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Vidéo de la leçon : Travail effectué par une force exprimée en notation vectorielle Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer le travail effectué par un vecteur de force constante agissant sur un objet avec un vecteur de déplacement à l’aide du produit scalaire.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer le travail effectué par un vecteur de force constante agissant sur un objet avec un vecteur de déplacement à l’aide du produit scalaire.

N’oubliez pas que le travail est effectué lorsqu’une force fait bouger un objet sur une certaine distance. Et dans sa forme la plus simple, il peut être calculé en trouvant le produit de ces deux mesures, force fois déplacement. Lorsque la force 𝐹 est constante et que l’angle entre la force et le déplacement 𝑑 est 𝜃, le travail effectué est aussi donné par 𝐹 fois 𝑑 cosinus 𝜃. Et bien que le travail soit une quantité scalaire, nous pouvons aussi représenter la force et le déplacement comme des vecteurs plutôt que comme la norme des vecteurs.

Alors le travail effectué par un vecteur de force 𝐅 avec un vecteur de déplacement s est le produit scalaire du vecteur de force et du vecteur de déplacement. Cela peut être calculé en utilisant la norme du vecteur force fois la norme du vecteur déplacement fois cosinus 𝜃. Et bien sûr, puisque le produit scalaire de deux vecteurs est une quantité scalaire, cette définition est valable pour comprendre la représentation du travail. Donc, étant donné ces définitions, nous allons voir un exemple de calcul du travail effectué.

Une particule se déplace dans un plan dans lequel 𝐢 et 𝐣 sont des vecteurs unitaires perpendiculaires. Une force 𝐅 égale à neuf 𝐢 plus 𝐣 newtons agit sur la particule. La particule se déplace de l’origine au point de vecteur position moins neuf 𝐢 plus six 𝐣 mètres. Trouvez le travail effectué par la force.

Rappelez-vous que le travail effectué par un vecteur de force 𝐅 avec un vecteur de déplacement s est le produit scalaire de 𝐅 et s. La force agissant sur notre particule est de neuf 𝐣 plus 𝐣 newtons. Mais quel est son déplacement? Bien, on nous dit qu’il se déplace de l’origine au point avec le vecteur position – appelons-le r - moins neuf 𝐢 plus six 𝐣. Cela signifie que le déplacement est simplement le vecteur 𝐨r. C’est moins neuf 𝐢 plus six 𝐣 moins zéro 𝐢 plus zéro 𝐣. Et bien sûr, nous soustrayons simplement les composantes. Dans ce cas, bien sûr, nous soustrayons le vecteur zéro 𝐢 plus zéro 𝐣. Notre vecteur d’origine reste donc inchangé. Et le déplacement, que nous pouvons donner en mètres, est moins neuf 𝐢 plus six 𝐣. Ainsi, le travail effectué est le produit scalaire de 𝐅 et s. Cela fait neuf 𝐢 plus 𝐣 scalaire moins neuf 𝐢 plus six 𝐣.

Ensuite, nous trouvons le produit scalaire en calculant la somme des produits des composantes. Donc, nous multiplions les composantes 𝐢, neuf fois moins neuf, puis nous ajoutons le produit des composantes 𝐣. Bien, cela donne une fois six. On a donc moins 81 plus six, ce qui est bien sûr moins 75. Puisque la force est en newtons et que le déplacement est en mètres, le travail effectué sera en joules. Maintenant, nous remarquons que le travail effectué est négatif. Donc, si l’énergie de la particule est conservée, l’énergie cinétique de la particule diminuera. Si l’énergie de la particule n’est pas conservée, le travail effectué pourrait faire augmenter l’énergie potentielle de la particule. Quoi qu’il en soit, le travail effectué par la force dans cette question est moins 75 joules.

Dans cette question, nous avons considéré une seule force agissant sur un objet. Mais il y aura des moments où plusieurs forces agissent sur le même objet. Dans ces cas, nous considérerons la résultante de ces forces. Et cela nous aidera à calculer le travail effectué. Donc, dans notre deuxième exemple, nous allons démontrer à quoi cela ressemble.

Un objet se déplace dans un plan dans lequel 𝐢 et 𝐣 sont des vecteurs unitaires perpendiculaires. Deux forces 𝐅 indice un égal à neuf 𝐢 moins deux 𝐣 newtons et 𝐅 indice deux égale neuf 𝐢 moins sept 𝐣 newtons agissent sur l’objet. La particule se déplace du point avec le vecteur position moins six 𝐢 plus deux 𝐣 mètres au point deux 𝐢 plus trois 𝐣 mètres. Trouvez le travail effectué par la résultante des forces.

