’équation du bas, on peut calculer la tension 𝑇. Cela nous donne une intensité de 𝑇 égale à 2 107 sur 750 newtons. On peut ensuite substituer cette valeur dans l’équation du haut. Et en réarrangent cette équation, on obtient une force de frottement 𝐹 𝑟 égale à 1 617 sur 1 250 newtons.

Nous devons maintenant calculer le coefficient de frottement. Et nous savons que la force de frottement est égale à ce coefficient de frottement multiplié par la force de réaction normale. Cela signifie que le coefficient de frottement 𝜇 est égal à 𝐹 𝑟 divisée par 𝑅. Taper ceci dans une calculatrice nous donne un coefficient de frottement 𝜇 égal à onze sur seize.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Pour résoudre des problèmes impliquant des poulies sur un plan incliné, on utilise la deuxième loi de Newton, 𝐹 égale 𝑚𝑎. On décompose les forces verticalement ainsi que parallèlement et perpendiculairement au plan. Si le plan est rugueux, il faut prendre en compte une force de frottement 𝐹 𝑟 s’opposant au mouvement, où cette force de frottement est égale au coefficient de frottement 𝜇 fois la force de réaction normale 𝑅. On peut également utiliser les équations du mouvement rectiligne uniformément varié pour calculer des inconnues et aider à la résolution des problèmes de ce type.