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Vidéo de la leçon: Mouvement rectiligne et dérivées Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser la dérivation pour déterminer le vecteur vitesse et l’accélération d’une particule.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser la dérivation pour déterminer le vecteur vitesse et l’accélération d’une particule. Nous allons commencer par rappeler quelques termes clés, ainsi que leur notation et leurs unités.

Le déplacement d’un corps, noté 𝑠 de 𝑡, est mesuré en mètres. La distance parcourue par un corps est la norme de 𝑠 de 𝑡, car la distance doit toujours être positive. Elle a également pour unité standard les mètres. Le vecteur vitesse d’un corps est noté 𝑣 de 𝑡 et est mesuré en mètres par seconde. Comme pour la distance, la vitesse d’un corps doit être positive. Par conséquent, la vitesse est égale à la norme du vecteur vitesse. Enfin, l’accélération 𝑎 de 𝑡 a pour unité standard les mètres par seconde carrée.

Avant de voir comment nous pouvons utiliser la dérivation pour résoudre des problèmes, nous allons d’abord étudier un graphique du vecteur vitesse en fonction du temps pour voir comment ces notions sont reliées. Le schéma montre un graphique du vecteur vitesse en fonction du temps avec six intervalles distincts. Nous savons que la dérivée du vecteur vitesse nous donne l’accélération d’un corps. Ainsi, lorsque la courbe monte, l’accélération est positive. Et nous pouvons calculer cette accélération en calculant la pente de la tangente à la courbe. De même, lorsque la courbe descend, l’accélération est négative. Enfin, lorsque la courbe est horizontale, la pente est nulle. Cela signifie qu’il n’y a aucune accélération et que le corps se déplace avec un vecteur vitesse constant.

Le déplacement est la variation de position d’un objet. Et nous pouvons calculer ce déplacement en calculant l’aire entre la courbe et l’axe du temps. Lorsque la courbe est au-dessus de cet axe, le déplacement est positif, et quand elle est en dessous de l’axe, le déplacement est négatif. Nous allons maintenant étudier un exemple impliquant un graphique du vecteur vitesse en fonction du temps.

La figure ci-dessous représente un graphique temps-vecteur vitesse pour une particule se déplaçant en ligne droite. Sur quel intervalle l’accélération de la particule est-elle négative ?

On rappelle que sur un graphique du vecteur vitesse en fonction du temps, l’accélération est négative lorsque la courbe descend de gauche à droite. Cela se produit pendant trois périodes sur le graphique. Entre 𝑡 égale zéro et 𝑡 égale trois, le vecteur vitesse 𝑣 de 𝑡 diminue de six à zéro. Cela signifie que la particule ralentit ou que l’accélération est négative. De 𝑡 égale trois à 𝑡 égale quatre, le vecteur vitesse diminue de zéro à moins six. Et enfin, entre 𝑡 égale neuf et 𝑡 égale 11, le vecteur vitesse diminue de cinq à zéro. Nous pouvons donc conclure que l’accélération est négative de 𝑡 égale zéro à 𝑡 égale quatre et de 𝑡 égale neuf à 𝑡 égale 11. L’accélération de la particule est négative pendant deux intervalles de temps continus.

Nous allons maintenant étudier comment passer du déplacement au vecteur vitesse et à l’accélération à l’aide de la dérivation. Nous rappelons que le déplacement d’un corps à un instant donné 𝑡 peut s’écrire 𝑠 de 𝑡. Le vecteur vitesse est 𝑣 de 𝑡 et l’accélération 𝑎 de 𝑡. Si nous connaissons une expression de 𝑠 de 𝑡, nous pouvons la dériver par rapport à 𝑡 pour trouver une expression de 𝑣 de 𝑡. Et il en va de même pour passer du vecteur vitesse à l’accélération. Cela signifie que 𝑣 de 𝑡 est égal à d sur d𝑡 de 𝑠 de 𝑡. De même, 𝑎 de 𝑡 est égale à d sur d𝑡 de 𝑣 de 𝑡. On peut également trouver l’expression de l’accélération 𝑎 de 𝑡 en dérivant deux fois l’expression du déplacement.

