Transcription de la vidéo
Une particule se déplace de manière rectiligne de sorte que son déplacement à partir de l’origine après 𝑡 secondes est donné par 𝑥 est égal à un tiers de cosinus de deux 𝑡 mètres, pour 𝑡 supérieur ou égal à zéro. Déterminez son vecteur vitesse 𝑣 quand 𝑡 égale 𝜋 sur quatre secondes et son accélération 𝑎 quand 𝑡 égale 𝜋 sur trois secondes.
Dans cette question, on nous a donné une expression pour le déplacement en fonction du temps 𝑡. Nous cherchons à trouver le vecteur vitesse et l’accélération de la particule, étant donné quelques informations sur le temps. Et donc, commençons par rappeler comment nous relions le déplacement, le vecteur vitesse et l’accélération. Le vecteur vitesse se calcule se calcule à partir du taux de variation du déplacement d’un objet. Et quand on pense au taux de variation, on pense à la dérivation. Ainsi, la vitesse est la dérivée première du déplacement 𝑥 par rapport au temps. De même, l’accélération est le taux de variation de la vitesse, ce qui signifie que l’accélération est la dérivée première de la vitesse par rapport au temps.
Maintenant, bien sûr, puisque la vitesse est elle-même la dérivée première de 𝑥 par rapport à 𝑡, on peut donc dire que l’accélération doit donc être la dérivée seconde de 𝑥 par rapport à 𝑡, d deux 𝑥 sur d𝑡 deux. Nous allons donc commencer par dériver notre expression du déplacement par rapport au temps pour trouver une expression du vecteur vitesse. Nous allons ensuite dériver à nouveau pour trouver notre expression pour l’accélération. Le déplacement est donné comme un tiers du cosinus de deux 𝑡, donc la vitesse est la dérivée d’un tiers de cosinus deux 𝑡 par rapport à 𝑡.
Maintenant, une chose que nous sommes autorisés à faire lors de la dérivation est de faire sortir les facteurs constants, de sorte que nous pouvons mettre le un tiers à l’extérieur. Et nous pouvons dire que la vitesse sera un tiers fois la dérivée première de cosinus deux 𝑡. Ce n’est pas entièrement nécessaire, mais cela rend l’étape suivante un peu plus facile. Ensuite, nous citons le résultat général pour la dérivée de cosinus 𝑎𝑥 pour les constantes réelles 𝑎. C’est moins 𝑎 sinus 𝑎𝑥. Et donc, cela signifie que lorsque nous dérivons cosinus deux 𝑡, nous aurons moins deux sinus deux 𝑡. Et donc, notre vecteur vitesse est un tiers de cela. C’est un tiers fois moins deux sinus deux 𝑡, que nous pouvons, bien sûr, écrire comme moins deux tiers sinus deux 𝑡.
Nous allons ensuite trouver l’expression de l’accélération. Ensuite, nous trouverons le vecteur vitesse et l’accélération données aux temps demandés. Cette fois, l’accélération est la dérivée première de moins deux tiers de sinus deux 𝑡 par rapport à 𝑡. Encore une fois, mettons à l’extérieur cette constante moins deux tiers, et nous voyons que nous allons trouver la dérivée du sinus deux 𝑡, puis nous la multiplions ceci par moins deux tiers. Et donc, citons cette fois-ci le résultat général pour dériver le sinus 𝑎𝑥 pour les constantes réelles 𝑎. C’est 𝑎 fois cosinus de 𝑎𝑥. Maintenant, cela signifie que la dérivée de sinus de deux 𝑡 par rapport à 𝑡 est deux cosinus de deux 𝑡. Et par conséquent, notre expression de l’accélération est moins deux tiers fois deux cosinus deux 𝑡. Cela se simplifie en moins quatre tiers fois cosinus deux 𝑡.
Nous allons maintenant libérer de l’espace et calculer le vecteur vitesse lorsque 𝑡 est égal à 𝜋 sur quatre secondes. Nous pourrions représenter cela en utilisant la notation des fonctions comme indiqué. Cela nous indique que pour trouver le vecteur vitesse lorsque 𝑡 est égal à 𝜋 sur quatre, nous remplaçons 𝑡 dans notre expression du vecteur vitesse par 𝜋 sur quatre. Et donc, le vecteur vitesse à ce moment doit être moins deux tiers fois sinus de deux fois 𝜋 sur quatre. Maintenant, deux fois 𝜋 sur quatre ou deux fois un quart de 𝜋 est un demi de 𝜋 ou 𝜋 sur deux. Donc, cela se simplifie un peu en moins deux tiers fois le sinus 𝜋 sur deux. Mais bien sûr, nous savons que le sinus de 𝜋 sur deux est simplement un.
Donc, notre vecteur vitesse à ce stade est juste moins deux tiers fois un, ce qui est moins deux tiers. Le déplacement est en mètres, et notre temps 𝑡 est mesuré en secondes. On peut donc dire que le vecteur vitesse lorsque 𝑡 est égal à 𝜋 sur quatre secondes est moins deux tiers mètres par seconde. Maintenant, nous ne devons pas nous inquiéter que notre vecteur vitesse est négative. Nous rappelons que le vecteur vitesse est une quantité vectorielle ; il consiste en un sens et une norme. Et donc, un vecteur vitesse négative nous indique simplement la sens dans laquelle la particule se déplace. Répétons maintenant ce processus, cette fois, en calculant l’accélération lorsque 𝑡 est égal à 𝜋 sur trois.
Si nous utilisons la notation des fonctions, cela ressemble à ceci. Et nous voyons que cette fois, nous allons remplacer 𝑡 par 𝜋 sur trois. Notre accélération est donc moins quatre tiers fois cosinus deux 𝜋 sur trois, ce qui se simplifie en moins quatre tiers fois cosinus deux 𝜋 sur trois. Mais cosinus deux 𝜋 sur trois est moins un demi. Ainsi, notre accélération peut être calculée en multipliant moins quatre tiers par moins un demi. Nous voyons que nous pouvons simplifier par deux. Et cela devient moins deux tiers fois moins un sur un. Moins fois moins donne un plus Ensuite, nous multiplions nos numérateurs et nous multiplions séparément nos dénominateurs.
Cela nous laisse avec une accélération de deux tiers ou deux tiers mètres par seconde carrée, ce qui, nous pouvons aussi dire donne deux tiers mètres par seconde par seconde. Lorsque 𝑡 égale 𝜋 sur quatre secondes, le vecteur vitesse est moins deux tiers mètres par seconde. Et lorsque 𝑡 est égal à 𝜋 sur trois, l’accélération est de deux tiers mètres par seconde carrée.
