Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à combiner les opérations d’addition, de soustraction, de multiplication par un scalaire et de transposition de matrices.
Commençons par rappeler la notation matricielle pratique pour définir les opérations de matrices. Si on désigne une suite de nombres par , pour des entiers et , alors désigne la matrice dont le coefficient de la ligne et de la colonne est défini par . Si la dimension de la matrice est claire dans le contexte, on peut omettre dans la notation et écrire .
Nous allons maintenant rappeler quelques opérations matricielles que nous allons utiliser dans cette fiche explicative avec cette notation. En commençant par le plus simple, deux matrices de même dimension peuvent être combinées avec deux des opérations mathématiques les plus connues : l’addition et la soustraction.
Définition : Addition et soustraction de matrices
On peut additionner ou soustraire deux matrices de même dimension en additionnant ou en soustrayant leurs coefficients correspondants. En d'autres termes, on pose et . Pour et , cela signifie alors que où et vérifient
On peut également multiplier une matrice par un scalaire, dont le fonctionnement est très similaire à la multiplication de nombres réels.
Définition : Multiplication de matrice par un scalaire
Pour un scalaire et une matrice, la multiplication d’une matrice par un scalaire est calculée en multipliant chaque coefficient de la matrice par le scalaire. En d'autres termes, on pose et un scalaire. Pour et un scalaire , cela signifie alors que où avec
Lorsque l’on combine l’addition, la soustraction et la multiplication par un scalaire de matrices, nous devons faire attention à respecter l’ordre correct des opérations. L’ordre des opérations matricielles est similaire à celui des opérations sur les nombres réels.
Comment effectuer dans l’ordre des opérations matricielles impliquant l’addition, la soustraction et la multiplication par un scalaire de matrices
Une combinaison d’opérations matricielles impliquant l’addition, la soustraction et la multiplication par un scalaire doit être calculée dans l’ordre suivant :
- Effectuer les opérations entre parenthèses.
- Calculer les multiplications par un scalaire.
- Calculer les additions.
- Calculer les soustractions.
On peut voir que l’ordre de ces opérations matricielles est similaire à celui des opérations des nombres réels, parfois appelé PEMDAS (Parenthèses, Exposants, Multiplication, Division, Addition, Soustraction). Les opérations répertoriées ci-dessus ne contiennent que des parenthèses, des multiplications, des additions et des soustractions.
Dans le premier exemple, nous allons combiner l’addition et la multiplication par un scalaire de matrices.
Exemple 1: Calculer la somme de deux matrices multipliée par un scalaire
Pour calculez .
Réponse
On rappelle que pour une combinaison d’opérations matricielles, nous devons d’abord calculer l’expression entre parenthèses. Pour calculer , nous devons donc commencer par la somme . On rappelle que l’on additionne deux matrices de même dimension en additionnant tous leurs coefficient correspondants. Les matrices et sont toutes les deux des matrices , ce qui signifie qu’elles sont de même dimension. Leur addition est donc définie et est
Maintenant que nous avons obtenu la matrice , nous pouvons la multiplier par le scalaire pour terminer notre calcul. On rappelle que l’on multiplie une matrice par un scalaire en multipliant chaque coefficient de la matrice par le scalaire. Cela nous donne
Par conséquent,
Étudions un autre exemple de combinaison d’addition, de soustraction et de multiplication par un scalaire en suivant le bon ordre des opérations.
Exemple 2: Appliquer des opérations matricielles impliquant la multiplication par un scalaire pour calculer une matrice inconnue
Pour quelle est la matrice ?
Réponse
Dans cet exemple, nous devons calculer une expression impliquant la multiplication par un scalaire, l’addition et la soustraction de matrices. On rappelle qu’une combinaison d’opérations matricielles impliquant l’addition, la soustraction et la multiplication par un scalaire doit être calculée dans l’ordre suivant :
- Effectuer les opérations entre parenthèses.
- Calculer les multiplications par un scalaire.
- Calculer les additions.
- Calculer les soustractions.
Comme l’expression de cet exemple ne contient pas de parenthèses, commençons par calculer les multiplications par les scalaires et . On rappelle que l’on multiplie une matrice par un scalaire en multipliant chaque coefficient de la matrice par le scalaire. Cela donne
Maintenant que nous avons calculé les multiplications par les scalaires, nous pouvons considérer les additions dans l’expression . L’addition de cette expression est . On rappelle que l’on peut additionner ou soustraire deux matrices de même dimension en additionnant ou soustrayant tous leurs coefficients correspondants. Les matrices et sont des matrices , ce qui signifie que leur addition est définie et est
On peut enfin terminer le calcul en effectuant la soustraction des matrices. Les matrices et sont toutes les deux de dimension . La soustraction est donc définie et est
Par conséquent,
Dans le prochain exemple, nous allons résoudre une équation matricielle pour trouver une matrice inconnue.
