Vidéo de la leçon: Opérations sur les matrices | Nagwa Vidéo de la leçon: Opérations sur les matrices | Nagwa

Vidéo de la leçon: Opérations sur les matrices Mathématiques • Première année secondaire

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment combiner les opérations sur les matrices telles que l’addition, la soustraction, la multiplication par un scalaire et la transposition.

12:09

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment combiner les opérations sur les matrices telles que l’addition, la soustraction, la multiplication par un scalaire et la transposition. Nous allons commencer par rappeler comment effectuer chacune de ces opérations.

Si 𝐴 et 𝐵 sont des matrices du même ordre ou de la même dimension, on peut les additionner ou soustraire. Si on considère que 𝐴 et 𝐵 sont les matrices deux, deux indiquées, on peut simplement additionner ou soustraire les matrices en additionnant ou en soustrayant leurs composantes deux à deux. La matrice 𝐴 plus 𝐵 aura la même dimension, ça sera une matrice deux deux, et elle aura les quatre composantes suivantes. On peut calculer la matrice 𝐴 moins 𝐵 de la même manière en soustrayant les composantes deux à deux. Il est important de noter que la matrice 𝐴 plus la matrice 𝐵 est égale à la matrice 𝐵 plus la matrice 𝐴. Cependant, la matrice 𝐴 moins la matrice 𝐵 n’est généralement pas égale à la matrice 𝐵 moins la matrice 𝐴. Cela signifie que l’addition des matrices est commutative, tandis que la soustraction ne l’est pas. La matrice 𝐴 moins 𝐵 est en fait égale à la matrice 𝐵 moins 𝐴 multipliée par moins un.

Rappelons maintenant comment multiplier une matrice par un scalaire. Pour multiplier une matrice par un scalaire, on multiplie chaque élément ou composante par ce scalaire. On peut multiplier une matrice de n’importe quelle dimension par un scalaire. Considérons la matrice deux deux suivante. On peut multiplier cette matrice par le scalaire 𝑘. Cela nous donne la matrice deux deux suivante. Rappelons maintenant ce que l’on entend par transposée d’une matrice. La transposée d’une matrice est une opération qui permute les lignes et les colonnes. Lorsqu’on a affaire à une matrice carrée, on effectue juste la symétrie de la matrice par rapport à sa diagonale principale. La transposée d’une matrice est notée avec un exposant 𝑇. On l’écrit généralement en majuscules, mais on peut parfois aussi l’écrire avec un 𝑡 minuscule. Lorsqu’on écrit la transposée d’une matrice deux deux, les éléments des coins supérieur droit et inférieur gauche échangent simplement de position.

Considérons maintenant la matrice rectangulaire 𝐵 de dimension trois deux suivante. Elle contient les éléments 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧. Lorsqu’on permute les lignes et les colonnes, la transposée de 𝐵 est une matrice deux trois. Elle a deux lignes et trois colonnes avec les éléments 𝑢, 𝑤, 𝑦, 𝑣, 𝑥, 𝑧. La première ligne de la matrice 𝐵 est la première colonne de la transposée de 𝐵. De même, la première colonne de la matrice 𝐵 est la première ligne de la transposée de 𝐵. On peut résumer cela ainsi. La transposée d’une matrice de 𝑚 lignes et 𝑛 colonnes sera une matrice de 𝑛 lignes et 𝑚 colonnes. Dans ce cas, la matrice originale sera de dimension 𝑚,, tandis que sa transposée sera de dimension 𝑛,𝑚. Ceci est différent des opérations d’addition, de soustraction et de multiplication par un scalaire qui ne modifient pas les dimensions des matrices.

Nous allons maintenant voir quelques exemples dans lesquels nous devons effectuer plusieurs de ces opérations.

Si la matrice 𝐴 est égale à moins sept, cinq, moins quatre, moins deux ; la matrice 𝐵 est égale à un, zéro, sept, moins deux, calculez un tiers de 𝐴 plus 𝐵

Rappelons qu’on ne peut additionner deux matrices que si elles sont de même ordre. Dans le cas présent, les matrices 𝐴 et 𝐵 sont des matrices carrées d’ordre deux. Pour additionner deux matrices de mêmes dimensions, on additionne simplement les éléments correspondants. On commence par le coin supérieur gauche, moins sept plus un est égal à moins six. Cinq plus zéro est égal à cinq. Moins quatre plus sept égale trois. Et enfin, moins deux plus moins deux est égal à moins quatre. La matrice 𝐴 plus 𝐵 est égale à moins six, cinq, trois, moins quatre.

