Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer le taux de variation instantané d'une fonction en utilisant les dérivées, et à appliquer cette notion dans des problèmes de la vie courante.
On commence par rappeler la définition de la dérivée.
Définition : Dérivée d’une fonction
Soit une fonction , la dérivée de en est définie par
L’expression à l’intérieur de la limite dans la définition d’une dérivée est appelée le taux de variation. On examine de plus près la structure du taux de variation.
Par exemple, si la valeur de la fonction représente la température d’un steak sur un gril, où la valeur d’entrée représente le temps écoulé depuis le début de la cuisson du steak. On considère d’abord la signification du taux de variation lorsque . Dans ce cas, le numérateur du taux de variation représente la variation de la température du steak entre l’instant et l’instant . On note que la longueur de cet intervalle de temps est donnée par . Par conséquent, représente le taux de variation de la température du steak sur le gril sur l’intervalle de temps .
Si , alors . Dans ce cas, le taux de variation de la température du steak sur l’intervalle de temps est donné par
On note que c’est la même expression que lorsque . Par conséquent, pour tout , l’expression du quotient au-dessus donne le taux de variation de la température sur l’intervalle de temps entre et .
Quand on prend la limite quand tend vers zéro, on mesure le taux de variation sur un intervalle contenant de plus en plus court. Si cette limite existe, alors la limite représente symboliquement le taux de variation de la température sur un intervalle de longueur zéro contenant, , c’est-à-dire l’ensemble à un seul élément, . On appelle cette quantité le taux de variation instantané au point . On note que cette définition coïncide avec celle de la dérivée de la fonction.
Théorème : Taux de variation instantané d’une fonction
Soit une fonction , le taux de variation instantané de la fonction par rapport à la variable d’entrée en est donné par sa dérivée .
Remarque : le taux de variation instantané d’une fonction est également appelé taux de variation de la fonction en un point.
Considérons plusieurs exemples où nous utilisons des formules de différenciation pour calculer la dérivée d’une fonction et utilisons la dérivée pour déterminer le taux de variation instantané de la fonction en un point donné.
Exemple 1: Déterminer le taux de variation d’une fonction polynomiale en un point
Déterminez le taux de variation instantané de en .
Réponse
On rappelle que le taux de variation instantané d’une fonction en un point est égal à la dérivée de la fonction calculée en ce point. Par conséquent, le taux de variation instantané est donné en trouvant en .
En utilisant la formule de la dérivée d’une puissance, pour tout nombre réel , et la formule de la dérivée d’une constante , on peut calculer :
En remplaçant par , on obtient le taux de variation instantané de en qui est .
Considérons un autre exemple de taux de variation instantané où nous utilisons la formule de la dérivée d’une composée pour calculer la dérivée.
Exemple 2: Déterminer le taux de variation d’une fonction racine carrée en un point
Déterminez le taux de variation de en .
Réponse
On rappelle que le taux de variation instantané d’une fonction en un point est égal à la dérivée de la fonction calculée en ce point. Ainsi, le taux de variation instantané en ce point est donné par . On doit donc calculer la dérivée et la déterminer en pour trouver la réponse.
On rappelle la formule de la dérivée d’une composée pour deux fonctions dérivables et :
Pour cet exemple, on note que où et . On peut utiliser la formule de la dérivée d’une puissance pour calculer la dérivée de . Comme , on a
Pour , on a
En appliquant la formule de la dérivée d’une composée,
En , on obtient
Le taux de variation instantané de la fonction en est .
Étudions un autre exemple de taux de variation instantané où nous utilisons la formule de la dérivée d’un quotient pour obtenir la fonction dérivée.
Exemple 3: Dériver des fonctions rationnelles en un point à l’aide de la formule de la dérivée d’un quotient
Soit la fonction , déterminez son taux de variation en .
Réponse
On rappelle que le taux de variation d’une fonction en un point est égal à la dérivée de la fonction calculée en ce point. Par conséquent, le taux de variation instantané de cet exemple est donné par une fois que l’on a calculé la fonction dérivée .
Pour calculer la dérivée de , on doit appliquer la formule de la dérivée d’un quotient :
En appliquant la formule de la dérivée d’un quotient à la fonction donnée, on obtient
En déterminant la valeur de la fonction dérivée en ,
Donc, le taux de variation de en est .
