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Fiche explicative de la leçon: Mouvement rectiligne et dérivation Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser la dérivation pour déterminer le vecteur vitesse, la vitesse et l’accélération instantanées d’une particule.

Le vecteur vitesse moyen 𝑣 est le taux de variation de la position entre deux instants 𝑡 et 𝑡+Δ𝑡. Si on a un mouvement rectiligne, alors la position de la particule à l’instant 𝑡 est décrite par le vecteur position 𝑥 du corps se déplaçant le long de l’axe du mouvement. On note parfois 𝑥(𝑡) pour se rappeler que 𝑥 est une fonction du temps 𝑡. La variation de position est appelée le déplacement 𝑠:𝑣=𝑠Δ𝑡=Δ𝑥Δ𝑡=𝑥(𝑡+Δ𝑡)𝑥(𝑡)Δ𝑡.

Le vecteur vitesse instantané 𝑣(𝑡) est déterminé en prenant la limite du quotient ci-dessus lorsque Δ𝑡 tend vers zéro:𝑣(𝑡)=𝑥(𝑡+Δ𝑡)𝑥(𝑡)Δ𝑡.lim

Cette expression de 𝑣(𝑡) correspond à la définition de la dérivée de la fonction 𝑥(𝑡).

Définition : Vecteur vitesse instantanée

Le vecteur vitesse instantanée 𝑣(𝑡) d’un objet à l’instant 𝑡 est égal à la dérivée du vecteur position de l’objet 𝑥(𝑡) par rapport au temps:𝑣(𝑡)=𝑥(𝑡)𝑡.dd

Pour un mouvement rectiligne, 𝑣(𝑡)=𝑣(𝑡)𝑢 et 𝑥(𝑡)=𝑥(𝑡)𝑢, 𝑥(𝑡) et 𝑣(𝑡) sont les composantes respectives du vecteur position et du vecteur vitesse le long de l’axe du mouvement.

Par conséquent, on a 𝑣(𝑡)𝑢=𝑥(𝑡)𝑢𝑡,dd et comme 𝑢 n’est pas une fonction du temps, on a dddd𝑥(𝑡)𝑢𝑡=𝑥(𝑡)𝑡𝑢; par conséquent, 𝑣(𝑡)=𝑥(𝑡)𝑡.dd

Il est à noter que l’on écrit souvent simplement 𝑣=𝑥𝑡dd.

La définition ci-dessus est parfois donnée avec le déplacement à la place de la position. Si on définit le déplacement comme la variation de position par rapport à 𝑥(0), on a alors 𝑠(𝑡)=𝑥(𝑡)𝑥(0)𝑠(𝑡+Δ𝑡)=𝑥(𝑡+Δ𝑡)𝑥(0), ce qui donne 𝑠(𝑡+Δ𝑡)𝑠(𝑡)=𝑥(𝑡+Δ𝑡)𝑥(0)(𝑥(𝑡)𝑥(0))𝑠(𝑡+Δ𝑡)𝑠(𝑡)=𝑥(𝑡+Δ𝑡)𝑥(𝑡).

Par conséquent, on peut écrire 𝑣(𝑡)=𝑠(𝑡+Δ𝑡)𝑠(𝑡)Δ𝑡=𝑠(𝑡)𝑡.limdd

On rappelle que la position, le déplacement et le vecteur vitesse sont des vecteurs, et comme on considère ici un mouvement rectiligne, ces vecteurs sont unidimensionnels. Les valeurs 𝑥(𝑡), 𝑠(𝑡) et 𝑣(𝑡) sont l’unique composante de ces vecteurs le long de l’axe du mouvement. Ces fonctions peuvent donc avoir des valeurs négatives. Une position négative signifie que la particule est du côté négatif de l’axe du mouvement par rapport à l’origine. Un déplacement négatif signifie que la particule s’est déplacée dans le sens négatif pendant le temps considéré. Un vecteur vitesse instantanée négatif signifie que la particule se déplace dans le sens négatif à l’instant considéré.

