Transcription de la vidéo
Considérons les matrices 𝑍 égal la matrice moins sept, quatre, moins un, un et 𝐴 égal une matrice sept, quatre, trois, trois. Est-il vrai que moins sept multiplié par la somme de la matrice 𝑍 et de la matrice 𝐴 est égal à moins sept multiplié par la matrice 𝐴 moins sept multiplié par la matrice 𝑍 ?
Eh bien, la première chose que nous devons faire dans cette question est de calculer la matrice 𝑍 plus la matrice A Donc, pour calculer cette somme, nous devons ajouter les coefficients correspondants de chacune de nos matrices. Ainsi, par exemple, si nous cherchons le coefficient en haut à gauche, ce que nous allons faire, c’est ajouter moins sept et sept. Et ensuite, si nous faisons cela pour le reste des coefficients, nous allons avoir quatre plus quatre, moins un plus trois et un plus trois.
Nous allons donc avoir la matrice zéro, huit, deux, quatre. Donc, maintenant, ce que nous voulons faire c’est multiplier cela par moins sept. Et pour ce faire, nous multiplions chaque coefficient par moins sept, donc nous obtenons zéro multiplié par moins sept, huit multiplié par moins sept, deux multiplié par moins sept et quatre multiplié par moins sept. Nous avons donc la matrice zéro, moins 56, moins 14, moins 28.
Voilà, génial, le membre de gauche de notre équation est écrit. Maintenant, nous devons écrire le membre de droite de l’équation. Et pour ce faire, nous devons calculer moins sept multiplié par la matrice 𝐴 moins sept multiplié par la matrice 𝑍. Ainsi, lorsque nous multiplions la matrice 𝐴 par moins sept, nous obtenons moins 49, parce que moins sept multiplié par sept donne moins 49, moins 28, moins 21 et moins 21. Il s’agit donc de moins sept multiplié par la matrice 𝐴.
Maintenant, ce que nous voulons faire, c’est calculer sept multiplié par la matrice 𝑍. Et nous obtenons la matrice moins 49, 28, moins sept, sept. Encore une fois, nous avons fait cela en multipliant chacun de nos coefficients par sept. Donc, maintenant, nous voulons calculer moins sept multiplié par la matrice 𝐴 moins sept multiplié par la matrice 𝑍. Et pour ce faire, nous soustrayons les coefficients que nous avons trouvés pour sept multiplié par la matrice 𝑍 à tous ceux que nous avons trouvés pour moins sept multiplié par la matrice 𝐴. Ainsi, nous obtenons moins 49 moins moins 49, moins 28 moins 28, moins 21 moins moins sept et moins 21 moins sept.
Après tous ces calculs, nous obtenons la matrice zéro, moins 56, moins 14, moins 28. Nous avons donc découvert que le membre de gauche est égal au membre de droite. Ainsi, pour répondre à notre question, nous pouvons dire qu’il est vrai que moins sept fois la somme de la matrice 𝑍 et de la matrice 𝐴 égal moins sept fois la matrice 𝐴 moins sept fois la matrice 𝑍. Nous avons donc réussi et prouvé que l’égalité était vraie.
Mais nous aurions pu utiliser une méthode plus rapide. Et cette méthode aurait été d’utiliser les propriétés de distributivité de la multiplication. Si nous avons 𝑎 facteur de 𝑏 plus 𝑐, cela équivaut à 𝑎 multiplié par 𝑏 plus 𝑎 multiplié par 𝑐. Ainsi, dans notre exemple, le moins sept multiplié par la matrice 𝑍 serait le morceau qui vaut moins sept multiplié par la matrice 𝑍. Et le moins sept multiplié par la matrice 𝐴 serait la première partie à droite, qui vaut moins sept multiplié par la matrice 𝐴. Donc, cela aurait été une autre façon de prouver que l’égalité était vraie.
