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Déterminer l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale racine carrée de 𝑥 plus sept sur racine carrée de 𝑥 moins cinq.
Rappelez-vous que lorsque l’on parle de l’ensemble de définition d’une fonction, on se réfère à l’ensemble des valeurs possibles que l’on peut entrer dans cette fonction. Plus spécifiquement, nous devons nous assurer que lorsque nous substituons ces valeurs, elles produisent une image réelle.
Donc en observant la fonction 𝑓 de 𝑥 égale racine carrée de 𝑥 plus sept sur racine carrée de 𝑥 moins cinq, nous devons considérer deux choses. Nous devons d’abord nous assurer que le dénominateur de la fonction n’est pas égal à zéro. De même, nous devons nous assurer que les expressions à l’intérieur des racines carrées ne sont pas négatives. Traitons donc le premier critère. Nous souhaitons nous assurer que le dénominateur de la fonction n’est pas égal à zéro.
Pour cela, nous allons trouver toutes les valeurs de 𝑥 qui rendent le dénominateur égal à zéro. Puis nous les exclurons de l’ensemble de définition. On pose le dénominateur racine carrée de 𝑥 moins cinq égal à zéro. On peut alors mettre les deux membres de cette équation au carré, ce qui donne 𝑥 moins cinq égale zéro. Enfin, on ajoute cinq aux deux membres. Et on trouve que 𝑥 est égal à cinq. C’est la valeur de 𝑥 qui rend le dénominateur nul. Nous allons donc exclure cette valeur de l’ensemble de définition de notre fonction à la fin de la question.
Nous avons ensuite dit que nous devons nous assurer que les expressions sous les racines carrées ne sont pas négatives. En d’autres termes, 𝑥 plus sept doit être supérieur ou égal à zéro et 𝑥 moins cinq doit être supérieur ou égal à zéro. Si on soustrait sept aux deux membres de la première équation, on trouve que 𝑥 doit être supérieur ou égal à moins sept. Et si on ajoute cinq aux deux membres de la deuxième équation, on constate que 𝑥 doit être supérieur ou égal à cinq.
Nous avons donc trois critères à prendre en compte. 𝑥 doit être différent de cinq. 𝑥 doit être supérieur ou égal à moins sept. Et 𝑥 doit être supérieur ou égal à cinq. Eh bien, nous savons que si 𝑥 est supérieur ou égal à cinq, alors il est forcément supérieur ou égal à moins sept. Et bien que 𝑥 doive être supérieur ou égal à cinq pour que l’expression sous la racine carrée du dénominateur soit positive, nous avons dit que 𝑥 ne peut pas être égal à cinq lui-même.
Par conséquent, l’intersection de tous ces ensembles est simplement l’ensemble des valeurs de 𝑥 qui sont strictement supérieures à cinq. Et bien sûr, nous pouvons utiliser la notation des intervalles pour représenter cela. L’ensemble de définition de la fonction est l’ensemble des valeurs dans l’intervalle ouvert de cinq à plus l’infini.