En revanche, la vitesse n’est ni un vecteur ni une composante vectorielle. La vitesse est définie comme la distance parcourue par unité de temps. Elle est donc toujours positive. La vitesse instantanée est alors simplement la norme du vecteur vitesse instantanée.

Définition : Vitesse instantanée

La vitesse instantanée d’un objet à l’instant 𝑡 est égale à la norme du vecteur vitesse instantanée 𝑣(𝑡) par rapport au temps:vitesse=|𝑣(𝑡)|.

En cas de mouvement rectiligne, on a vitessedd=|||𝑥(𝑡)𝑡|||,𝑥(𝑡) est la composante du vecteur position 𝑥(𝑡) le long de l’axe du mouvement.

Étudions quelques exemples d’utilisation de ces définitions de la vitesse et du vecteur vitesse.

Exemple 1: Déterminer le vecteur vitesse d’une particule à partir de l’expression de sa position par rapport au temps

Une particule a commencé à se déplacer en ligne droite. Après 𝑡secondes, sa position par rapport à un point fixe est 𝑟=𝑡+4𝑡1m, avec 𝑡0. Déterminez le vecteur vitesse de la particule lorsque 𝑡=5s.

Réponse

Dans cette question, on a une expression de la position d’une particule par rapport à un point fixe 𝑟 en fonction du temps 𝑡. Lorsque la particule se déplace en ligne droite, la fonction 𝑟(𝑡) est la composante du vecteur position de la particule le long de l’axe du mouvement.

Comme le vecteur vitesse 𝑣(𝑡) est 𝑣(𝑡)=𝑟𝑡,dd on a 𝑣(𝑡)=𝑡𝑡+4𝑡1,=2𝑡+4.dd

On souhaite trouver le vecteur vitesse de la particule à 𝑡=5s, on substitue donc cette valeur à 𝑡:𝑣(5)=2×5+4𝑣(5)=14.

Comme 𝑟 est mesuré en mètres et 𝑡 en secondes, cette norme du vecteur vitesse est en mètres par seconde, donc le vecteur vitesse à 𝑡=5s est 14 m/s.

Exemple 2: Déterminer quand la vitesse atteint une valeur spécifique à partir du déplacement en fonction du temps

Une particule se déplace le long de l’axe des 𝑥. À l’instant 𝑡secondes, son déplacement par rapport à l’origine est 𝑥=2𝑡6𝑡+4m, avec 𝑡0. Déterminez toutes les valeurs possibles de 𝑡 en secondes pour lesquelles la vitesse de la particule vérifie |𝑣|=4/ms.

Réponse

La particule se déplace le long de l’axe des 𝑥. Son déplacement par rapport à l’origine est égal à sa position, donnée, en effet, par 𝑥(𝑡). On sait que le vecteur vitesse de la particule est égal à la dérivée de 𝑥(𝑡). On doit ici trouver toutes les valeurs possibles de 𝑡 pour lesquelles la vitesse est 4 m/s. Comme la vitesse est la norme du vecteur vitesse, une vitesse de 4 m/s signifie que le vecteur vitesse est égal à 4 m/s (la particule se déplace dans le sens positif de l’axe des 𝑥) ou à 4/ms (la particule se déplace dans le sens négatif de l’axe des 𝑥).

On détermine le vecteur vitesse en fonction du temps:𝑣=𝑥𝑡𝑣=𝑡2𝑡6𝑡+4𝑣=4𝑡6.dddd

On souhaite trouver les valeurs de 𝑡 telles que |𝑣|=4/ms, c’est-à-dire 𝑣=4/ms ou 𝑣=4/ms.

Cela donne 4𝑡6=44𝑡=10𝑡=52,s ou 4𝑡6=44𝑡=2𝑡=12.s

Les valeurs possibles de 𝑡 pour lesquelles la vitesse de la particule est |𝑣|=4/ms sont 12s et 52s.

