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Vidéo de la leçon: Taux de variation et dérivées Mathématiques • Deuxième année secondaire

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer le taux de variation instantané d’une fonction à l’aide des dérivées et comment utiliser cette notion dans des problèmes du monde réel.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer le taux de variation instantané d’une fonction à l’aide des dérivées et comment utiliser cette notion dans des problèmes du monde réel. Nous allons considérer la pente de deux droites, une tangente et une droite sécante, avant d’établir la formule du taux de variation d’une fonction. Et nous allons voir comment utiliser cette formule à travers plusieurs exemples incluant des fonctions polynômes, des fonctions racines et des quotients.

Nous allons commencer cette leçon par rappeler quelques informations sur la tangente à une courbe. Disons que l’équation de la courbe soit 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. Nous cherchons la droite tangente à la courbe en un point 𝑃 dont les coordonnées sont 𝑎, 𝑓 de 𝑎. Nous considérons un point proche 𝑄, de coordonnées 𝑥, 𝑓 de 𝑥, où 𝑥 bien sûr est différent de 𝑎. Et nous allons déterminer la pente de la droite passant par 𝑃 et 𝑄. Pour calculer la pente, nous utilisons bien sûr la formule donnant la variation de 𝑦 divisée par la variation de 𝑥, c’est-à-dire 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un. En prenant les coordonnées de 𝑃 et 𝑄, nous trouvons que la pente de la droite est égale à 𝑓 de 𝑥 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑥 moins 𝑎.

Nous allons ensuite faire en sorte que le point 𝑄 se rapproche de 𝑃 le long de la courbe. Et pour cela, nous prenons une valeur de 𝑥 de proche de 𝑎. En faisant cela, la distance entre 𝑃 et 𝑄 devient de plus en plus petite. Et nous nous rapprochons de la pente de la tangente en 𝑃. Et nous arrivons à la première définition. La tangente à la courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 au point 𝑎, 𝑓 de 𝑎 est la droite passant par 𝑃 avec la pente 𝑚, donnée par la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑥 moins 𝑎, à condition que cette limite existe. Et cette définition nous conduit en fait directement à la seconde définition. Cette fois, nous allons appeler ℎ la différence entre 𝑥 et 𝑎. C’est à dire 𝑥 moins 𝑎. En ajoutant 𝑎 des deux côtés, nous obtenons que 𝑥 est égal à 𝑎 plus ℎ. Et la pente de la droite 𝑃𝑄 est maintenant 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 sur ℎ. Cette fois, lorsque 𝑥 tend vers 𝑎, ℎ tend vers zéro. Donc, la deuxième expression de la pente de la tangente à 𝑃 est maintenant la limite de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 le tout sur ℎ lorsque ℎ tend vers zéro.

Dans des situations réelles, on appelle cette pente le taux de variation. Cela correspond à la même chose que la pente. Voici donc la définition du taux de variation. Alors, en fait, on trouve assez souvent des limites de ce type lorsqu’on calcule des taux de variation, en particulier en sciences de l’ingénieur. Et on lui donne un nom spécifique. Le taux de variation est appelé la dérivée de la fonction 𝑓 en 𝑎 et on la note 𝑓 prime de 𝑎. Et c’est génial. Car en considérant ces définitions, on peut maintenant dire que la tangente à 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 au point 𝑎, 𝑓 de 𝑎 est la droite qui passe par ce point dont la pente est égale à 𝑓 prime de 𝑎, la dérivée de 𝑓 en 𝑎.

Alors maintenant, nous avons vu toutes ces définitions. Voyons comment nous pourrions appliquer cela à des problèmes de taux de variation et de dérivées.

Calculez le taux de variation de 𝑓 de 𝑥 égal sept 𝑥 au carré plus neuf en 𝑥 égal 𝑥 un.

Rappelons que la définition du taux de variation d’une fonction, ou de sa dérivée, en un point donné 𝑥 égal 𝑎 est la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 le tout sur ℎ. Dans cette question, 𝑓 de 𝑥 est égal à sept 𝑥 au carré plus neuf. Et nous cherchons le taux de variation en 𝑥 égal 𝑥 un. Nous allons donc prendre 𝑎 égal 𝑥 un. Ensuite, nous cherchons à calculer le taux de variation en 𝑥 un. Donc, c’est 𝑓 prime de 𝑥 un. C’est donc égal à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 un plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 un sur ℎ.

