Transcription de la vidéo
Déterminez l’ensemble solution dans l’ensemble des nombres réels de l’équation 𝑥 au carré moins cinq à la puissance quatre est égal à 256.
La première étape pour trouver 𝑥 est de prendre l’opération réciproque de l’élévation à la puissance quatre : elle consiste à appliquer la racine quatrième aux deux membres de l’équation. Ceci nous donne que 𝑥 au carré moins cinq est égal à la racine quatrième de 256. À ce stade et lorsque nous travaillons sur des racines 𝑛-ièmes, nous devrions nous arrêter et examiner s’il pourrait y avoir plus d’une solution à une racine 𝑛-ième. Si nous avons 𝑦 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑥 avec 𝑥 et 𝑦 ayant des valeurs réelles, 𝑥 supérieur à zéro et 𝑛 pair, alors les solutions sont 𝑦 est égal à plus ou moins la racine 𝑛-ième de 𝑥.
À ce stade, nous essayons de trouver la racine quatrième de 256, ce qui signifie que nous essayons de trouver une valeur de 𝑦 telle que 𝑦 à la puissance quatre est égal à 256. Puisque nous avons une valeur de 256 – il s’agit de la valeur de 𝑥 dans l’équation générale – qui est supérieure à zéro et que l’indice 𝑛 est pair puisqu’il est égal à quatre, alors nous avons deux solutions : 𝑦 est égal à plus ou moins la racine quatrième de 256. Ainsi, nous ajoutons le signe plus / moins dans nos calculs dans le membre de droite.
Nous pouvons ensuite déterminer que la racine quatrième de 256 est égale à quatre. Nous avons donc que 𝑥 au carré moins cinq est égal à plus ou moins quatre. Puisque le signe plus/moins indique qu’il y a deux valeurs possibles, cela signifie que nous avons deux équations à résoudre : 𝑥 au carré moins cinq est égal à plus quatre et 𝑥 au carré moins cinq est égal à moins quatre. Nous allons donc prendre chaque équation à tour de rôle et la résoudre.
Pour l’équation à gauche, nous pouvons ajouter cinq aux deux membres, ce qui nous donne que 𝑥 au carré est égal à neuf. Pour l’équation à droite, nous ajoutons également cinq aux deux membres. Cette fois, moins quatre plus cinq nous donnera un. Nous avons donc maintenant c’est 𝑥 au carré est égal à neuf ou 𝑥 au carré est égal à un.
Avant de procéder à une simplification supplémentaire, examinons si la règle mise en évidence plus tôt s’applique une fois de plus. Prenons 𝑥 au carré est égal à neuf. La valeur de neuf est positive et l’exposant deux est pair. Ainsi, lorsque nous prenons la racine carrée des deux membres, nous n’avons pas seulement que 𝑥 égal à la racine carrée de neuf. En effet, nous avons que 𝑥 est égal à plus ou moins la racine carrée de neuf.
Si nous continuons à résoudre cette équation, nous obtenons que 𝑥 est égal à plus ou moins trois. Prenons ensuite l’équation 𝑥 au carré est égal à un. Encore une fois, la valeur de un est positive et l’exposant deux est pair. En prenant la racine carrée des deux membres, nous pouvons écrire que 𝑥 est égal à plus ou moins la racine carrée de un. En évaluant ceci, nous avons que 𝑥 est égal à plus ou moins un. Nous pouvons alors donner ces quatre solutions pour 𝑥 avec la notation ensembliste comme l’ensemble contenant un, trois, moins un et moins trois et si on remplaçait 𝑥 par n’importe laquelle de ces quatre valeurs dans l’expression 𝑥 au carré moins cinq à la puissance quatre, alors nous obtiendrions un résultat de 256.
