Vidéo : Taux de variation et dérivées

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver le taux de variation instantané d’une fonction à l’aide de dérivées et à l’appliquer dans des problèmes du monde réel.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver le taux de variation instantané d’une fonction à l’aide de dérivées et à l’appliquer à des problèmes du monde réel. Nous allons regarder la pente des droites sécantes et tangentes avant de définir une formule pour le taux de variation d’une fonction. Et nous verrons l’application de cette formule à une variété d’exemples, y compris ceux impliquant des polynômes, des fonctions impliquant des racines et des quotients.

Nous allons commencer cette leçon en rappelant quelques informations sur la tangente à une courbe. Imaginons que cette courbe ait l’équation 𝑦 est égale à 𝑓 de 𝑥. Et nous voulons trouver la tangente à notre courbe en un certain point 𝑃, donné par la paire d’ordre 𝑎, 𝑓 de 𝑎. Nous considérons un point proche 𝑄, donné par la paire ordonnée 𝑥, 𝑓 de 𝑥, où 𝑥 n’est bien sûr pas égal à 𝑎. Et nous trouvons la pente de la droite sécante joignant 𝑃 à 𝑄. Nous trouvons la pente, bien sûr, en utilisant la formule changement de 𝑦 divisé par le changement de 𝑥 ou 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un. En prenant les coordonnées de 𝑃 et 𝑄, nous trouvons que la pente de notre droite sécante est 𝑓 de 𝑥 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑥 moins 𝑎.

Nous allons ensuite laisser 𝑄 approcher 𝑃 le long de la courbe. Et nous le faisons en laissant la valeur de 𝑥 approcher 𝑎. Comme nous le faisons, la distance entre 𝑃 et 𝑄 devient de plus en plus petite. Et nous approchons de la pente de la tangente en 𝑃. Et nous arrivons à notre première définition. La tangente à la courbe 𝑦 est égale à 𝑓 de 𝑥 au point 𝑎, 𝑓 de 𝑎 est la droite passant par 𝑃 avec la pente 𝑚, donnée par la limite à mesure que 𝑥 approche 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑥 moins 𝑎, à condition que cette limite existe. Et cette définition nous conduit en fait directement dans une seconde. Cette fois, on laisse ℎ égal à la différence entre 𝑥 et 𝑎. C’est 𝑥 moins 𝑎. En ajoutant 𝑎 des deux côtés, nous trouvons que 𝑥 est égal à 𝑎 plus ℎ. Et la pente de notre droite sécante 𝑃𝑄 est maintenant 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 sur ℎ. Cette fois, lorsque 𝑥 approche 𝑎, ℎ approche zéro. Ainsi, notre deuxième expression de la pente de la droite tangente à 𝑃 est maintenant la limite lorsque ℎ se rapproche de zéro de 𝑓 de 𝑎, plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 le tout sur ℎ.

Lorsque nous trouvons une pente dans des situations réelles, nous l’appelons le taux de variation. Cela signifie essentiellement la même chose que la pente. Nous avons donc la définition du taux de variation. Or, en fait, des limites de cette forme apparaissent régulièrement lorsque nous calculons le taux de variation, en particulier dans les sciences de l’ingénieur. Et nous lui donnons donc un nom spécial. Nous l’appelons la dérivée de la fonction 𝑓 en 𝑎 et nous la notons 𝑓 prime de 𝑎. Et c’est super. Parce qu’en considérant ces définitions, on peut maintenant dire que la tangente à 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 au point 𝑎 𝑓 de 𝑎 est la droite qui passe par ce point dont la pente est égale à 𝑓 prime de 𝑎, la dérivée de 𝑓 à 𝑎.

Alors maintenant, nous avons toutes ces définitions. Voyons comment nous pourrions les appliquer au taux de variation et aux problèmes dérivées.

Évaluer le taux de variation de 𝑓 de 𝑥 est égal à sept 𝑥 au carré plus neuf à 𝑥 est égal à 𝑥 un.

Rappelez-vous que la définition du taux de variation d’une fonction ou de sa dérivée à un certain point 𝑥 est égal à 𝑎 est la limite lorsque ℎ approche le zéro de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 le tout sur ℎ. Dans cette question, 𝑓 de 𝑥 est égal à sept 𝑥 au carré plus neuf. Et nous cherchons à trouver le taux de variation à 𝑥 égal à 𝑥 un. Nous allons donc poser 𝑎 égal à 𝑥 un. Ensuite, nous voulons trouver le taux de variation à 𝑥 un. C’est donc 𝑓 prime de 𝑥 un. C’est donc égal à la limite lorsque ℎ s’approche du zéro de 𝑓 de 𝑥 un plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 un le tout sur ℎ.

