Vidéo de la leçon: Fonctions injectives Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer si une fonction est injective. On rappelle que la définition d’une fonction implique que chaque élément de son ensemble de définition est associé à, au plus, un élément de son ensemble image. Pour qu’une fonction soit injective, elle doit vérifier cette condition mais avec les rôles de son ensemble de définition et de son ensemble image inversés. Nous allons commencer par donner une définition formelle de cela.

Une fonction est injective si chaque élément de son ensemble image a, au plus, un antécédent dans son ensemble de définition. Associée à la définition d’une fonction, on peut dire qu’il existe au plus une correspondance unique entre chaque élément de l’ensemble de définition et chaque élément de l’ensemble image d’une fonction injective. On peut également dire que la fonction est une injection. Les diagrammes sagittaux de deux fonctions 𝑓 et 𝑔 sont représentés ici. La fonction 𝑓 a deux éléments dans son ensemble image, quatre et cinq. Bien que l’élément quatre de l’ensemble image ait exactement une flèche pointée vers lui correspondant à l’antécédent trois de l’ensemble de définition, l’élément cinq de l’ensemble image a deux flèches différentes pointées vers lui, correspondant aux antécédents un et deux.

Puisque chaque élément de l’ensemble image doit avoir exactement un antécédent pour une fonction injective, on peut dire que 𝑓 n’est pas injective. À droite cependant, chaque élément de l’ensemble image de la fonction 𝑔 a exactement une flèche pointée vers lui, correspondant à exactement un antécédent de l’ensemble de définition. On peut donc conclure que la fonction 𝑔 est injective. Nous allons maintenant étudier un exemple où nous allons utiliser les diagrammes sagittaux de fonctions pour déterminer si elles sont injectives.

Vrai ou faux : si 𝑓 et 𝑔 sont toutes les deux des fonctions injectives, alors 𝑓 plus 𝑔 doit être une fonction injective.

Si nous souhaitons prouver que cette affirmation est vraie, nous devons prouver qu’elle est vraie pour toutes les fonctions possibles vérifiant la condition initiale. Si nous souhaitons cependant prouver qu’elle est fausse, nous pouvons utiliser un contre-exemple. Commençons par rappeler qu’une fonction est injective si chaque élément de l’ensemble image de la fonction a exactement un antécédent dans l’ensemble de définition. Sur des diagrammes sagittaux, cela signifie que chaque élément de l’ensemble image a exactement une flèche pointée sur lui.

Considérons les fonctions 𝑓 et 𝑔 représentées par ces diagrammes sagittaux. On voit que les deux fonctions 𝑓 et 𝑔 sont injectives car chaque élément de leur ensemble image a exactement une flèche pointée vers lui provenant de l’ensemble de définition. Lorsque l’on additionne 𝑓 et 𝑔 comme demandé, on obtient le diagramme suivant. En remarquant que les trois lignes de l’ensemble image ont la même valeur, on peut redessiner le diagramme sagittal. Puisque l’élément de l’ensemble image 10 a trois flèches pointées sur lui, cet élément de l’ensemble image a plus d’un antécédent. On peut donc conclure que la fonction 𝑓 plus 𝑔 n’est pas injective. En utilisant un contre-exemple, nous avons ainsi montré que l’affirmation « si 𝑓 et 𝑔 sont toutes les deux des fonctions injectives, alors 𝑓 plus 𝑔 doit être une fonction injective » est fausse.

On peut facilement reconnaître des fonctions injectives grâce à leurs diagrammes sagittaux, mais comment les reconnaître à partir de leurs courbes représentatives dans le repère 𝑥𝑦 ?

Nous savons que l’ensemble image d’une fonction correspond à la portion de l’axe des ordonnées utilisée par sa courbe représentative, tandis que son ensemble de définition correspond à la portion de l’axe des abscisses qu’elle utilise. Puisqu’une fonction injective doit associer chaque élément de son ensemble image à un antécédent unique de son ensemble de définition, chaque point sur l’axe des ordonnées dans l’ensemble image de la fonction doit être associé à exactement un point sur l’axe des abscisses dans son ensemble de définition. On peut tester cette condition en traçant une droite horizontale pour chaque élément de l’ensemble image et en vérifiant combien de fois la courbe représentative coupe cette droite. S’il y a plus d’un point d’intersection entre la droite horizontale et la courbe représentative de la fonction, alors cet élément de l’ensemble image a plus d’un antécédent. Dans ce cas, la fonction n’est pas injective. Considérons les deux exemples représentés ici.