On nous demande de calculer un tiers de cela, nous devons donc multiplier la matrice par le scalaire un tiers. On peut faire cela en multipliant chacun des éléments par un tiers ou en les divisant par trois. Un tiers multiplié par moins six égale moins deux. Si on répète ce processus pour les autres éléments on obtient cinq tiers, un et moins quatre tiers. Si les matrices 𝐴 et 𝐵 sont égales à moins sept, cinq, moins quatre, moins deux et un, zéro, sept, moins deux, respectivement, alors un tiers de 𝐴 plus 𝐵 est égal à moins deux, cinq tiers, un, moins quatre tiers. Bien que nous ne démontrions pas cela dans cette vidéo, il est important de noter qu’un tiers multiplié par la matrice 𝐴 plus 𝐵 est égal à un tiers de la matrice 𝐴 plus un tiers de la matrice 𝐵.

Dans notre prochain exemple, nous allons calculer la transposée d’une matrice deux deux.

Quelle est la valeur de la différence entre la matrice six, moins quatre, moins trois, deux et la transposée de la matrice cinq, moins trois, moins quatre, un ? Est-ce (A) un, moins huit, moins six, un ; (B) 11 ; zéro, zéro, trois ; (C) 𝐼 ; ou (D) 𝑂 ?

Avant de commencer cette question, il convient de rappeler ce que représentent les options (C) et (D). 𝐼 est la matrice identité. C’est une matrice carrée avec des uns sur sa diagonale et des zéros ailleurs. La matrice identité deux deux est la matrice un, zéro, zéro, un. L’option (D) représente la matrice nulle. Tous ses éléments sont nuls. Par conséquent, la matrice nulle deux deux est la matrice zéro, zéro, zéro, zéro.

Notre question ici contient également la transposée. Pour calculer la transposée d’une matrice, on permute les lignes et les colonnes. Lorsqu’on a affaire à une matrice carrée deux deux, on effectue une symétrie de la matrice par rapport à sa diagonale principale. Dans cet exemple, les nombres moins trois et moins quatre échangeront de position. La transposée de la matrice cinq, moins trois, moins quatre, un est cinq, moins quatre, moins trois, un. Nous devons soustraire cela de la matrice six, moins quatre, moins trois, deux.

Nous rappelons que pour soustraire deux matrices, elles doivent avoir les mêmes dimensions, et on soustrait simplement les éléments correspondants. Six moins cinq est égal à un. Moins quatre moins moins quatre est équivalent à moins quatre plus quatre, qui est égal à zéro. De même, moins trois moins moins trois est égal à zéro. Et deux moins un est égal à un. La matrice six, moins quatre, moins trois, deux moins la transposée de la matrice cinq, moins trois, moins quatre, un est égal à un, zéro, zéro, un. Comme on l’a vu précédemment, il s’agit de la matrice identité. Par conséquent, la bonne réponse est l’option (C).

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer la matrice manquante dans une équation.

Si moins trois 𝑋 plus la matrice moins trois, zéro, neuf, 12 est égal à la matrice nulle, alors de vaut 𝑋 ? Est-ce (A) un, zéro, moins trois, moins quatre ; (B) moins un, zéro, trois, quatre ; (C) trois, zéro, moins neuf, moins 12 ; ou (D) moins trois, zéro, neuf, 12 ?

Nous rappelons que tous les éléments de la matrice nulle sont égaux à zéro. Par conséquent, la matrice nulle d’ordre deux est zéro, zéro, zéro, zéro. Il existe de nombreuses façons de résoudre ce problème. Nous pourrions diviser par trois ou moins trois. Cependant, dans cet exemple, nous allons définir 𝑋 comme la matrice deux deux composée des éléments 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Pour multiplier une matrice par un scalaire, on multiplie chaque élément par ce scalaire. Cela signifie que la matrice moins trois 𝑋 a pour éléments moins trois 𝑎, moins trois 𝑏, moins trois 𝑐, moins trois 𝑑. Si on additionne cela à la matrice moins trois, zéro, neuf, 12 on obtient la matrice nulle.