Exemple 3: Calculer une matrice inconnue dans une équation
Si , alors .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons trouver la matrice inconnue à partir de l’équation ci-dessus. On rappelle que 0, la matrice sur le membre droit de l’équation, est la matrice nulle de la dimension appropriée.
Le membre gauche de l’équation est une addition de deux matrices. On sait qu’on ne peut additionner que des matrices de même dimension et la deuxième matrice de l’addition est une matrice . Par conséquent, la matrice doit également être de dimension . La matrice est obtenue en multipliant la matrice par un scalaire. Comme la multiplication par un scalaire ne change pas la dimension d’une matrice, la matrice est également de dimension . On sait de plus que l’addition de deux matrices de même dimension donne une matrice de cette dimension. Cela signifie que la matrice nulle sur le membre droit de l’équation est une matrice .
On peut trouver la matrice inconnue avec deux méthodes différentes que nous allons présenter ci-dessous.
Méthode 1
On peut définir pour écrire
Sur le membre gauche de cette équation, il y a une multiplication par un scalaire et une addition de matrices. On rappelle que la multiplication par un scalaire doit être calculée avant l’addition, commençons donc par calculer . On multiplie une matrice par un scalaire en multipliant chaque coefficient de la matrice par le scalaire. Cela donne
Substituer cette expression dans l’équation donne
On calcule ensuite l’addition sur le membre gauche de cette équation. On rappelle que l’on peut additionner deux matrices de même dimension en additionnant tous leurs coefficients correspondants. On voit que les deux matrices sont de dimension donc leur addition est définie et est
Substituer cette expression dans le membre gauche de l’équation donne
On rappelle maintenant que deux matrices de même dimension sont égales si leurs coefficients correspondants sont égaux. Cela nous donne quatre équations :
On peut réarranger chaque équation pour obtenir
On a ainsi obtenu tous les coefficients de , ce qui signifie que
Méthode 2
Il est également possible de résoudre l’équation matricielle en effectuant des opérations matricielles directement sur l’équation de telle sorte que le membre gauche de l’équation soit égal à . On commence par l’équation
On souhaite isoler sur le membre gauche de l’équation. On soustrait la deuxième matrice aux deux membres de l’équation et on a
Soustraire une matrice à elle-même donne la matrice nulle. On peut considérer le membre droit de l’équation comme l’addition de la matrice nulle et de l’autre matrice multipliée par . La matrice nulle est l’élément neutre pour l’addition de matrices, ce qui signifie qu’ajouter la matrice nulle à une matrice ne change pas cette matrice. On peut donc écrire cette équation comme
On multiplie ensuite les deux membres de l’équation par le scalaire pour obtenir
On calcule enfin la multiplication par un scalaire du membre droit de l’équation :
Il s’agit de la réponse B.
Dans l’exemple précédent, nous avons résolu une équation matricielle impliquant l’addition, la soustraction et la multiplication par un scalaire. Ces trois opérations matricielles sont analogues aux opérations correspondantes des nombres réels. On observe que la deuxième méthode de résolution de cette équation matricielle est très similaire à la méthode de résolution d’une équation équivalente de nombres réels.
La transposition est un concept complètement dédié aux matrices qui n’existe pas pour les nombres réels, et nous pouvons combiner cette opération avec l’addition, la soustraction et la multiplication par un scalaire de matrices pour résoudre des problèmes impliquant uniquement des matrices.
Définition : Transposition de matrice
Si on transpose une matrice , on obtient une matrice . On obtient la transposée d’une matrice en écrivant les lignes de la matrice initiale dans les colonnes de la transposée. En utilisant la notation matricielle, on peut écrire
Mais où se situe la transposition dans l’ordre des opérations matricielles ? On peut observer que la transposition d’une matrice « ressemble » à un exposant. Bien que la transposition ne soit pas comparable à une puissance, elle s’intègre dans l’ordre des opérations matricielles de la même manière que les puissances dans les opérations des nombres réels. En rappelant PEMDAS, on voit que le terme « Exposants », à la même place que la transposition, se situe entre « Parenthèses » et « Multiplication ».