Pour la fonction 𝑓 de la première figure, on peut tracer une droite horizontale pour l’élément de l’ensemble image deux qui coupe la courbe représentative de 𝑓 plus d’une fois. Plus précisément, l’élément de l’ensemble image deux a trois antécédents : moins deux, zéro et trois. Il y a trois points d’intersection entre la droite horizontale et la courbe représentative de la fonction en moins deux, deux ; zéro, deux et trois, deux. On peut donc conclure que la fonction 𝑓 n’est pas injective. À droite cependant, on peut voir que toute droite horizontale tracée sur la deuxième figure coupe la courbe représentative de 𝑔 en exactement un point. En faisant glisser une règle horizontale vers le haut et le bas de la courbe, on peut vérifier qu’aucune droite horizontale ne coupe plusieurs fois la courbe. Cela signifie que chaque élément de l’ensemble image de 𝑔 a exactement un antécédent dans son ensemble de définition. Et nous pouvons conclure que la fonction 𝑔 est injective.

Cette méthode s’appelle le test de la droite horizontale. Une fonction est injective si chaque droite horizontale coupe la courbe représentative de la fonction au plus une fois. Réciproquement, une fonction n’est pas injective s’il existe une droite horizontale qui coupe plusieurs fois sa courbe représentative. Celle méthode est similaire au test de la droite verticale utilisé pour vérifier si une relation est une fonction. Au lieu de droites verticales, on utilise des droites horizontales pour vérifier si une fonction répond à la définition d’injectivité.

Nous allons maintenant étudier un exemple où nous allons utiliser le test de la droite horizontale pour déterminer si une fonction est injective ou non.

Laquelle des courbes représentatives ci-dessous correspond à une fonction injective ?

Pour répondre à cette question, on rappelle le test de la droite horizontale, qui stipule qu’une fonction est injective si, et seulement si sa courbe représentative coupe chaque droite horizontale au plus une fois. Commençons par la courbe rouge. Notre objectif est de tracer, si possible, une droite horizontale qui coupe la courbe plus d’une fois, indiquant ainsi que la fonction n’est pas injective. On peut pour cela tracer la droite horizontale d’équation 𝑦 égale moins 10. On voit que cette droite horizontale coupe deux fois la courbe rouge. Nous pouvons donc conclure que la fonction représentée par la courbe rouge n’est pas injective.

On peut répéter ce processus pour la courbe verte en traçant la droite horizontale d’équation 𝑦 égale 10. Cette droite horizontale coupe trois fois la courbe verte. Nous pouvons donc également conclure que la fonction représentée par la courbe verte n’est pas injective. On fait de même pour la courbe jaune en traçant la droite horizontale d’équation 𝑦 égale deux. Cette droite horizontale coupe deux fois la courbe jaune. D’après le test de la droite horizontale, la fonction représentée par la courbe jaune n’est donc pas injective. Comme nous avons prouvé que les courbes rouge, verte et jaune ne représentent pas des fonctions injectives, cela suggère que la courbe représentative bleue correspond elle à une fonction injective. Effaçons donc les autres droites horizontales pour étudier cette fonction séparément.

On trace plusieurs droites horizontales en 𝑦 égale 20, 30, 40 et 50. Chacune de ces droites horizontales coupe la courbe bleue une et une seule fois. On peut vérifier que cela est vrai pour toute la courbe en faisant glisser une règle horizontale de haut en bas. Chaque droite horizontale couperait la courbe bleue au plus une fois. Nous pouvons donc conclure d’après le test de la droite horizontale que la fonction correspondant à la courbe représentative bleue est injective. C’est la seule des quatre courbes représentatives qui correspond à une fonction injective.

Dans cet exemple, nous avons utilisé le test de la droite horizontale pour déterminer si une courbe représentative correspondait à une fonction injective. Si on connaît l’expressions d’une fonction plutôt que sa courbe représentative, alors le test de la droite horizontale n’est pas la méthode idéale à appliquer car il nécessite un graphique précis. Voyons donc ce que nous pouvons faire dans ce cas. Nous allons commencerons par étudier le test de la droite horizontale appliqué à la fonction 𝑓 dont la courbe représentative est illustrée ici. Puisque la droite horizontale coupe la courbe représentative en trois points distincts, il y a trois valeurs 𝑥 un, 𝑥 deux et 𝑥 trois pour une seule image 𝑦 zéro telle que 𝑓 de 𝑥 un égale y zéro, 𝑓 de 𝑥 deux égale 𝑦 zéro et 𝑓 de 𝑥 trois est aussi égal à 𝑦 zéro.