Notre prochain travail consiste à remplacer 𝑥 un plus ℎ et 𝑥 un dans notre fonction d’origine. Donc, 𝑓 de 𝑥 un plus ℎ est sept fois 𝑥 un plus ℎ au carré plus neuf. Nous distribuons 𝑥 un plus ℎ le tout au carré. Et nous obtenons 𝑥 un carré plus deux 𝑥 un ℎ plus ℎ au carré. Et puis, nous distribuons à nouveau et nous obtenons sept 𝑥 un carré plus 14𝑥 un ℎ plus sept ℎ au carré plus neuf. 𝑓 de 𝑥 un est un peu plus simple. C’est simplement sept 𝑥 un carré plus neuf. Remplaçons ces derniers dans notre expression pour le taux de variation de notre fonction à 𝑥 un.

C’est la limite indiquée. Et, bien sûr, nous pouvons distribuer les parenthèses. Et nos deux derniers termes deviennent négatifs sept 𝑥 un carré moins neuf. Et c’est très bien parce que sept 𝑥 un carré moins sept 𝑥 un carré est zéro et neuf moins neuf est également zéro. Et 𝑓 prime de 𝑥 un est, par conséquent, la limite lorsque ℎ s’approche du zéro de 14𝑥 un ℎ plus sept ℎ au carré sur ℎ. Nous ne sommes pas encore tout à fait prêts à effectuer une substitution directe. Mais nous pouvons diviser nos deux termes sur le numérateur par ℎ. Et maintenant, le taux de variation est la limite lorsque ℎ s’approche du zéro de 14𝑥 un plus sept ℎ. Et maintenant, nous pouvons effectuer une substitution directe. C’est 14𝑥 un plus sept fois zéro, ce qui n’est bien sûr que 14𝑥 un. Le taux de variation de 𝑓 de 𝑥 est égal à sept 𝑥 au carré plus neuf à 𝑥 est égal à 𝑥 un est de 14𝑥 un.

Dans cet exemple, nous avons fini par trouver une équation générale pour le taux de variation de la fonction. Nous pourrions l’utiliser pour trouver le taux de variation particulier à tout moment, étant donné une valeur pour 𝑥 un. Par exemple, supposons que nous voulions trouver le taux de variation de la fonction au point où 𝑥 est égal à deux. On laisse 𝑥 un égal à deux. Et le taux de variation devient 14 fois deux, soit 28.

Nous allons maintenant regarder un exemple, où nous cherchons à trouver le taux de variation en un point spécifique.

Évaluer le taux de variation de 𝑓 de 𝑥 est égal à la racine carrée de six 𝑥 plus sept à 𝑥 est égal à trois.

Rappelez-vous que la définition du taux de variation d’une fonction ou de sa dérivée en un point 𝑥 égal à 𝑎 est la limite lorsque ℎ approche le zéro de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 sur ℎ. Dans cette question, 𝑓 de 𝑥 est égal à la racine carrée de six 𝑥 plus sept. Et nous cherchons à trouver le taux de variation à 𝑥 égal à trois. Nous allons donc poser 𝑎 égal à trois. Le taux de variation est la dérivée de notre fonction évaluée à 𝑥 est égal à trois. En utilisant notre définition antérieure, nous voyons que c’est la limite lorsque ℎ s’approche de zéro de 𝑓 de trois plus ℎ moins 𝑓 de trois le tout sur ℎ.

Notre travail va être de calculer 𝑓 de trois plus ℎ et 𝑓 de trois. Pour trouver 𝑓 de trois plus ℎ, nous remplaçons 𝑥 dans notre expression originale pour la fonction par trois plus ℎ. C’est donc la racine carrée de six fois trois plus ℎ plus sept. En répartissant les parenthèses, nous obtenons 18 plus six ℎ plus sept, ce qui se simplifie en six ℎ plus 25. Donc, 𝑓 de trois plus ℎ est la racine carrée de six ℎ plus 25. Nous répétons ce processus pour 𝑓 de trois. Cette fois, c’est la racine carrée de six fois trois plus sept, qui est la racine 25 ou simplement cinq.