De la même manière que le vecteur vitesse instantanée d’un objet est le taux de variation de son déplacement, l’accélération instantanée d’un objet est le taux de variation de son vecteur vitesse. Si une particule se déplace (vecteur vitesse non nul), sa position varie;si une particule a une accélération non nulle, son vecteur vitesse varie.

Définition : Accélération instantanée

L’accélération instantanée 𝑎(𝑡) d’un objet à l’instant 𝑡 est égale à la dérivée du vecteur vitesse de l’objet 𝑣(𝑡) par rapport au temps:𝑎(𝑡)=𝑣(𝑡)𝑡.dd

Pour un mouvement rectiligne, 𝑎(𝑡)=𝑎(𝑡)𝑢 et 𝑣(𝑡)=𝑣(𝑡)𝑢, 𝑣(𝑡) et 𝑎(𝑡) sont les composantes respectives des vecteurs vitesse et accélération le long de l’axe du mouvement.

Par conséquent, on a 𝑎(𝑡)𝑢=𝑣(𝑡)𝑢𝑡,dd et comme 𝑢 n’est pas une fonction du temps, on a dddd𝑣(𝑡)𝑢𝑡=𝑣(𝑡)𝑡𝑢; par conséquent, 𝑎(𝑡)=𝑣(𝑡)𝑡.dd

Notez que l’on écrit souvent simplement 𝑎=𝑣𝑡dd.

Dans l’exemple suivant, nous devons déterminer l’accélération d’une particule à partir de son vecteur vitesse.

Exemple 3: Déterminer l’accélération d’un corps à partir de son vecteur vitesse en fonction du temps

Une particule se déplace en ligne droite de telle sorte que son vecteur vitesse 𝑣 à l’instant 𝑡secondes est 𝑣=2𝑡68/ms, avec 𝑡0. Déterminez la norme de l’accélération de la particule lorsque son vecteur vitesse est égal à 94 m/s.

Réponse

Dans cette question, on a une expression du vecteur vitesse d’une particule 𝑣 en fonction du temps, 𝑡. On peut utiliser la formule 𝑎=𝑣𝑡dd pour obtenir une expression de l’accélération 𝑎 de la particule à l’instant 𝑡:𝑎=𝑡2𝑡68𝑎=4𝑡.dd

Cependant, on a besoin d’une valeur de temps pour utiliser cette formule. On ne connaît pas la valeur de l’instant, mais on connaît une valeur du vecteur vitesse que l’on peut utiliser pour trouver la valeur de l’instant. On commence par réarranger la formule du vecteur vitesse pour isoler le temps:𝑣=2𝑡68𝑣+68=2𝑡𝑣+682=𝑡.

Il existe une solution positive et une solution négative à cette équation. Cependant, il est indiqué que 𝑡0, seule la solution positive est donc valide ici. Par conséquent, on a 𝑡=𝑣+682.

On substitue maintenant la valeur du vecteur vitesse pour déterminer la valeur de 𝑡 quand 𝑣=94/ms:𝑡=94+682𝑡=1622𝑡=81𝑡=9.s

On recherche donc l’accélération de la particule lorsque 𝑡=9s. On substitue cette valeur dans la formule de l’accélération:𝑎=4×9𝑎=36/.ms

L’accélération de la particule lorsque son vecteur vitesse est 94 m/s est 36 m/s2.

Nous allons maintenant déterminer le vecteur vitesse et l’accélération à partir du déplacement.

Exemple 4: Déterminer le vecteur vitesse et l’accélération d’une particule à partir de l’expression de son déplacement en fonction du temps

Une particule se déplace en ligne droite telle que son déplacement à partir de l’origine après 𝑡secondes est donné par 𝑥=132𝑡cosm, avec 𝑡0. Déterminez son vecteur vitesse 𝑣 quand 𝑡=𝜋4s et son accélération 𝑎 quand 𝑡=𝜋3s.

