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Fiche explicative de la leçon: Travail fourni par une force exprimée en notation vectorielle Mathématiques • Troisième année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer le travail fourni par une force constante représentée par un vecteur et agissant sur un corps le long d'un vecteur déplacement en utilisant le produit scalaire.

Le travail fourni par une force sur un corps peut être défini comme suit.

Définition : Travail fourni par une force sur un corps

Le travail fourni par une force sur un corps dépend de la force qui agit sur le corps et de la distance que le corps parcourt dans le sens de cette force selon la formule 𝑊=𝐹𝑑(𝜃),cos𝐹 est l’intensité de la force, 𝑑 est la norme du déplacement du corps pendant que la force agit sur lui, et 𝜃 est l’angle entre 𝐹 et 𝑑.

Une autre façon de représenter le travail d’une force sur un corps est de représenter la force et le déplacement comme des vecteurs plutôt que comme les normes des vecteurs.

Le produit de deux vecteurs 𝑎 et 𝑏 peut être le produit scalaire des vecteurs, qui est défini comme suit.

Définition : Produit scalaire de deux vecteurs

Le produit scalaire de deux vecteurs est donné par 𝑎𝑏=𝑎𝑏(𝜃),cos𝜃 est l’angle entre 𝑎 et 𝑏. L’angle est mesuré contre le sens des aiguilles de la montre de 𝑎 à 𝑏, comme le montre la figure suivante.

Le travail fourni par une force d’intensité 𝐹 sur un déplacement de norme 𝑑 est égal à 𝐹𝑑𝐹𝑑=𝐹𝑑(𝜃).cos

Une représentation graphique de 𝐹 et 𝑑 montre que le produit de l’intensité de 𝐹 et de la norme de la composante de 𝑑 dans le sens de 𝐹 est égal à 𝐹𝑑(𝜃)cos.

Le produit scalaire de deux vecteurs exprimés sous forme de composantes peut être déterminé sans se référer à l’angle entre les vecteurs.

On suppose maintenant que les vecteurs 𝐹 et 𝑑 sont orthogonaux, comme le montre la figure suivante.

Leur produit scalaire est donné par 𝐹𝑑=(4,3)(3,4)𝐹𝑑=(4×3)+(3×4)=1212=0.

Le produit scalaire de vecteurs orthogonaux est nul. Il n’y a pas de force agissant sur le corps dans la direction du déplacement, donc le travail fourni par la force sur le corps est nul.

Étudions un exemple d’utilisation des composantes pour déterminer le travail d’une force.

Exemple 1: Calculer le travail fourni par une force agissant sur une particule où la force et la position sont données sous forme de composantes de vecteur

Une particule se déplace sur un plan pour lequel 𝑖 et 𝑗 sont des vecteurs unitaires orthogonaux. Une force 𝐹=9𝑖+𝑗N agit sur la particule. La particule se déplace de l’origine au point de vecteur position 9𝑖+6𝑗m. Déterminez le travail fourni par la force.

Réponse

Le travail fourni par une force est le produit scalaire du vecteur force et du vecteur déplacement de la particule. La question ne donne pas un vecteur de déplacement mais un vecteur de position. La question indique également que la particule se déplace de l’origine vers la position indiquée, le vecteur de déplacement de la particule est donc donné par 𝑑=(90)𝑖+(60)𝑗,m qui est égal au vecteur position donné.

Le travail fourni par la force, 𝑊, est donné par le produit scalaire des vecteurs, soit 𝑊=(9,1)(9,6)𝑊=(9×9)+(1×6)=81+6=75.

Le travail est donc de 𝑊=75.J

Le travail effectué est négatif. Si l’énergie de la particule est conservée, alors l’énergie cinétique de la particule doit diminuer. Si l’énergie de la particule n’est pas conservée, le travail effectué pourrait en fait augmenter l’énergie potentielle de la particule.

Étudions maintenant un exemple où plusieurs forces agissent sur un corps pour produire un déplacement.