Nous pouvons commencer par rappeler que nous pouvons trouver le travail effectué par un vecteur de force 𝐅 sur un vecteur de déplacement s en trouvant le produit scalaire de ces deux vecteurs. Nous devons cependant être prudents ici, car nous travaillons avec deux forces et nous voulons trouver le travail effectué par leur résultante. Maintenant, bien sûr, la résultante de deux forces est simplement leur somme. Ainsi, la force résultante 𝐅 est la somme de 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux. Dans ce cas, cela fait neuf 𝐢 moins deux 𝐣 plus neuf 𝐢 moins sept 𝐣. Maintenant, bien sûr, nous ajoutons simplement les composantes, donc nous allons d’abord ajouter les composantes 𝐢. Neuf plus neuf font 18. Ensuite, nous ajoutons les composantes 𝐣. Moins deux moins sept est moins neuf. Et donc, la résultante des forces dans ce cas est 18𝐢 moins neuf 𝐣 newtons.

Maintenant, nous devons trouver le déplacement. Bien sûr, la particule se déplace du point avec le vecteur position moins six 𝐢 plus deux 𝐣 au point deux 𝐢 plus trois 𝐣. Appelons le premier point 𝐴 et le deuxième point 𝐵. Le déplacement est donc le vecteur 𝐀𝐁. Bien, c’est la différence entre le vecteur 𝐎𝐁 et 𝐎𝐀. Donc, cela donne deux 𝐢 plus trois 𝐣 moins moins six 𝐢 plus deux 𝐣. Comme précédemment, nous soustrayons simplement les composantes individuelles, en commençant par les composantes 𝐢. Deux moins moins six font huit, et trois moins deux font un. Donc, nous trouvons que le déplacement de l’objet est de huit 𝐢 plus 𝐣. Et bien sûr, tout ceci en mètres.

Et nous avons tout ce dont nous avons besoin. Le travail effectué est simplement le produit scalaire de ces deux vecteurs. C’est 18 fois huit plus moins neuf fois un, soit 144 moins neuf ou 135. Le travail effectué par la résultante des deux forces est alors de 135 joules.

Dans notre prochain exemple, nous verrons comment utiliser les caractéristiques des vecteurs pour trouver le travail effectué par une force.

Une particule se déplace du point 𝐴 sept, moins trois au point 𝐵 moins neuf, deux le long d’une droite sous l’action d’une force 𝐅 d’amplitude huit racine 10 newtons agissant dans la même direction que le vecteur 𝐜 égale à moins trois 𝐢 moins 𝐣. Calculez le travail effectué par la force, étant donné que la norme du déplacement est mesurée en mètres.

Rappelez-vous que le travail effectué par une force du vecteur 𝐅 sur un vecteur de déplacement s est le produit scalaire de ces deux vecteurs. Dans cette question, on nous dit que la particule se déplace du point 𝐴 vers le point 𝐵, nous pouvons donc calculer le déplacement de la particule assez facilement. Sous forme vectorielle, nous dirons que le déplacement s est le vecteur 𝐀𝐁, ce qui correspond au vecteur 𝐎𝐁 moins le vecteur 𝐎𝐀. Maintenant, puisque nous connaissons la position depuis l’origine, c’est-à-dire le point zéro, zéro, alors le vecteur 𝐎𝐁 est simplement moins neuf 𝐢 plus deux 𝐣 et le vecteur 𝐎𝐀 est sept 𝐢 moins trois 𝐣. Le vecteur s est donc la différence de ceux-ci, et nous pouvons le trouver en soustrayant les composantes individuelles. Moins neuf moins sept est moins 16 et deux moins moins trois est cinq 𝐣. Donc, nous avons le vecteur déplacement. On a moins 16𝐢 plus cinq 𝐣.

Mais comment pouvons-nous calculer la force? Nous savons qu’elle a une valeur de huit racine de 10, mais nous ne connaissons pas son vecteur. Nous savons cependant qu’il agit dans la même direction que ce vecteur ici, moins trois 𝐢 moins 𝐣. Alors, dessinons ceci. Le vecteur 𝐜 ressemble un peu à cela. Pour toutes les trois unités vers la gauche, nous nous déplaçons d’une unité vers le bas. Le vecteur 𝐅 agit dans la même direction que cela, mais a une amplitude de huit racine 10. Encore une fois, pour toutes les trois unités vers la gauche, nous nous déplaçons toujours d’une unité vers le bas. Donc, nous pouvons dire que si nous définissons 𝐅 indice 𝑖 comme étant la composante 𝐢 de notre force et 𝐅 indice 𝑗 comme étant la composante 𝐣, alors 𝐅 indice 𝑖 est égal à trois fois 𝐅 indice 𝑗.

