Transcription de la vidéo
Le figure illustre deux vecteurs, 𝚨 et 𝚩. Chacun des carreaux du quadrillage sur la figure a une longueur de côté de un. Calculez le produit vectoriel de 𝚨 croix 𝚩.
Très bien, il s’agit donc d’une question sur les produits vectoriels, et nous avons une figure affichant deux vecteurs. On nous dit que les carreaux du quadrillage sur ce figure ont une longueur de côté de un. Et on nous demande de calculer le produit vectoriel de 𝚨 croix 𝚩, les deux vecteurs de la figure. Commençons par écrire ces deux vecteurs en fonction de leurs composantes. Nous devrons trouver les composantes 𝑥 et 𝑦 de chaque vecteur sur la figure. Nous allons ajouter un axe 𝑥 et un axe 𝑦 à la figure pour rendre ce processus un peu plus clair. Nous voyons que le vecteur 𝚨 s’étend sur quatre unités dans le sens positif de la direction 𝑥 et sur une unité dans le sens positif de la direction 𝑦.
Maintenant, rappelons que le vecteur unitaire dans la direction 𝑥 est nommé 𝐢 et le vecteur unitaire dans la direction 𝑦 s’appelle 𝐣. On peut donc écrire le vecteur 𝚨 comme sa composante 𝑥, qui vaut quatre, multipliée par 𝐢 plus sa composante 𝑦, qui vaut un, multipliée par 𝐣. Pour le vecteur 𝚩, nous voyons qu’il s’étend de trois unités dans le sens positif de la direction 𝑥 et de cinq unités dans le sens positif de la direction 𝑦. Nous pouvons donc écrire que 𝚩 est égal à sa composante 𝑥, qui vaut trois, multipliée par 𝐢 plus sa composante 𝑦, qui est de cinq, multipliée par 𝐣. Nous avons maintenant des expressions pour le vecteur 𝚨 et le vecteur 𝚩 en fonction de leurs composantes.
Maintenant, la question nous demande de calculer le produit vectoriel de 𝚨 croix 𝚩. Rappelons donc la définition du produit vectoriel de deux vecteurs. Pour ce faire, nous allons définir deux vecteurs généraux qui se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. Et nous nommons ces vecteurs 𝐚 et 𝐛 minuscules, où nous utilisons les lettres minuscules pour distinguer ce cas général de nos deux vecteurs spécifiques de la question. Nous pouvons écrire ces vecteurs généraux en fonction de leurs composantes, en donnant aux composantes 𝑥 un indice 𝑥 et aux composantes 𝑦 un indice 𝑦. Alors, le produit vectoriel de 𝐚 croix 𝐛 est défini comme la composante 𝑥 de 𝐚 multipliée par la composante 𝑦 de 𝐛 moins la composante 𝑦 de 𝐚 multipliée par la composante 𝑥 de 𝐛 le tout multiplié par 𝐤, qui est le vecteur unitaire dans la direction 𝑧.
Nous pouvons utiliser cette définition pour calculer le produit vectoriel des deux vecteurs à partir de la question, 𝚨 majuscule et 𝚩 majuscule. Nous essayons de calculer le produit vectoriel de 𝚨 majuscule croix 𝚩 majuscule. Le premier terme est alors la composante 𝑥 de 𝚨, qui vaut quatre, multipliée par la composante 𝑦 de 𝚩, qui est de cinq. De là, nous soustrayons le deuxième terme. Ce deuxième terme est la composante 𝑦 de 𝚨, qui vaut un, multipliée par la composante 𝑥 de 𝚩, qui vaut trois. Ensuite, tout cela est multiplié par le vecteur unitaire 𝐤. Si nous faisons les multiplications, nous trouvons que le premier terme vaut 20 et le deuxième terme vaut trois. Ensuite, en soustrayant trois de 20, nous obtenons notre réponse à la question, c’est-à-dire que le produit vectoriel de 𝚨 croix 𝚩 est égal à 17𝐤.
