Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer le travail fourni par une force constante représentée par un vecteur et agissant sur un corps le long d'un vecteur déplacement en utilisant le produit scalaire.
Le travail fourni par une force sur un corps peut être défini comme suit.
Définition : Travail fourni par une force sur un corps
Le travail fourni par une force sur un corps dépend de la force qui agit sur le corps et de la distance que le corps parcourt dans le sens de cette force selon la formule où est l’intensité de la force, est la norme du déplacement du corps pendant que la force agit sur lui, et est l’angle entre et .
Une autre façon de représenter le travail d’une force sur un corps est de représenter la force et le déplacement comme des vecteurs plutôt que comme les normes des vecteurs.
Le produit de deux vecteurs et peut être le produit scalaire des vecteurs, qui est défini comme suit.
Définition : Produit scalaire de deux vecteurs
Le produit scalaire de deux vecteurs est donné par où est l’angle entre et . L’angle est mesuré contre le sens des aiguilles de la montre de à , comme le montre la figure suivante.
Le travail fourni par une force d’intensité sur un déplacement de norme est égal à
Une représentation graphique de et montre que le produit de l’intensité de et de la norme de la composante de dans le sens de est égal à .
Le produit scalaire de deux vecteurs exprimés sous forme de composantes peut être déterminé sans se référer à l’angle entre les vecteurs.
On suppose maintenant que les vecteurs et sont orthogonaux, comme le montre la figure suivante.
Leur produit scalaire est donné par
Le produit scalaire de vecteurs orthogonaux est nul. Il n’y a pas de force agissant sur le corps dans la direction du déplacement, donc le travail fourni par la force sur le corps est nul.
Étudions un exemple d’utilisation des composantes pour déterminer le travail d’une force.
Exemple 1: Calculer le travail fourni par une force agissant sur une particule où la force et la position sont données sous forme de composantes de vecteur
Une particule se déplace sur un plan pour lequel et sont des vecteurs unitaires orthogonaux. Une force agit sur la particule. La particule se déplace de l’origine au point de vecteur position . Déterminez le travail fourni par la force.
Réponse
Le travail fourni par une force est le produit scalaire du vecteur force et du vecteur déplacement de la particule. La question ne donne pas un vecteur de déplacement mais un vecteur de position. La question indique également que la particule se déplace de l’origine vers la position indiquée, le vecteur de déplacement de la particule est donc donné par qui est égal au vecteur position donné.
Le travail fourni par la force, , est donné par le produit scalaire des vecteurs, soit
Le travail est donc de
Le travail effectué est négatif. Si l’énergie de la particule est conservée, alors l’énergie cinétique de la particule doit diminuer. Si l’énergie de la particule n’est pas conservée, le travail effectué pourrait en fait augmenter l’énergie potentielle de la particule.
Étudions maintenant un exemple où plusieurs forces agissent sur un corps pour produire un déplacement.
Exemple 2: Déterminer le travail de la résultante de deux forces agissant sur un corps
Un corps se déplace dans un plan pour lequel et sont des vecteurs unitaires orthogonaux. Deux forces et agissent sur le corps. La particule se déplace du point de vecteur position au point . Déterminez le travail de la résultante des forces.
Réponse
Deux forces agissent sur le corps. Les forces sont des vecteurs et la résultante des vecteurs peut être déterminée par la somme des composantes des vecteurs. La composante en de la force résultante est donnée par et la composante en de la force résultante est donnée par
La force résultante agissant sur le corps est donc
Le vecteur position final du corps est et le vecteur position initial du corps est
Le vecteur déplacement de la position initiale à la position finale est donc
En utilisant la formule du travail, on a ce qui donne
Étudions maintenant un exemple où les composantes du vecteur force et du vecteur déplacement ne sont pas indiquées directement.
Exemple 3: Utiliser des vecteurs pour déterminer le travail fourni par une force de direction et d’intensité données séparément
Une particule se déplace du point au point le long d’une droite sous l’action d’une force d’intensité agissant dans le même sens que le vecteur . Calculez le travail fourni par la force, sachant que la norme du déplacement est mesurée en mètres.
Réponse
On peut désigner le vecteur de déplacement par . Les vecteurs et sont représentés sur la figure suivante.
Le vecteur est donné par
Le produit scalaire de et n’est pas égal au produit scalaire de et .
L’intensité de est donnée, mais pour utiliser dans un calcul de produit scalaire, on doit déterminer les composantes en et de .
Comme agit le long de la droite de , l’intensité de la composante en de doit être égale à trois fois l’intensité de la composante en de . Cette relation peut être exprimée par
Les segments de longueur et sont deux côtés d’un triangle rectangle avec une hypoténuse de longueur de . On a donc
Comme
Et à nouveau, comme
Connaissant les composantes de , on peut exprimer comme
Le travail est donc
Étudions maintenant un autre exemple où les composantes du vecteur force et du vecteur déplacement ne sont pas indiquées directement.
Exemple 4: Déterminer le travail fourni par une force exprimée sous forme vectorielle agissant sur un corps se déplaçant entre deux points
Une particule se déplace du point au point le long d’une droite sous l’action de la force agissant dans le sens opposé au déplacement . Déterminez le travail fourni par la force .
Réponse
Le vecteur de déplacement est le vecteur qui part de et arrive à . Le vecteur est donné par
Le sens de est . Le sens selon lequel agit est opposé à , donc doit agir le long de la droite
Le rapport de la composante en à la composante en est donné par
Pour que agisse dans le même sens que , le rapport de sa composante en à sa composante en doit être égal à celui de . Par conséquent, on a
Réarranger pour déterminer donne
On peut maintenant exprimer comme
Le travail est donc
Sans surprise, le travail est négatif car la force agit dans le sens opposé au déplacement.
Lorsque l’énergie d’une particule sur laquelle agit une force est conservée, le trajet parcouru par la particule pendant que la force agit sur celle-ci n’affecte pas le travail de la force sur la particule.
Étudions maintenant un exemple où nous considérons le travail d’une force sur un intervalle de temps.
Exemple 5: Déterminer le travail fourni par une force lorsque le déplacement est donné en fonction du temps
Une particule se déplace dans un plan pour lequel et sont des vecteurs unitaires orthogonaux. Son déplacement par rapport à l'origine à l'instant secondes est donné par et il subit la force . Quel est le travail fourni par la force entre et ?
Réponse
Cet exemple ne sera pas résolu de manière très différente des exemples précédents car les produits scalaires de vecteurs sont toujours utilisés de la même manière. La seule nouvelle caractéristique de cet exemple est que l’on doit déterminer les déplacements qui correspondent à deux instants différents.
On doit déterminer le déplacement de la particule à et . On substitue 3 et 2 aux valeurs de pour obtenir respectivement et , ce qui donne
Le déplacement de la particule entre et est égal à moins , soit
Le produit scalaire de et donne le travail entre et . Comme on a
Points clés
- Le travail fournie par une force constante sur un déplacement est égal au produit scalaire de et , soit où est l’angle entre et .
- Le produit scalaire de et peut être déterminé sans utiliser l’angle en exprimant et sous forme de composantes.
- Si les composantes de et sont exprimées selon les directions orthogonales et , alors