Transcription de la vidéo
Une particule se déplace du point 𝐴 moins sept, moins un au point 𝐵 moins quatre, six le long d’une trajectoire rectiligne sous l’action de la force 𝐅 égale à 𝑎𝐢 plus 𝑏𝐣. Durant cette phase du mouvement, le travail effectué par la force est de 106 unités de travail. La particule est ensuite passée de 𝐵 à un autre point 𝐶 moins huit, moins trois sous l’effet de la même force. Au cours de cette étape du mouvement, le travail effectué par la force était de moins 138 unités de travail. Déterminez les deux constantes 𝑎 et 𝑏.
Nous commençons par rappeler que nous pouvons calculer le travail effectué par une force en utilisant le produit scalaire. Nous devons calculer le produit scalaire du vecteur de force 𝐅 et du vecteur de déplacement 𝐝. Dans cette question, on nous dit que 𝐅 est égal à 𝑎𝐢 plus 𝑏𝐣. Et c’est la valeur de ces constantes 𝑎 et 𝑏 que nous devons calculer.
Deux étapes du mouvement sont décrites dans cette question. Premièrement, la particule se déplace du point 𝐴 au point 𝐵. Et pendant cette étape, le travail effectué est de 106 unités de travail. On nous dit alors que la particule se déplace du point 𝐵 au point 𝐶. Et pendant cette étape du mouvement, le travail effectué est de moins 138 unités de travail. Le déplacement pendant la première étape du mouvement est le vecteur 𝐀𝐁. Et nous pouvons calculer cela en soustrayant le vecteur de position du point 𝐴 du vecteur de position du point 𝐵. Nous avons moins quatre 𝐢 plus six 𝐣 moins moins sept 𝐢 moins 𝐣. Moins quatre moins moins sept est égal à trois, et six moins moins un est sept. Par conséquent, le vecteur 𝐀𝐁 est égal à trois 𝐢 plus sept 𝐣.
Nous avons un vecteur de force 𝐅 et un vecteur de déplacement 𝐝 pour la première étape du mouvement. Et nous savons que le produit scalaire de ces deux vecteurs est égal à 106. Puisque le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de leurs composantes individuelles, nous avons trois 𝑎 plus sept 𝑏 est égal à 106. Comme il s’agit d’une équation à deux inconnues, nous l’appellerons équation un et nous passerons à la deuxième étape du mouvement.
Cette fois, nous commençons par calculer le vecteur 𝐁𝐂. Il s’agit du vecteur de position du point 𝐶 moins le vecteur de position du point 𝐵. Moins huit 𝐢 moins trois 𝐣 moins moins quatre 𝐢 plus six 𝐣 est égal à moins quatre 𝐢 moins neuf 𝐣. Une fois de plus, nous prendrons le produit scalaire de ce vecteur de déplacement et du vecteur de force 𝑎𝐢 plus 𝑏𝐣. Au cours de cette étape du mouvement, on nous dit que le travail effectué par la force était de moins 138 unités de travail. Et cela nous donne l’équation moins quatre 𝑎 moins neuf 𝑏 est égale à moins 138.
Comme les trois termes sont négatifs, nous pouvons multiplier par moins un, ce qui nous donne quatre 𝑎 plus neuf 𝑏 est égal à 138. Nous avons alors une paire d’équations simultanées que nous pouvons résoudre pour calculer la valeur des constantes 𝑎 et 𝑏. Une façon de résoudre une paire d’équations simultanées est par élimination. Dans cette question, nous allons éliminer la variable 𝑎 en multipliant d’abord l’équation un par quatre et l’équation deux par trois. Cela nous donne les deux équations 12𝑎 plus 28𝑏 est égal à 424 et 12𝑎 plus 27𝑏 est égal à 414. En soustrayant ces deux équations, les termes contenant 𝑎 s’annulent, et il nous reste 𝑏 égale 10.
Nous pouvons alors substituer cette valeur de 𝑏 dans n’importe laquelle de nos équations pour calculer la valeur de 𝑎. En substituant dans l’équation un, nous avons trois 𝑎 plus sept multiplié par 10 est égal à 106. Sept multiplié par 10 est 70. Et en soustrayant cela des deux côtés, nous avons trois 𝑎 est égal à 36. Nous pouvons alors diviser par trois, ce qui nous donne 𝑎 est égal à 12. Les valeurs des deux constantes 𝑎 et 𝑏 sont 𝑎 est égale à 12 et 𝑏 est égale à 10. Cela signifie que la force agissant sur la particule est 12𝐢 plus 10𝐣.