Et, bien sûr, puisque les composantes 𝐢 et les composantes 𝐣 des vecteurs sont perpendiculaires les unes par rapport aux autres, nous pouvons former un triangle rectangle et appliquer le théorème de Pythagore pour trouver la valeur de 𝐅 indice 𝑖 et 𝐅 indice 𝑗. Autrement dit, l’amplitude de 𝐅 indice 𝑖 au carré plus l’amplitude de 𝐅 indice 𝑗 au carré est égale à huit racine 10 le tout au carré. Maintenant, bien sûr, 𝐅 indice 𝑖 est trois fois 𝐅 indice 𝑗. Nous pouvons donc remplacer l’amplitude de 𝐅 indice 𝑖 par trois fois l’amplitude de 𝐅 indice 𝑗. De même, huit racine de 10 au carré est 640. Trois au carré est neuf, donc nous avons un total de 10 𝐅 indice 𝑗 au carré. Ensuite, nous divisons par 10. Et enfin, nous prendrons la racine carrée des deux côtés. Maintenant, il suffit de prendre la racine carrée positive de 64 car nous examinons la norme, qui est une longueur. Et donc, la norme de 𝐅 indice 𝑗 est égale à huit. Puisque la norme de 𝐅 indice 𝑖 est trois fois la norme de 𝐅 indice 𝑗, c’est trois fois huit, ce qui donne 24. Nous connaissons la direction dans laquelle notre force agit. Nous pouvons donc définir le vecteur de la force comme étant moins 24𝐢 moins huit 𝐣 newtons.

Libérons de l’espace et préparons-nous à faire le produit scalaire de notre force et de notre déplacement. Le travail effectué est le produit scalaire de moins 24𝐢 moins huit 𝐣 et de moins 16𝐢 plus cinq 𝐣. C’est moins 24 fois moins 16 plus moins huit fois cinq, et cela donne 344. Le travail effectué est en joules. Donc, nous trouvons que le travail effectué par notre force est de 344 joules.

Dans nos exemples précédents, nous avons cherché à trouver le travail effectué lorsque le déplacement et la force sont des vecteurs, où chaque composante est simplement un nombre. Dans notre dernier exemple, nous montrerons comment le travail effectué peut également être calculé lorsque les vecteurs de déplacement et/ou de force sont donnés en tant qu’expressions en fonction du temps.

Une particule se déplace dans un plan dans lequel 𝐢 et 𝐣 sont des vecteurs unitaires perpendiculaires. Son déplacement par rapport à l’origine à l’instant 𝑡 secondes est donné par 𝐫 égale deux 𝑡 au carré plus sept 𝐢 plus 𝑡 plus sept 𝐣 mètres. Et une force 𝐅 égale à six 𝐢 plus trois 𝐣 newtons agit sur lui. Quelle est la quantité de travail effectuée par la force entre 𝑡 égale deux secondes et 𝑡 égale trois secondes?

Puisque le travail effectué est le produit scalaire de la force vectorielle et du vecteur déplacement, nous allons devoir calculer le déplacement de cette particule. On nous donne son déplacement à un instant donné 𝑡. Mais on nous demande également quelle est la quantité de travail effectuée par la force entre 𝑡 égal à deux secondes et 𝑡 égal à trois secondes. Donc, remplaçons 𝑡 égal à deux et 𝑡 égal à trois dans nos expressions pour le déplacement. En commençant par 𝑡 égale trois secondes, nous obtenons deux fois trois au carré plus sept 𝐢 plus trois plus sept 𝐣. Cela donne 25𝐢 plus 10𝐣. Et nous travaillons en mètres. Ainsi, le déplacement par rapport à l’origine et, par conséquent, la position de la particule à trois secondes est de 25𝐢 plus 10𝐣 mètres. De la même manière, nous pouvons trouver la position de la particule à deux secondes en utilisant 𝑡 égal à deux dans notre expression. Et nous obtenons 15𝐢 plus neuf 𝐣 mètres.

Le déplacement de la particule entre ces deux instants est donc la différence ici. C’est s indice trois moins s indice deux. Soit 25𝐢 plus 10𝐣 moins 15𝐢 plus neuf 𝐣. Et bien sûr, nous soustrayons simplement les composantes individuelles. 25 moins 15 est 10, et 10 moins neuf donne un. Donc, le déplacement est simplement de 10𝐢 plus 𝐣, et c’est en mètres. Puisque le travail effectué est le produit scalaire de la force et du déplacement, nous devons trouver le produit scalaire de six 𝐢 plus trois 𝐣 et le déplacement que nous venons de calculer. C’est le produit scalaire de six 𝐢 plus trois 𝐣 et de 10𝐢 plus 𝐣. C’est six fois 10 plus trois fois un, ce qui est bien sûr égal à 63. Le travail effectué est donc égal à 63 joules.

Nous allons maintenant récapituler les points clés de cette leçon. Dans cette leçon, nous avons appris que le travail effectué par un vecteur de force constante 𝐅 sur un vecteur de déplacement s est égal au produit scalaire de 𝐅 et s. Alternativement, si 𝜃 est l’angle entre 𝐅 et s, le travail est la valeur de la force multipliée par la valeur du temps de déplacement fois cosinus 𝜃. Et si nous exprimons 𝐅 et s sous forme de composantes, nous n’avons pas besoin d’utiliser cette deuxième forme. Nous pouvons simplifier le produit scalaire pour trouver le travail effectué.

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