La tâche suivante consiste à remplacer 𝑥 un plus ℎ et 𝑥 un dans la fonction initiale. Donc 𝑓 de 𝑥 un plus ℎ est égal à sept fois 𝑥 un plus ℎ au carré plus neuf. Nous développons 𝑥 un plus ℎ le tout au carré. Et nous obtenons 𝑥 un carré plus deux 𝑥 un ℎ plus ℎ au carré. Et puis, nous développons à nouveau et nous obtenons sept 𝑥 un carré plus 14𝑥 un ℎ plus sept ℎ carré plus neuf. C’est plus simple pour 𝑓 de 𝑥 un. C’est simplement égal à sept 𝑥 un carré plus neuf. Remplaçons-les dans l’expression du taux de variation de la fonction en 𝑥 un.

C’est la limite qui est donnée ici . Et, bien sûr, nous pouvons développer les parenthèses. Et les deux derniers termes deviennent moins sept 𝑥 un carré moins neuf. Et c’est très bien parce que sept 𝑥 un carré moins sept 𝑥 un carré est égal à zéro et neuf moins neuf est aussi égal à zéro. Et 𝑓 prime de 𝑥 un est donc égal à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 14𝑥 un ℎ plus sept ℎ au carré sur ℎ. Nous ne sommes pas encore tout à fait prêts à utiliser la méthode de substitution directe. Mais nous pouvons diviser les deux termes au numérateur par ℎ. Et maintenant, le taux de variation est égal à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 14𝑥 un plus sept ℎ. Et maintenant, nous pouvons utiliser la méthode de substitution directe. Nous avons 14𝑥 un plus sept fois zéro, ce qui est bien sûr égal à 14𝑥 un. Le taux de variation de 𝑓 de 𝑥 égal sept 𝑥 au carré plus neuf en 𝑥 égal 𝑥 un est 14𝑥 un.

Dans cet exemple, nous avons obtenu une équation générale du taux de variation de la fonction. Nous pourrions l’utiliser pour calculer le taux de variation en un point particulier, pour une valeur donnée de 𝑥 un. Par exemple, disons que nous voulions calculer le taux de variation de la fonction au point 𝑥 égal deux. Nous prenons 𝑥 un égal deux. Et le taux de variation devient 14 fois deux, soit 28.

Nous allons maintenant regarder un exemple, où nous allons chercher à calculer le taux de variation en un point particulier.

Calculez le taux de variation de 𝑓 de 𝑥 égal racine carrée de six 𝑥 plus sept en 𝑥 égal trois.

Rappelons que la définition du taux de variation d’une fonction, ou de sa dérivée, en un point 𝑥 égal 𝑎 est égal à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 sur ℎ. Dans cette question, 𝑓 de 𝑥 est égal à racine carrée de six 𝑥 plus sept. Et nous cherchons à calculer le taux de variation en 𝑥 égal trois. Nous allons donc prendre 𝑎 égal trois. Le taux de variation est égal à la dérivée de la fonction calculée en 𝑥 égal trois. En utilisant la définition précédente, nous obtenons que c’est égal à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de trois plus ℎ moins 𝑓 de trois le tout sur ℎ.

Nous allons donc travailler avec 𝑓 de trois plus ℎ et 𝑓 de trois. Pour calculer 𝑓 de trois plus ℎ, il faut remplacer 𝑥 dans l’expression initiale de la fonction par trois plus ℎ. Donc, c’est égal à racine carrée de six fois trois plus ℎ plus sept. En développant les parenthèses, nous obtenons 18 plus six ℎ plus sept, ce qui se simplifie en six ℎ plus 25. Donc, 𝑓 de trois plus ℎ est égal à racine carrée de six ℎ plus 25. Nous faisons de même pour 𝑓 de trois. Cette fois, c’est égal à racine carrée de six fois trois plus sept, ce qui donne racine de 25 ou simplement cinq.