En identifiant les éléments des deux matrices, cela nous donne quatre équations du premier degré. Premièrement, moins trois 𝑎 plus moins trois est égal à zéro. On peut ajouter trois des deux côtés et on obtient moins trois 𝑎 est égal à trois. Lorsqu’on divise par moins trois, on obtient 𝑎 est égal à moins un. On passe ensuite au coin supérieur droit. Cela nous donne moins trois 𝑏 plus zéro est égal à zéro. Puisque moins trois 𝑏 est égal à zéro, si on divise les deux côtés par moins trois on obtient 𝑏 est égal à zéro. Nous pouvons répéter ce processus pour la ligne inférieure, ce qui nous donne trois et quatre comme valeurs de 𝑐 et 𝑑. La matrice 𝑋 est donc égale à moins un, zéro, trois, quatre. Nous pouvons donc conclure que la bonne réponse est la réponse (B).

Nous allons maintenant voir un dernier exemple qui fait intervenir des matrices rectangulaires.

Si la matrice 𝑋 est égale à moins trois, moins deux, un, cinq, moins huit, moins huit ;la matrice 𝑌 est égale à moins un, huit, moins neuf, moins neuf, sept, moins deux ; et la matrice 𝑍 est égale à trois, moins huit, moins sept, zéro, moins huit, cinq, calculez la matrice trois 𝑋 plus 𝑌 moins trois 𝑍

Nous rappelons que pour multiplier une matrice par un scalaire, on multiplie simplement chaque élément par ce scalaire. Cela signifie que la matrice trois 𝑋 est égale à moins neuf, moins six, trois, 15, moins 24, moins 24. De même, la matrice trois 𝑍 est égale à neuf, moins 24, moins 21, zéro, moins 24, 15. Nous devons additionner la matrice 𝑌 à trois 𝑋 puis soustraire trois 𝑍. On ne peut additionner et soustraire des matrices que lorsqu’elles ont les mêmes dimensions. Dans cette question, les trois matrices ont trois lignes et deux colonnes. Par conséquent, leur dimension est trois deux.

On doit maintenant additionner et soustraire les éléments correspondants. Moins neuf plus moins un égal moins 10. Et lorsqu’on soustrait neuf de cela on obtient moins 19. Dans le coin supérieur droit, on a moins six plus huit, qui est égal à deux. Et puis lorsqu’on soustrait moins 24 on obtient 26. Lorsqu’on répète ce processus pour les quatre autres éléments on obtient 15, six, sept et moins 41. Si 𝑋, 𝑌 et 𝑍 sont les matrices données, alors la matrice trois 𝑋 plus 𝑌 moins trois 𝑍 est égale à moins 19, 26, 15, six, sept, moins 41. Notez que cette matrice a les mêmes dimensions que nos matrices originales.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. L’addition et la soustraction des matrices ne sont définies qu’entre des matrices de mêmes dimensions. Cela signifie qu’on ne peut additionner ou soustraire des matrices que si elles sont de même taille. L’addition et la soustraction de matrices se font élément par élément. Cela signifie qu’on additionne ou soustrait les éléments correspondants. La multiplication d’une matrice par un scalaire se fait également élément par élément. On peut multiplier une matrice de n’importe quelle dimension par n’importe quel scalaire. Pour toute matrice 𝐴 de dimension 𝑚,, sa transposée est de dimension 𝑛,𝑚. Cela signifie qu’on peut transposer n’importe quelle matrice, qu’elle soit carrée ou rectangulaire. La transposée d’une matrice permute simplement les lignes et les colonnes. Lorsqu’on a affaire à une matrice carrée, on peut effectuer la symétrie de la matrice par rapport à sa diagonale principale.

Rejoindre Nagwa Classes

Assistez à des séances en direct sur Nagwa Classes pour stimuler votre apprentissage avec l’aide et les conseils d’un enseignant expert !

  • Séances interactives
  • Chat et messagerie électronique
  • Questions d’examen réalistes

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Apprenez-en plus à propos de notre Politique de confidentialité