Dans les exemples précédents, nous avons considéré le taux de variation instantané d’une fonction algébrique. Cependant, l’interprétation de la dérivée comme le taux de variation instantané est plus significative lorsqu’elle est appliquée à une fonction ayant une signification de la vie courante. Dans de tels contextes, nous devons faire attention à utiliser l’unité correcte pour le taux de variation instantané.
Par exemple, si on rappelle l’exemple précédent où représente la température d’un steak sur un gril à l’instant . On peut donner à l’unité de température Celsius, et à l’unité de temps, seconde. Donc, le numérateur du taux de variation est exprimé en Celsius. Quant au dénominateur du quotient, , il est exprimé en seconde. On peut donc voir que le taux de variation s’exprime en Celsius/seconde. En d’autres termes, ce taux de variation moyen mesure de combien de degrés Celsius la température du steak varie par seconde. On note que prendre la limite quand tend vers zéro ne change pas l’unité de l’expression. Par conséquent, l’unité du taux de variation instantané est le Celsius/seconde.
En général, l’unité du taux de variation instantané est donnée par
Dans le prochain exemple, nous allons étudier le taux de variation instantané d’une fonction biologique.
Exemple 4: Déterminer le taux de variation d’une fonction polynomiale représentant la biomasse d’une culture bactérienne à un instant donné
La biomasse d’une culture bactérienne en milligrammes en tant que fonction du temps, minutes, est donnée par . Quel est le taux de variation instantané de la culture quand ?
Réponse
On rappelle que le taux de variation instantané d’une fonction en un point est égal à la dérivée de la fonction calculée en ce point. Ainsi, le taux de variation instantané est donné par . On doit donc calculer la dérivée et trouver sa valeur en pour trouver la réponse.
On peut utiliser la formule de la dérivée d’une puissance, , pour calculer la dérivée de :
En déterminant la valeur de la fonction dérivée en , on obtient
On rappelle que l’unité du taux de variation instantané d’une fonction est
Dans cet exemple, la valeur de la fonction représente la biomasse d’une culture bactérienne en milligrammes, et la variable d’entrée représente le temps en minutes. Ainsi, l’unité du taux de variation est milligrammes par minute (mg/min).
Le taux de variation de la culture en est 852 mg/min.
Dans notre dernier exemple, nous allons déterminer le taux de variation instantané d’une fonction décrite dans un énoncé.
Exemple 5: Déterminer le taux de variation de l’aire d’un disque circulaire se rétrécissant
Un disque circulaire conserve sa forme quand il rétrécit. Quel est le taux de variation de son aire par rapport au rayon lorsque le rayon est 59 cm ?
Réponse
On rappelle que le taux de variation d’une fonction en un point est égal à la dérivée de la fonction calculée en ce point. Dans cet exemple, on cherche le taux de variation de l’aire d’un cercle par rapport à son rayon. Par conséquent, on doit commencer par définir la fonction représentant l’aire d’un cercle avec le rayon comme variable d’entrée. En utilisant la variable, , pour le rayon en centimètres, on désigne l’aire du cercle de rayon par . Donc,
Pour déterminer le taux de variation instantané, on doit déterminer la fonction dérivée. Comme est une constante, on peut obtenir la dérivée de en utilisant la formule de la dérivée d’une puissance, :
Comme on recherche le taux de variation lorsque le rayon est 59 cm, on détermine la valeur de en :
On rappelle que l’unité du taux de variation instantané est
Dans cet exemple, la valeur de la fonction est l’aire du cercle lorsque le rayon est mesuré en centimètres. Donc, s’exprime en centimètre carré (cm2). La variable d’entrée est le rayon, qui a l’unité centimètre (cm). Par conséquent, l’unité de est centimètre carré par centimètre (cm2/cm).
Le taux de variation de l’aire d’un cercle par rapport à son rayon lorsque le rayon est 59 cm est .
Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Soit une fonction , le taux de variation instantané de la fonction par rapport à la variable d’entrée en est donné par sa dérivée .
- Le taux de variation instantané d’une fonction est approché par son taux de variation sur un intervalle qui se réduit vers un seul point. Pour cette raison, ce terme est aussi appelé taux de variation en un point d’une fonction.
- Dans des problèmes d’application, l’unité du taux de variation instantané est donnée par