En remplaçant cela dans la définition initiale de 𝑓 prime de trois, nous obtenons la limite lorsque ℎ tend vers zéro de racine carrée de six ℎ plus 25 moins cinq sur ℎ. Alors, nous ne sommes pas tout à fait prêts à utiliser la méthode de substitution directe. Si nous le faisions, nous diviserions par zéro et nous savons que ce n’est pas défini. Donc, au lieu de cela, nous allons devoir trouver une autre méthode pour calculer la limite de cette expression. Nous commençons par écrire racine carrée de six ℎ plus 25 comme six ℎ plus 25 puissance un demi. Nous allons ensuite multiplier le numérateur et le dénominateur de la limite par le conjugué du numérateur. Donc, cela fait six ℎ plus 25 puissance un demi plus cinq.

Développons le numérateur. Nous commençons par multiplier le premier terme de chaque expression. Maintenant, six ℎ plus 25 puissance un et demie. Alors c’est simplement six ℎ plus 25. Nous multiplions six ℎ plus 25 puissance un demi par cinq. Et puis, nous multiplions moins cinq par six ℎ plus 25 puissance un demi. Et nous obtenons cinq fois six ℎ plus 25 puissance un demi moins cinq fois six ℎ plus 25 puissance un demi, ce qui est, bien sûr, égal à zéro. Enfin, nous multiplions moins cinq par cinq et nous obtenons moins 25. Pour l’instant, nous allons laisser le dénominateur comme cela. Faisons un peu de place pour l’étape suivante.

Nous avons vu que 25 moins 25 est égal à zéro. Donc, le numérateur devient six ℎ. Et puis, nous voyons que nous pouvons simplifier en divisant par ℎ. Et en fait, nous pouvons maintenant utiliser la méthode de substitution directe. Nous allons remplacer ℎ par zéro dans la limite. Ensuite, le dénominateur devient six fois zéro plus 25 puissance un demi, soit 25 puissance un demi. Alors, 25 puissance un demi est égal à racine carrée de 25, ce qui est égal à cinq. Donc, 𝑓 prime de trois est égal à six sur cinq plus cinq, ce qui est bien sûr égal à six dixièmes. Cela se simplifie en trois cinquièmes. Le taux de variation de la fonction en 𝑥 égal trois est donc trois cinquièmes.

Nous avons maintenant vu comment cette méthode peut fonctionner pour les fonctions linéaires et les fonctions avec des racines. Ensuite, nous allons voir comment utiliser le taux de variation sur un exemple avec un quotient.

Si la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à cinq 𝑥 plus sept sur quatre 𝑥 plus deux, déterminez son taux de variation lorsque 𝑥 égal deux.

Rappelons la définition du taux de variation, ou de la dérivée, d’une fonction. C’est la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 sur ℎ en supposant que cette limite existe. Dans cette question, 𝑓 de 𝑥 est égal à cinq 𝑥 plus sept sur quatre 𝑥 plus deux. Et nous voulons calculer le taux de variation lorsque 𝑥 égal deux. Nous allons donc prendre 𝑎 égal deux. Nous devons donc calculer 𝑓 prime de deux, le taux de variation ou la dérivée de la fonction, lorsque 𝑥 égal deux.

Selon la définition, c’est la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de deux plus ℎ moins 𝑓 de deux sur ℎ. Calculons 𝑓 de deux plus ℎ et 𝑓 de deux. Pour calculer 𝑓 de deux plus ℎ, il faut remplacer 𝑥 dans la fonction initiale par deux plus ℎ. Et nous obtenons cinq fois deux plus ℎ plus sept sur quatre fois deux plus ℎ plus deux. Et en développant les parenthèses et en simplifiant, nous obtenons 17 plus cinq ℎ sur 10 plus quatre ℎ. De même, 𝑓 de deux est égale à cinq fois deux plus sept sur quatre fois deux plus deux, soit 17 dixièmes. Et nous voyons maintenant que 𝑓 prime de deux est égal à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de la différence entre ces termes sur ℎ.

Il y a deux fractions au numérateur. Nous allons donc simplifier en les mettant au même dénominateur. Nous allons multiplier le numérateur et le dénominateur de la première fraction du numérateur par 10 et de la deuxième fraction du numérateur par 10 plus quatre ℎ. Et en faisant cela, nous obtenons ce numérateur. Alors, cela n’a pas beaucoup de sens. Mais en réalité, diviser cette fraction entière par ℎ revient à la multiplier par un sur ℎ. Nous réécrivons donc le dénominateur comme ℎ fois 100 plus 40ℎ. Et puis, nous simplifions un numérateur en moins 18ℎ. Et vous pouvez maintenant voir que nous pouvons simplifier davantage en divisant par ℎ.