Bien qu’il y ait dans ce cas plus de deux valeurs de 𝑥 ayant la même image, nous n’avons besoin d’en trouver que deux puisque si deux valeurs de x ont la même image, alors la fonction n’est pas injective. Cela peut être formellement énoncé comme suit. À partir de l’expression d’une fonction 𝑓, s’il existe deux valeurs distinctes dans l’ensemble de définition 𝑥 un et 𝑥 deux telles que 𝑓 de 𝑥 un est égal à 𝑓 de 𝑥 deux, alors 𝑓 n’est pas injective. En revanche, si 𝑓 de 𝑥 un égale 𝑓 de 𝑥 deux pour 𝑥 un et x deux appartenant à l’ensemble de définition implique que 𝑥 un est égal à 𝑥 deux, alors f est injective.

Dans le dernier exemple, nous allons utiliser cette définition pour identifier des fonctions injectives à partir de leurs expressions.

Laquelle des fonctions ci-dessous est injective ? Est-ce (A) 𝑓 de 𝑥 égale valeur absolue de 𝑥, (B) 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré, (C) 𝑓 de 𝑥 égale cinq, ou (D) 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus deux ?

Commençons par rappeler que 𝑓 n’est pas une fonction injective s’il existe deux valeurs distinctes de l’ensemble de définition, x un et 𝑥 deux, telles que f de 𝑥 un égale 𝑓 de 𝑥 deux. Considérons chaque option par rapport à cette condition. L’option (A) est la fonction valeur absolue. Et nous savons que deux nombres de signes opposés peuvent avoir la même valeur absolue. Par exemple, si on pose 𝑥 un égale moins deux et 𝑥 deux égale deux, alors 𝑓 de 𝑥 un est égal à valeur absolue de moins deux qui est égal à deux et 𝑓 de 𝑥 deux, la valeur absolue de deux, est aussi égale à deux. Puisque 𝑓 de moins deux est égal à 𝑓 de deux, la fonction valeur absolue de 𝑥 n’est pas injective.

On peut répéter ce raisonnement pour l’option (B), où 𝑓 de 𝑥 est la fonction carrée. Comme avec la fonction valeur absolue, deux nombres de signes opposés ont la même valeur au carré. Si on pose une fois de plus 𝑥 un égale moins deux et 𝑥 deux égale deux, alors f de 𝑥 un et f de 𝑥 deux sont tous les deux égaux à quatre. Car le carré de moins deux et le carré de deux sont tous les deux égaux à quatre. À nouveau, comme 𝑓 de 𝑥 un est égal à 𝑓 de 𝑥 deux, la fonction n’est pas injective.

Considérons maintenant la troisième option, 𝑓 de 𝑥 égale cinq. C’est une fonction constante. Quel que soit la valeur que nous entrons dans une fonction constante, l’image sera toujours la même. Dans ce cas, peu importe les valeurs que nous choisissons pour 𝑥 un et 𝑥 deux. 𝑓 de 𝑥 un et 𝑓 de 𝑥 deux seront toujours égaux à cinq. Cela signifie que 𝑓 de 𝑥 égale cinq n’est pas une fonction injective.

Terminons maintenant avec l’option (D), 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus deux. Afin de prouver que cette fonction est injective, on rappelle qu’une fonction est injective si 𝑓 de 𝑥 un égale 𝑓 de 𝑥 deux pour 𝑥 un et 𝑥 deux appartenant à l’ensemble de définition de 𝑓 implique que 𝑥 un est égal à 𝑥 deux. Si 𝑓 de 𝑥 un est égal à 𝑓 de 𝑥 deux pour la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus deux, alors 𝑥 un plus deux doit être égal à 𝑥 deux plus deux. En soustrayant deux aux deux membres de cette équation, on trouve 𝑥 un égale 𝑥 deux. Cela nous indique que 𝑓 de 𝑥 un égale 𝑓 de 𝑥 deux n’est possible que lorsque 𝑥 un est égal à 𝑥 deux.

Nous pouvons donc conclure que 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus deux est injective. La seule des fonctions de la liste qui est injective est la (D).

Bien que cela sorte du cadre de cette vidéo, cela nous amène à la propriété stipulant que toutes les fonctions affines sont injectives si le coefficient de la variable est différent de zéro.

Nous allons maintenant récapituler les points clés de cette vidéo. Une fonction est injective si chaque élément de l’ensemble image de la fonction correspond à au plus un antécédent dans l’ensemble de définition. Le test de la droite horizontale stipule qu’une fonction est injective si et seulement si chaque droite horizontale coupe la courbe représentative de la fonction au plus une fois. Une fonction 𝑓 est injective si 𝑓 de 𝑥 un égale 𝑓 de 𝑥 deux pour 𝑥 un et 𝑥 deux appartenant à l’ensemble de définition de 𝑓 implique que 𝑥 un est égal à 𝑥 deux. Enfin, 𝑓 n’est pas injective s’il existe deux valeurs distinctes 𝑥 un et 𝑥 deux dans l’ensemble de définition telles que 𝑓 de 𝑥 un égale 𝑓 de 𝑥 deux.