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Évaluer le taux de variation de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré moins trois 𝑥 plus deux à 𝑥 est égal à cinq.
Dans cette question, on nous donne une fonction 𝑓 de 𝑥 et on nous demande de trouver son taux de variation lorsque 𝑥 est égal à cinq. Nous rappelons que nous désignons le taux de variation d’une fonction 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égale 𝑎 comme 𝑓 prime évaluée en 𝑎. Cela est égal à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 le tout divisé par ℎ, si la limite existe.
Dans cette question, nous voulons trouver la dérivée lorsque 𝑥 est égal à cinq. Nous devons calculer 𝑓 prime de cinq, qui est égale à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de cinq plus ℎ moins 𝑓 de cinq le tout divisé par ℎ.
Nous commençons par trouver une expression pour 𝑓 de cinq plus ℎ. En substituant cinq plus ℎ à 𝑥, nous avons 𝑓 de cinq plus ℎ est égal à cinq plus ℎ au carré moins trois multiplié par cinq plus ℎ plus deux. En distribuant les parenthèses, cela se simplifie en 25 plus 10ℎ plus ℎ au carré moins 15 moins trois ℎ plus deux, ce qui équivaut à 12 plus sept ℎ plus ℎ au carré.
Ensuite, nous trouvons la valeur de 𝑓 de cinq. Cela équivaut à cinq au carré moins trois multiplié par cinq plus deux. Puis, 25 moins 15 plus deux est égal à 12. 𝑓 prime de cinq est donc égale à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 12 plus sept ℎ plus ℎ au carré moins 12 le tout divisé par ℎ. Les constantes au numérateur s’annulent. Puisque ℎ tend vers zéro mais n’est jamais vraiment égal à zéro, nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par ℎ. Il nous reste la limite lorsque ℎ tend vers zéro de sept plus ℎ.
Puisque nous avons maintenant un polynôme en fonction de ℎ, nous pouvons essayer d’utiliser la substitution directe. La substitution de ℎ est égal à zéro nous donne sept plus zéro, soit sept. Nous pouvons donc conclure que le taux de variation de 𝑓 de 𝑥 qui est égal à 𝑥 au carré moins trois 𝑥 plus deux en 𝑥 est égal à cinq est sept.