Et nous sommes maintenant prêts à utiliser la méthode de substitution directe. En remplaçant ℎ par zéro, nous obtenons que 𝑓 prime de deux est égal à moins 18 sur 100, ce qui se simplifie en moins neuf sur 50. Le taux de variation de la fonction 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 égal deux est égal à moins neuf sur 50.

Dans le dernier exemple, nous allons considérer les applications réelles du taux de variation et des dérivées.

Un disque conserve sa forme lorsqu’il se rétrécit. Quel est le taux de variation de son aire par rapport à son rayon lorsque le rayon est de 59 centimètres ?

Commençons par rappeler la formule permettant de calculer le taux de variation d’une fonction en un point donné lorsque 𝑥 égal 𝑎. C’est 𝑓 prime de 𝑎 égale la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 sur ℎ, où 𝑓 prime est la dérivée de la fonction. Mais on dirait que nous n’avons pas de fonction ici. Voyons donc ce que nous savons de l’aire d’un cercle. L’aire est donnée par la formule 𝐴 égal 𝜋𝑟 au carré. Nous pouvons l’écrire 𝐴 de 𝑟. 𝐴 est une fonction de 𝑟. Cela signifie que le taux de variation de 𝐴 par rapport à 𝑟 est la dérivée de 𝐴 par rapport à 𝑟.

Alors, nous cherchons à déterminer le taux de variation lorsque le rayon est égal à 59. Nous allons donc prendre 𝐴 égal 59. Nous voulons calculer 𝐴 prime de 59. Et par définition, cela doit être égal à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝐴 de 59 plus ℎ moins 𝐴 de 59 le tout sur ℎ. Voyons les valeurs de 𝐴 de 59 plus ℎ et 𝐴 de 59. 𝐴 de 𝑟 est égal à 𝜋𝑟 au carré. Donc, 𝐴 de 59 plus ℎ est égal à 𝜋 fois 59 plus ℎ au carré. Nous développons les parenthèses. Et nous obtenons 𝜋 fois 3481 plus 118ℎ plus ℎ au carré. De même, 𝐴 de 59 est égal à 𝜋 fois 59 au carré, soit 3481𝜋. Nous pouvons remplacer 𝐴 de 59 plus ℎ et 𝐴 de 59 par ces deux expressions dans la définition de la dérivée. Et lorsque nous factorisons par 𝜋, nous obtenons que le numérateur est égal à 𝜋 fois 3481 plus 118ℎ plus ℎ au carré moins 3481. Alors, bien sûr, cela nous donne zéro.

Nous cherchons donc la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝜋 fois 118ℎ plus ℎ au carré sur ℎ. Et vous remarquerez peut-être que nous pourrions en fait diviser par ℎ. Et la dérivée est maintenant la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝜋 fois 118 plus ℎ. Nous sommes maintenant prêts à utiliser la méthode de substitution directe. Nous prenons ℎ égal à zéro. Et en faisant cela, nous obtenons que 𝐴 prime de 59 est égal à 118𝜋. Le taux de variation de l’aire du disque circulaire par rapport à son rayon est de 118𝜋 centimètres carrés par centimètre. Alors, vous pourriez penser que le résultat doit être négatif. On nous dit que le disque rétrécit. Cependant, c’est un peu un piège. L’aire varie dans la même direction, positive ou négative, que le rayon. Donc, en fait, le taux de variation est bien positif.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons utiliser la formule de la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 sur ℎ pour calculer le taux de variation d’une fonction 𝑓 de 𝑥 au point où 𝑥 égal 𝑎 à condition que cette limite existe. Nous avons vu que cette limite est souvent appelée la dérivée de la fonction 𝑓 et que nous pouvons utiliser cette formule pour trouver la forme générale et une solution particulière connaissant une valeur de 𝑥. Mais il faut examiner avec attention la nature de la fonction dans le cas d’exemples en contexte réel.

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