Exemple 2: Déterminer le travail de la résultante de deux forces agissant sur un corps

Un corps se déplace dans un plan pour lequel 𝑖 et 𝑗 sont des vecteurs unitaires orthogonaux. Deux forces 𝐹=9𝑖2𝑗N et 𝐹=9𝑖7𝑗N agissent sur le corps. La particule se déplace du point de vecteur position 6𝑖+2𝑗m au point 2𝑖+3𝑗m. Déterminez le travail de la résultante des forces.

Réponse

Deux forces agissent sur le corps. Les forces sont des vecteurs et la résultante des vecteurs peut être déterminée par la somme des composantes des vecteurs. La composante en 𝑥 de la force résultante est donnée par 𝐹=9𝑖+9𝑖=18𝑖,R et la composante en 𝑦 de la force résultante est donnée par 𝐹=2𝑗7𝑗=9𝑗.R

La force résultante agissant sur le corps est donc 𝐹=18𝑖9𝑗.RN

Le vecteur position final du corps est 2𝑖+3𝑗, et le vecteur position initial du corps est 6𝑖+2𝑗.

Le vecteur déplacement de la position initiale à la position finale est donc 𝑑=2𝑖+3𝑗6𝑖+2𝑗𝑑=2(6)𝑖+(32)𝑗=8𝑖+𝑗.mm

En utilisant la formule du travail, on a 𝑊=𝐹𝑑,R ce qui donne 𝑊=(18,9)(8,1)𝑊=(18×8)+(9×1)=1449=135.J

Étudions maintenant un exemple où les composantes du vecteur force et du vecteur déplacement ne sont pas indiquées directement.

Exemple 3: Utiliser des vecteurs pour déterminer le travail fourni par une force de direction et d’intensité données séparément

Une particule se déplace du point 𝐴(7;3) au point 𝐵(9;2) le long d’une droite sous l’action d’une force 𝐹 d’intensité 810N agissant dans le même sens que le vecteur 𝑐=3𝑖𝑗. Calculez le travail fourni par la force, sachant que la norme du déplacement est mesurée en mètres.

Réponse

On peut désigner le vecteur de déplacement 𝐴𝐵 par 𝑑. Les vecteurs 𝑑 et 𝑐 sont représentés sur la figure suivante.

Le vecteur 𝑑 est donné par 𝑑=(97)𝑖+(2(3))𝑗=16𝑖+5𝑗.m

Le produit scalaire de 𝑑 et 𝑐 n’est pas égal au produit scalaire de 𝑑 et 𝐹.

L’intensité de 𝐹 est donnée, mais pour utiliser 𝐹 dans un calcul de produit scalaire, on doit déterminer les composantes en 𝑖 et 𝑗 de 𝐹.

Comme 𝐹 agit le long de la droite de 𝑐, l’intensité de la composante en 𝑖 de 𝐹 doit être égale à trois fois l’intensité de la composante en 𝑗 de 𝐹. Cette relation peut être exprimée par 𝐹=3𝐹.

Les segments de longueur 𝐹 et 𝐹 sont deux côtés d’un triangle rectangle avec une hypoténuse de longueur de 810. On a donc 𝐹+𝐹=810=640.

Comme 𝐹=3𝐹,3𝐹+𝐹=6409𝐹+𝐹=640𝐹=64𝐹=8.

Et à nouveau, comme 𝐹=3𝐹,𝐹=24.

Connaissant les composantes de 𝐹, on peut exprimer 𝐹 comme 𝐹=24𝑖8𝑗.N

Le travail 𝑊 est donc 𝑊=(24,8)(16,5)𝑊=(24×16)+(8×5)=38440=344.J

Étudions maintenant un autre exemple où les composantes du vecteur force et du vecteur déplacement ne sont pas indiquées directement.

Exemple 4: Déterminer le travail fourni par une force exprimée sous forme vectorielle agissant sur un corps se déplaçant entre deux points

Une particule se déplace du point 𝐴(2;2) au point 𝐵(6;10) le long d’une droite sous l’action de la force 𝐹=𝑘𝑖6𝑗 agissant dans le sens opposé au déplacement 𝐴𝐵. Déterminez le travail fourni par la force 𝐹.

