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Déterminez la distance entre le point moins cinq, moins huit, moins six et le plan moins deux 𝑥 plus 𝑦 plus deux 𝑧 égale sept.
Dans cette question, nous devons calculer la distance entre un point et un plan. Nous pouvons rappeler que la distance entre un point et un plan signifie ici la distance perpendiculaire, car il s’agit de la distance la plus courte entre les deux objets. Et il existe une formule permettant de la calculer. Cette formule stipule que la distance perpendiculaire, notée grand 𝐷, entre un point 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et un plan 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 plus 𝑑 égale zéro est 𝐷 égale valeur absolue de 𝑎𝑥 un plus 𝑏𝑦 un plus 𝑐𝑧 un plus 𝑑 sur racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré.
Mais avant de pouvoir utiliser cette formule, nous devons modifier l’équation du plan pour qu’elle soit sous la même forme que dans la formule. En soustrayant sept aux deux membres de l’équation, on obtient moins deux 𝑥 plus 𝑦 plus deux 𝑧 moins sept égale zéro. Cela signifie simplement que la constante petit 𝑑 de moins sept est sur le même membre de l’équation que les autres termes. Et il peut également être une bonne idée de noter les valeurs que nous allons utiliser. 𝑥 un égale moins cinq, 𝑦 un égale moins huit et 𝑧 un égale moins six.
Et dans l’équation du plan, 𝑎 est égal à moins deux, 𝑏 est égal à un parce que le coefficient de 𝑦 est un, 𝑐 est égal à deux et 𝑑 est égal à moins sept. Nous pouvons maintenant remplacer ces valeurs dans la formule de la distance perpendiculaire. Et on a grand 𝐷 égale valeur absolue de moins deux fois moins cinq plus un fois moins huit plus deux fois moins six plus moins sept sur racine carrée de moins deux au carré plus un au carré plus deux au carré.
On pourrait ici penser qu’il faut ajouter un 𝑑 au carré à la racine carrée du dénominateur. Mais ce n’est pas le cas. Le dénominateur de cette formule est simplement racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré. En simplifiant le membre droit de l’équation, on obtient valeur absolue de 10 moins huit moins 12 moins sept sur racine carrée de quatre plus un plus quatre. Et on peut simplifier davantage en réalisant que le dénominateur racine carrée de neuf est égal à trois. Cela nous donne donc valeur absolue de moins 17 sur trois.
Bien sûr, valeur absolue de moins 17 égale 17. Et nous avons ainsi calculé la valeur de 𝐷. Puisque 𝐷 est une distance, nous pouvons ajouter des unités de longueur à la valeur trouvée. Nous pouvons ainsi conclure que la distance entre ce point et ce plan est de 17 sur trois unités de longueur.