Comment effectuer dans l’ordre des opérations matricielles impliquant des additions, des soustractions, des multiplications par un scalaire et des transpositions
Une combinaison d’opérations matricielles impliquant l’addition, la soustraction, la multiplication par un scalaire et la transposition doit être calculée dans l’ordre suivant :
- Effectuer les opérations entre parenthèses.
- Effectuer les transpositions.
- Calculer les multiplications par un scalaire.
- Calculer les additions.
- Calculer les soustractions.
Dans l’exemple suivant, nous allons combiner la transposition et la soustraction de matrices.
Exemple 4: Combiner la transposition et la soustraction de matrices
- 0
Réponse
Dans cet exemple, nous devons calculer une soustraction et une transposition de matrices. On rappelle que la transposition doit être effectuée avant la soustraction. Commençons donc par trouver la transposée de la deuxième matrice du membre gauche de l’équation. On rappelle que l’on transpose une matrice en écrivant ses lignes dans les colonnes de sa transposée. Cela conduit à
Considérons ensuite la soustraction :
On rappelle que l’on peut soustraire deux matrices de même dimension en soustrayant tous leurs coefficients correspondants. Les deux matrices sont des matrices , ce qui signifie que leur soustraction est définie. En soustrayant les coefficients correspondants, on obtient
Cela complète le calcul du membre gauche. La matrice résultante est une matrice diagonale dont chaque coefficient diagonal est égal à 1. Cette matrice est la matrice identité et elle est notée .
Il s’agit de la réponse D.
Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer une matrice inconnue dans une équation impliquant l’addition et la transposition de matrices.
Exemple 5: Déterminer une matrice inconnue dans une équation
Déterminez la matrice de l’équation matricielle , où est la matrice identité de dimension et .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons calculer une matrice inconnue dans une équation. On peut effectuer des opérations matricielles directement sur l’équation pour trouver la matrice inconnue .
Commençons par calculer la transposée du membre gauche de l’équation. On rappelle que l’on transpose une matrice en écrivant ses lignes dans les colonnes de sa transposée. Cela donne
On calcule ensuite la matrice sur le membre droit de l’équation. Il est indiqué que est la matrice identité . On rappelle qu’une matrice identité est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont égaux à 1. Cela signifie que
On peut calculer la multiplication par un scalaire en multipliant chaque coefficient de la matrice par le scalaire 2. Cela nous donne
L’équation initiale devient alors
On ajoute ensuite la matrice aux deux membres de l’équation, ce qui donne
Soustraire une matrice à elle-même donne la matrice nulle, qui est l’élément neutre pour l’addition. Cela signifie que le membre gauche de l’équation ci-dessus est égal à .
Le membre droit de cette équation contient une addition de matrices. On rappelle que l’on peut additionner deux matrices de même dimension en additionnant tous leurs coefficients correspondants. Les deux matrices du membre droit de l’équation sont des matrices , donc leur addition est définie et est
Par conséquent
Dans les exemples précédents, nous avons vu comment combiner la transposition avec d’autres opérations matricielles, telles que l’addition, la soustraction et la multiplication par un scalaire. Rappelons quelques propriétés de la transposition qui peuvent être utiles pour combiner ces opérations.
Propriété : Distributivité de la transposition
Soient et des matrices de même dimension. Alors,
On sait que la multiplication de nombres réels est distributive par rapport à l’addition, c’est-à-dire
La transposition de matrices se comporte donc similairement à la multiplication car il s’agit d’une opération distributive.
On peut également combiner plusieurs transpositions. Cela signifie que l’on peut transposer une matrice deux fois. Rappelons le résultat suivant concernant les transpositions successives.
Propriété : Transposition successives
Soit une matrice. Alors
Cette propriété montre que transposer deux fois une matrice donne la matrice d’origine.
Dans l’exemple suivant, nous allons appliquer les propriétés de la transposition pour calculer une expression.
Exemple 6: Opérations sur les matrices impliquant la transposée d’une matrice
Sachant que calculez la valeur de .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons calculer la valeur de l’expression . On rappelle que la notation indique le coefficient de la ligne et de la colonne de la matrice . Nous devons donc calculer les coefficients et puis les additionner. Pour cela, nous devons d’abord calculer la matrice .