Bien que cela ne soit pas requis dans cette vidéo, nous pouvons aussi nous déplacer dans le sens opposé de 𝑎 de 𝑡 à 𝑣 de 𝑡 et de 𝑣 de 𝑡 à 𝑠 de 𝑡 en intégrant. En effet, l’intégration est l’opération réciproque de la dérivation. Nous allons maintenant voir quelques exemples où nous devons déterminer l’expression du vecteur vitesse ou de l’accélération d’un corps et l’évaluer pour calculer le vecteur vitesse ou l’accélération à un instant donné.

Une particule se déplace en ligne droite telle que son déplacement 𝑠 après 𝑡 secondes est défini par 𝑠 égale deux 𝑡 au carré moins trois 𝑡 plus trois mètres, où 𝑡 est supérieur à zéro. Déterminez l’expression du vecteur vitesse 𝑣 en fonction du temps.

La question indique que le déplacement d’une particule 𝑠 est égal à deux 𝑡 au carré moins trois 𝑡 plus trois mètres. Et nous devons trouver une expression du vecteur vitesse 𝑣. Pour cela, nous allons dériver la fonction, car 𝑣 de 𝑡 est égale à d sur d𝑡 de 𝑠 de 𝑡. Si le déplacement d’un corps est exprimé comme une fonction du temps, on peut le dériver pour obtenir l’expression du vecteur vitesse. Dériver deux 𝑡 au carré donne 4𝑡. Dériver moins trois 𝑡 donne moins trois. Et dériver une constante, dans ce cas trois, donne zéro. Le vecteur vitesse est donc égale à 4𝑡 moins trois. Comme nous dérivons par rapport à 𝑡, 𝑣 est égal à 4𝑡 moins trois mètres par seconde. Il s’agit de l’expression du vecteur vitesse en fonction du temps.

Dans la prochaine question, nous devons déterminer une expression de l’accélération en fonction du temps.

Une particule se déplace en ligne droite telle que son déplacement 𝑠 après 𝑡 secondes est défini par 𝑠 égale deux 𝑡 au cube plus deux 𝑡 plus deux mètres, où 𝑡 est supérieur à zéro. Déterminez l’expression de l’accélération 𝑎 en fonction du temps.

Pour répondre à cette question, on rappelle que l’on peut dériver l’expression du déplacement par rapport au temps pour obtenir l’expression du vecteur vitesse. De même, on peut dériver l’expression du vecteur vitesse pour trouver l’expression de l’accélération. Cela signifie que 𝑣 de 𝑡 est égal à d sur d𝑡 de 𝑠 de 𝑡. De même, 𝑎 de 𝑡 est égal à d sur d𝑡 de 𝑣 de 𝑡. La question indique que le déplacement 𝑠 est égal à deux 𝑡 au cube plus deux 𝑡 plus deux mètres.

Dériver cette expression par rapport à 𝑡 nous donnera donc une expression du vecteur vitesse. Dériver deux 𝑡 au cube donne six 𝑡 au carré. Dériver deux 𝑡 donne deux, et dériver la constante deux donne zéro. Par conséquent, 𝑣 est égal à six 𝑡 au carré plus deux. Comme le déplacement est mesuré en mètres et le temps en secondes, le vecteur vitesse est mesuré en mètres par seconde. 𝑣 égale six 𝑡 au carré plus deux mètres par seconde.