Réponse

Le vecteur de déplacement 𝑑 est le vecteur qui part de 𝐴 et arrive à 𝐵. Le vecteur 𝑑 est donné par 𝑑=(6(2))𝑖+(10(2))𝑗=8𝑖+12𝑗.m

Le sens de 𝑑 est 𝐴𝐵. Le sens selon lequel 𝐹 agit est opposé à 𝐴𝐵, donc 𝐹 doit agir le long de la droite 𝐵𝐴𝐵𝐴=8𝑖12𝑗

Le rapport de la composante en 𝑦 à la composante en 𝑥 est donné par Δ𝑦Δ𝑥=128=32.

Pour que 𝐹 agisse dans le même sens que 𝐵𝐴, le rapport de sa composante en 𝑦 à sa composante en 𝑥 doit être égal à celui de 𝐵𝐴. Par conséquent, on a Δ𝑦Δ𝑥=6𝑘=32.

Réarranger pour déterminer 𝑘 donne 3𝑘=6×2𝑘=4.

On peut maintenant exprimer 𝐹 comme 𝐹=4𝑖6𝑗.N

Le travail 𝑊est donc 𝑊=(4,6)(8,12)𝑊=(4×8)+(6×12)=3272=104.J

Sans surprise, le travail est négatif car la force agit dans le sens opposé au déplacement.

Lorsque l’énergie d’une particule sur laquelle agit une force est conservée, le trajet parcouru par la particule pendant que la force agit sur celle-ci n’affecte pas le travail de la force sur la particule.

Étudions maintenant un exemple où nous considérons le travail d’une force sur un intervalle de temps.

Exemple 5: Déterminer le travail fourni par une force lorsque le déplacement est donné en fonction du temps

Une particule se déplace dans un plan pour lequel 𝑖 et 𝑗 sont des vecteurs unitaires orthogonaux. Son déplacement par rapport à l'origine à l'instant 𝑡 secondes est donné par 𝑑=2𝑡+7𝑖+(𝑡+7)𝑗m et il subit la force 𝐹=6𝑖+3𝑗N. Quel est le travail fourni par la force entre 𝑡=2s et 𝑡=3s?

Réponse

Cet exemple ne sera pas résolu de manière très différente des exemples précédents car les produits scalaires de vecteurs sont toujours utilisés de la même manière. La seule nouvelle caractéristique de cet exemple est que l’on doit déterminer les déplacements qui correspondent à deux instants différents.

On doit déterminer le déplacement de la particule à 𝑡=3s et 𝑡=2s. On substitue 3 et 2 aux valeurs de 𝑡 pour obtenir respectivement 𝑑 et 𝑑, ce qui donne 𝑑=2×3+7𝑖+(3+7)𝑗=25𝑖+10𝑗,𝑑=2×2+7𝑖+(2+7)𝑗=15𝑖+9𝑗.mm

Le déplacement de la particule entre 𝑡=3s et 𝑡=2s est égal à 𝑑 moins 𝑑, soit 𝑑𝑑=Δ𝑑=25𝑖+10𝑗15𝑖+9𝑗=10𝑖+𝑗.m

Le produit scalaire de 𝐹 et Δ𝑑 donne le travail 𝑊 entre 𝑡=3s et 𝑡=2s. Comme 𝐹=6𝑖+3𝑗,N on a 𝑊=(6,3)(10,1)𝑊=(6×10)+(1×3)=63.J

Points clés

  • Le travail fournie par une force constante 𝐹 sur un déplacement 𝑑 est égal au produit scalaire de 𝐹 et 𝑑, 𝑊=𝐹𝑑, soit 𝑊=𝐹𝑑(𝜃),cos𝜃 est l’angle entre 𝐹 et 𝑑.
  • Le produit scalaire de 𝐹 et 𝑑 peut être déterminé sans utiliser l’angle 𝜃 en exprimant 𝐹 et 𝑑 sous forme de composantes.
  • Si les composantes de 𝐹 et 𝑑 sont exprimées selon les directions orthogonales 𝑖 et 𝑗, alors 𝐹𝑑=𝐹,𝐹𝑑,𝑑=(𝐹𝑑)+𝐹𝑑.

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