En substituant cela dans notre définition originale de 𝑓 prime de trois, nous constatons qu’il est maintenant égal à la limite lorsque ℎ approche le zéro de la racine carrée de six ℎ plus 25 moins cinq sur ℎ. Eh bien, nous ne sommes pas tout à fait prêts à effectuer une substitution directe. Si nous le faisions, nous diviserions par zéro, ce que nous savons indéfini. Au lieu de cela, nous allons devoir faire quelque chose d’un peu intelligent pour manipuler notre expression. Nous commençons par écrire la racine carrée de six ℎ plus 25 comme six ℎ plus 25 à la puissance d’un demi. Nous allons ensuite multiplier le numérateur et le dénominateur de notre limite par le conjugué du numérateur. Donc, c’est six ℎ plus 25 à la puissance d’un demi plus cinq.

Distribuons le numérateur. Nous commençons par multiplier le premier terme de chaque expression. Maintenant, six ℎ plus 25 à la puissance d’une fois et demie. Eh bien, c’est tout simplement six ℎ plus 25. Nous multiplions six ℎ plus 25 à la puissance un demi par cinq. Et puis, nous multiplions le moins cinq par six ℎ plus 25 à la puissance un demi. Et nous nous retrouvons avec cinq fois six ℎ plus 25 à la puissance un demi moins cinq fois six ℎ plus 25 à la puissance un demi, ce qui est, bien sûr, zéro. Enfin, nous multiplions le moins cinq par cinq et nous obtenons le moins 25. Pour l’instant, nous allons laisser le dénominateur comme indiqué. Laissez de l’espace pour la prochaine étape.

Nous avons remarqué que 25 moins 25 est zéro. Notre numérateur devient donc six ℎ. Et puis, nous remarquons que nous pouvons simplifier en divisant par ℎ. Et en fait, nous sommes maintenant prêts à effectuer une substitution directe. Nous allons remplacer ℎ dans notre limite par zéro. Ensuite, notre dénominateur devient six fois zéro plus 25 à la puissance la moitié ou 25 à la puissance un demi. Eh bien, 25 à la puissance un demi est la racine carrée de 25, qui est cinq. Donc 𝑓 prime de trois est six sur cinq plus cinq, ce qui est, bien sûr, six dixièmes. Cela simplifie aux trois cinquièmes. Le taux de variation de notre fonction à 𝑥 est égal à trois est donc de trois cinquièmes.

Nous avons maintenant vu comment ce processus peut fonctionner pour les fonctions linéaires et celles impliquant des racines. Ensuite, nous verrons comment utiliser la fonction de taux de variation sur un exemple qui implique un quotient.

Si la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à cinq 𝑥 plus sept sur quatre 𝑥 plus deux, déterminez son taux de variation lorsque 𝑥 est égal à deux.

Nous rappelons la définition du taux de variation de la fonction ou de sa dérivée. C’est la limite lorsque ℎ s’approche de zéro de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 sur ℎ en supposant que cette limite existe. Dans cette question, 𝑓 de 𝑥 est égal à cinq 𝑥 plus sept sur quatre 𝑥 plus deux. Et nous voulons trouver le taux de variation lorsque 𝑥 est égal à deux. Nous allons donc poser 𝑎 égal à deux. Nous devons donc évaluer 𝑓 prime de deux, le taux de variation ou la dérivée de notre fonction, lorsque 𝑥 est égal à deux.

Selon notre définition, c’est la limite lorsque ℎ s’approche du zéro de 𝑓 de deux plus ℎ moins 𝑓 de deux sur ℎ. Essayons 𝑓 de deux plus ℎ et 𝑓 de deux. Pour trouver 𝑓 de deux plus ℎ, nous remplaçons chaque instance de 𝑥 dans notre fonction d’origine par deux plus ℎ. Et nous obtenons cinq fois deux plus ℎ plus sept plus quatre fois deux plus ℎ plus deux. Et lorsque nous distribuons nos parenthèses et simplifions, nous obtenons 17 plus cinq ℎ sur 10 plus quatre ℎ. De même, 𝑓 de deux est cinq fois deux plus sept sur quatre fois deux plus deux, ce qui fait 17 dixièmes. Et nous voyons maintenant que 𝑓 prime de deux est la limite lorsque ℎ s’approche de zéro de la différence entre ces deux le tout sur ℎ.

Il y a deux fractions dans notre numérateur. Nous allons donc simplifier en y créant un dénominateur commun. Nous multiplierons le numérateur et le dénominateur de la première fraction du numérateur par 10 et la deuxième fraction de notre numérateur par 10 plus quatre ℎ. Et quand nous le faisons, nous atteignons le numérateur indiqué. Eh bien, cela n’a pas beaucoup de sens. Mais en réalité, la division de cette fraction entière par ℎ équivaut à la multiplier par un sur ℎ. Nous réécrivons donc notre dénominateur comme ℎ fois 100 plus 40ℎ. Et puis, nous simplifions un numérateur en moins 18ℎ. Et vous pourriez maintenant voir que nous pouvons simplifier davantage en divisant par ℎ.