Réponse

Dans cette question, on a une expression de la position 𝑥 d’une particule en fonction du temps 𝑡. (La position sur l’axe du mouvement, l’axe des 𝑥, est égale au déplacement par rapport à l’origine.) On doit déterminer le vecteur vitesse et l’accélération de la particule à des instants donnés. On peut utiliser la formule 𝑣=𝑥𝑡dd pour obtenir une expression du vecteur vitesse de la particule en fonction du temps:𝑣=𝑡132𝑡𝑣=232𝑡.ddcossin

Quand 𝑡=𝜋4s, le vecteur vitesse est donc 𝑣=232×𝜋4𝑣=23𝜋2𝑣=23/.sinsinms

Comme 𝑎=𝑣𝑡dd, on trouve 𝑎=𝑡232𝑡𝑎=432𝑡.ddsincos

À 𝑡=𝜋3s, l’accélération est 𝑎=432𝜋3𝑎=43×12𝑎=23/.cosms

Dans l’exemple précédent, on a dérivé la fonction position pour trouver la fonction du vecteur vitesse et on a dérivé la fonction du vecteur vitesse pour trouver la fonction de l’accélération. Cela signifie que pour trouver la fonction de l’accélération, on a dérivé deux fois la fonction de position. En effet, comme le vecteur vitesse d’un objet est lui-même la dérivée de la position le long de l’axe du mouvement (en cas de mouvement rectiligne) par rapport au temps, on peut écrire 𝑎(𝑡)=𝑡𝑥(𝑡)𝑡,dddd ce qui peut aussi s’écrire 𝑎(𝑡)=𝑥(𝑡)𝑡dd ou 𝑎=𝑥𝑡.dd

Voyons comment utiliser cela avec le dernier exemple.

Exemple 5: Déterminer l’accélération en fonction du temps à partir du déplacement en fonction du temps

Une particule se déplace en ligne droite de sorte que son déplacement 𝑠 après 𝑡secondes est 𝑠=2𝑡+2𝑡+2m, 𝑡>0. Déterminez l’accélération 𝑎 en fonction du temps.

Réponse

On connaît le déplacement en fonction du temps pour 𝑡>0. Le déplacement doit être compris ici comme la variation de position par rapport à la position à 𝑡=0. Sachant que l’accélération est la dérivée du vecteur vitesse et que le vecteur vitesse est la dérivée du déplacement, on a 𝑎=𝑠𝑡𝑎=𝑡2𝑡+2𝑡+2𝑎=𝑡6𝑡+2𝑎=(12𝑡)/.ddddddms

Résumons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Le vecteur vitesse instantanée 𝑣(𝑡) d’un objet se déplaçant en ligne droite est égal à la dérivée de la position de l’objet 𝑥(𝑡) par rapport au temps:𝑣(𝑡)=𝑥(𝑡)𝑡,dd𝑥(𝑡) et 𝑣(𝑡) sont les composantes respectives des vecteurs position et vitesse le long de l’axe du mouvement.
  • La vitesse instantanée à l’instant 𝑡 d’un objet se déplaçant en ligne droite est égale à la valeur absolue du vecteur vitesse instantanée 𝑣(𝑡) par rapport au temps:vitessedd=|𝑣(𝑡)|=|||𝑥(𝑡)𝑡|||,𝑥(𝑡) et 𝑣(𝑡) sont les composantes respectives des vecteurs position et vitesse le long de l’axe du mouvement.
  • L’accélération instantanée 𝑎(𝑡) d’un objet se déplaçant en ligne droite est égale à la dérivée du vecteur vitesse de l’objet 𝑣(𝑡) par rapport au temps:𝑎(𝑡)=𝑣(𝑡)𝑡,dd𝑣(𝑡) et 𝑎(𝑡) sont les composantes respectives des vecteurs vitesse et accélération le long de l’axe du mouvement.

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