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Laquelle des fonctions suivantes est bijective ? Est-ce a) 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 puissance quatre plus 𝑥 au carré, b) 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré, c) 𝑓 de 𝑥 égale cosinus 𝑥, ou d) 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube ?
Commençons par rappeler la définition d’une fonction bijective. Une fonction est dite bijective si chaque élément de l’ensemble image de la fonction a exactement un antécédent dans l’ensemble de définition. Et une façon vérifier si une fonction est bijective est d’étudier la forme de sa courbe représentative. Si la courbe passe le test de la droite verticale, c’est-à-dire que toute droite verticale dans l’ensemble de définition coupe la courbe exactement une fois, et le test de la droite horizontale, c’est-à-dire que toute droite horizontale dans l’ensemble image coupe la courbe exactement une fois. Alors on peut dire que la fonction est bijective. Donc, le moyen le plus simple de vérifier si nos fonctions sont bijectives est de tracer leurs courbes représentatives.
Commençons par la courbe représentative de 𝑥 puissance quatre plus 𝑥 au carré. C’est ce qu’on appelle une fonction polynôme de degré quatre . Son coefficient dominant est positif. Et en factorisant son expression, on voit que cette équation n’a qu’une seule racine, qui est 𝑥 égale zéro. Donc, la courbe représentative de 𝑦 égale 𝑥 puissance quatre plus 𝑥 au carré ressemble à peu près à ceci. Elle passe bien le test de la droite verticale car toute droite verticale coupe la courbe exactement une fois. Mais si on ajoute une droite horizontale ici, on voit qu’elle coupe la courbe deux fois. Cela signifie que notre fonction n’est pas bijective. Dans ce cas, un élément de l’ensemble image peut avoir plus d’un antécédent dans l’ensemble de définition.
Et la courbe représentative de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré est en fait très similaire. Donc en suivant le même raisonnement, elle ne peut pas être bijective. Nous allons maintenant passer à la courbe représentative de 𝑓 de 𝑥 égale cosinus 𝑥. Nous savons qu’une période complète de la courbe représentative de 𝑦 égale cosinus 𝑥 ressemble à peu près à cela. Encore une fois, cette courbe passe bien le test de la droite verticale. Mais elle ne passe pas du tout le test de la droite horizontale. Comme la fonction cosinus est périodique, toute droite horizontale dans son ensemble image coupe la courbe représentative de 𝑦 égale cosinus 𝑥 une infinité de fois. Donc, 𝑓 de 𝑥 égale cosinus 𝑥 ne peut pas être une fonction bijective.
Nous allons enfin tester 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube. La courbe représentative de 𝑦 égale 𝑥 au cube ressemble à ceci. Et nous pouvons voir qu’elle passe très clairement le test de la droite verticale. Mais elle passe également le test de la droite horizontale. Toute droite horizontale dans l’ensemble image coupe cette courbe exactement une fois. Nous pouvons donc conclure que la bonne réponse est (d). La fonction bijective est 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube.