Et nous sommes maintenant prêts à effectuer une substitution directe. En remplaçant ℎ par zéro, nous constatons que 𝑓 prime de deux est négatif 18 sur 100, ce qui se simplifie en moins neuf sur 50. Le taux de variation de notre fonction 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 est égal à deux est moins neuf sur 50.

Dans notre dernier exemple, nous allons considérer les applications réelles du taux de variation et de la dérivée.

Le disque circulaire conserve sa forme en se rétrécissant. Quel est le taux de variation de sa surface par rapport au rayon lorsque le rayon est de 59 centimètres ?

Nous commençons par rappeler la formule qui nous permet de calculer le taux de variation d’une fonction en un point donné lorsque 𝑥 est égal à 𝑎. C’est 𝑓 prime de 𝑎 est égal à la limite lorsque ℎ approche le zéro de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 sur ℎ, où 𝑓 prime est la dérivée de la fonction. Mais nous ne semblons pas avoir de fonction ici. Examinons donc ce que nous savons sur l’aire d’un cercle. Elle est donnée par la formule 𝐴 égale 𝜋𝑟 au carré. Nous pourrions l’écrire comme 𝐴 de 𝑟. 𝐴 est une fonction de 𝑟. Cela signifie que le taux de variation de 𝐴 par rapport à 𝑟 est la dérivée de 𝐴 par rapport à 𝑟.

Maintenant, nous essayons de trouver le taux de variation lorsque le rayon est égal à 59. Nous allons donc poser 𝐴 égal à 59. Nous voulons trouver 𝐴 prime de 59. Et par définition, cela doit être égal à la limite lorsque ℎ s’approche du zéro de 𝐴 de 59 plus ℎ moins 𝐴 de 59 le tout sur ℎ. Voyons ce que sont les 𝐴 de 59 plus ℎ et 𝐴 de 59. 𝐴 de 𝑟 est 𝜋𝑟 au carré. Donc 𝐴 de 59 plus ℎ est 𝜋 fois 59 plus ℎ au carré. Nous distribuons nos parenthèses. Et nous voyons que cela est égal à 𝜋 fois 3481 plus 118ℎ plus ℎ au carré. De même, 𝐴 sur 59 est 𝜋 fois 59 au carré, ce qui fait 3481𝜋. Nous pouvons remplacer 𝐴 de 59 plus ℎ et 𝐴 de 59 par ces deux expressions dans notre définition de la dérivée. Et lorsque nous factorisons par 𝜋, nous voyons que le numérateur est 𝜋 fois 3481 plus 118ℎ plus ℎ au carré moins 3481. Maintenant, bien sûr, cela nous donne zéro.

Nous recherchons donc la limite lorsque ℎ s’approche du zéro de 𝜋 fois 118ℎ plus ℎ au carré le tout sur ℎ. Et vous remarquerez peut-être que nous pouvons réellement diviser par ℎ. Et notre dérivée est maintenant la limite lorsque ℎ approche zéro de 𝜋 fois 118 plus ℎ. Nous sommes maintenant prêts à effectuer une substitution directe. Soit ℎ égal à zéro. Et quand nous le faisons, nous constatons que 𝐴 prime de 59 est égal à 118𝜋. Le taux de variation de l’aire du disque circulaire par rapport à son rayon est de 118𝜋 centimètres au carré par centimètre. Maintenant, vous pourriez être enclin à penser que la réponse devrait être négative. On nous dit que le disque circulaire rétrécit. Cependant, c’est un peu une astuce. L’aire change dans la même direction positive ou négative que le rayon. Donc, en fait, c’est en effet un taux de variation positif.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons utiliser la formule de la limite lorsque ℎ s’approche du zéro de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 sur ℎ pour trouver le taux de variation d’une fonction 𝑓 de 𝑥 au point où 𝑥 est égal à 𝑎 à condition que cette limite existe. Nous avons vu que nous appelons souvent cela la dérivée de la fonction 𝑓 et que nous pouvons utiliser cette formule pour trouver la forme générale et une solution particulière étant donné une valeur de 𝑥. Mais que nous devons examiner attentivement la nature de la fonction lorsque nous pensons à des exemples contextuels.

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