Dériver cette nouvelle expression par rapport à 𝑡 nous donnera alors l’expression de 𝑎. En dérivant six 𝑡 au carré, on obtient 12𝑡, et encore une fois, dériver une constante donne zéro. L’accélération 𝑎 est donc égale à 12𝑡. Nous pouvons ainsi conclure que si 𝑠 est égal à deux 𝑡 au cube plus deux 𝑡 plus deux mètres, alors l’accélération 𝑎 de la particule en fonction du temps est égale à 12𝑡 mètres par seconde carrée.

Dans la question suivante, nous devons calculer la valeur de l’accélération d’une particule lorsqu’elle se déplace avec un vecteur vitesse donné.

Une particule se déplace en ligne droite telle que son vecteur vitesse 𝑣 à l’instant 𝑡 secondes est défini par 𝑣 égale deux 𝑡 au carré moins 68 mètres par seconde, où 𝑡 est supérieur ou égal à zéro. Calculez la valeur de l’accélération de la particule lorsque son vecteur vitesse est égal à 94 mètres par seconde.

Pour répondre à cette question, nous rappelons que pour trouver l’expression de l’accélération de la particule, 𝑎 de 𝑡, nous devons dériver l’expression 𝑣 de 𝑡. Le vecteur vitesse de cette particule à l’instant 𝑡 seconde est égal à deux 𝑡 au carré moins 68 mètres par seconde. Dériver deux 𝑡 au carré donne quatre 𝑡. Et dériver toute constante donne zéro. Par conséquent, la dérivée de moins 68 est zéro. L’accélération 𝑎 est donc égale à quatre 𝑡. Comme le temps 𝑡 est mesuré en secondes, l’accélération est égale à quatre 𝑡 mètres par seconde carrée.

Nous devons calculer la valeur de cette accélération lorsque le vecteur vitesse est de 94 mètres par seconde. On peut alors déterminer la valeur de 𝑡 pour laquelle le vecteur vitesse est de 94 mètres par seconde, puis substituer cette valeur de 𝑡 dans l’expression de 𝑎 de 𝑡. En posant l’expression de 𝑣 égale à 94, on a deux 𝑡 au carré moins 68 égale 94. En ajoutant 68 aux deux membres de cette équation, on obtient deux 𝑡 au carré égale 162. On peut alors diviser les deux membres de l’équation par deux pour obtenir 𝑡 au carré égale 81. En prenant la racine carrée des deux membres de cette équation, on obtient 𝑡 égale plus ou moins racine carrée de 81. Comme neuf au carré égale 81, cela signifie que 𝑡 est égal à plus ou moins neuf.

Mais la question indique que 𝑡 représente le temps et qu’il est donc supérieur ou égal à zéro. Cela signifie que l’instant auquel le vecteur vitesse est de 94 mètres par seconde est neuf secondes. Nous pouvons maintenant substituer cette valeur dans l’expression de l’accélération. 𝑎 égale quatre fois neuf. Comme quatre fois neuf égale 36, nous pouvons conclure que la valeur de l’accélération de la particule lorsque le vecteur vitesse est de 94 mètres par seconde est de 36 mètres par seconde carrée.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu dans cette vidéo que nous pouvons utiliser la dérivation pour déterminer l’expression du vecteur vitesse et de l’accélération d’une particule en fonction du temps. Si nous connaissons l’expression du déplacement d’une particule ou d’un corps en fonction du temps, noté 𝑠 de 𝑡, nous pouvons trouver une expression du vecteur vitesse 𝑣 de 𝑡 de la particule en dérivant cette expression. De même, nous pouvons dériver cette expression de 𝑣 de 𝑡 par rapport au temps pour trouver l’expression de l’accélération 𝑎 de 𝑡. On peut l’écrire de manière plus formelle comme ceci.

La vitesse d’une particule est la norme de son vecteur vitesse et la distance est la norme du déplacement. La vitesse et la distance doivent en effet être des valeurs positives. Bien que nous ne l’ayons pas mentionné dans cette vidéo, il est également important de noter qu’une particule est au repos lorsque 𝑣 de 𝑡 égale zéro.

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