La matrice est égale à l’expression . On peut simplifier cette expression en appliquant les propriétés de la transposition. On rappelle d’abord que la transposition est distributive par rapport à la soustraction. Pour des matrices et de même dimension,
En appliquant cette propriété avec et , on obtient
On rappelle maintenant une autre propriété de la transposition. Pour toute matrice ,
Cela signifie que , ce qui donne
On a donc
Pour calculer la matrice , nous devons d’abord trouver la transposée , puis soustraire à cette matrice. On rappelle que l’on transpose une matrice en échangeant ses lignes et ses colonnes. Cela donne
Puis,
Nous devons ensuite effectuer la soustraction. On rappelle que l’on peut soustraire deux matrices de même dimension en soustrayant tous leurs coefficients correspondants. Les deux matrices du membre droit de l’équation sont des matrices donc leur soustraction est définie. On obtient alors
Par conséquent,
Le coefficient de cette matrice est situé dans la première ligne et la deuxième colonne, et le coefficient est situé dans la deuxième ligne et la première colonne. D’après la matrice ci-dessus, on a
D’où,
Dans le dernier exemple, nous allons combiner l’addition et la transposition de matrices.
Exemple 7: Combiner l’addition et la transposition de matrices
Complétez : si et sont deux matrices de même dimension, alors .
Réponse
Nous allons répondre à cette question en utilisant deux méthodes différentes. Avec la première méthode, nous allons trouver la réponse en effectuant les opérations matricielles nécessaires coefficient par coefficient pour déterminer le résultat. Avec la deuxième méthode, nous allons appliquer les propriétés de la transposition pour simplifier l’expression.
Méthode 1
On sait que l’exposant indique la transposition de la matrice donc cette expression combine l’addition et la transposition des matrices. On rappelle qu’une combinaison d’opérations matricielles impliquant l’addition, la soustraction, la multiplication par un scalaire et la transposition doit être calculée dans l’ordre suivant :
- Effectuer les opérations entre parenthèses.
- Effectuer les transpositions.
- Calculer les multiplications par un scalaire.
- Calculer les additions.
- Calculer les soustractions.
Dans cet exemple, l’expression est entre parenthèses, nous devons donc d’abord calculer cette expression. Cette expression est également une combinaison de transposition et d’addition. Nous devons donc :
- transposer les matrices et pour trouver et ;
- additionner les matrices transposées pour trouver ;
- transposer la somme résultante pour obtenir .
Commençons par rappeler la notation des matrices pratique pour effectuer des opérations matricielles. Si on désigne une suite de nombres par , pour des entiers et , alors désigne la matrice dont le coefficient de la ligne et de la colonne est défini par .
Comme les matrices et sont de même dimension, on dit qu’elles sont toutes les deux des matrices . On note donc
Commençons par transposer ces matrices. On sait que la transposée d’une matrice est la matrice obtenue en échangeant ses lignes et colonnes. Cela signifie que
Nous devons ensuite calculer la somme . On rappelle que l’on peut additionner deux matrices de même dimension en additionnant tous leurs coefficients correspondants. Les deux matrices et sont de dimension donc leur addition est définie et est
On peut enfin transposer cette matrice en échangeant ses lignes et ses colonnes :
Comme , on peut trouver en échangeant et , ce qui donne
Cela signifie que
On remarque alors que la matrice du membre droit de cette équation peut être obtenue en additionnant et . C’est-à-dire,
Par conséquent,
Méthode 2
On rappelle que la transposition est distributive par rapport à l’addition. Pour deux matrices quelconques et de même dimension,
Dans cet exemple, et . On sait que les matrices et sont de même dimension, par exemple . Comme indiqué dans la méthode précédente, les matrices transposées et sont toutes les deux de dimension , ce qui signifie qu’elles sont de même dimension. Par conséquent,
On rappelle ensuite que transposer une matrice deux fois donne la matrice d’origine. Cela signifie que
En substituant ces expressions dans l’équation ci-dessus, on peut écrire
Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Pour des matrices et et un scalaire , l’addition, la soustraction, la multiplication par un scalaire et la transposition de matrices sont définies comme suit :
- Une combinaison d’opérations matricielles impliquant l’addition, la soustraction, la multiplication par un scalaire et la transposition doit être calculée dans l’ordre suivant :
- Effectuer les opérations entre parenthèses.
- Effectuer les transpositions.
- Calculer les multiplications par un scalaire.
- Calculer les additions.
- Calculer les soustractions.
- Pour toutes matrices et de même dimension, les propriétés utiles de la transposition sont
