Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer si une fonction est une fonction injective.
On rappelle que la définition d’une fonction exige que chaque élément de son ensemble de définition soit associé exactement à un élément de son image. Pour qu’une fonction soit injective, elle doit également satisfaire cette affirmation en inversant les rôles de son ensemble de définition et de son image.
Définition : Fonction injective
Une fonction est injective si chaque élément de l’ensemble image de la fonction correspond exactement à un élément de l’ensemble de définition.
Avec la condition d’être une fonction, on peut dire qu’il y a une correspondance unique entre chaque élément de l’ensemble de définition et chaque élément de l’ensemble image d’une fonction injective. C'est pourquoi nous faisons aussi référence à une fonction injective comme une fonction biunivoque.
Sur la figure ci-dessus, deux fonctions et sont décrites par leurs diagrammes sagittaux. La fonction a deux éléments (4 et 5) dans son image. Bien que l’élément 4 de l’image ait exactement une flèche pointée vers lui correspondant à l’élément 3 de l’ensemble de définition, l’élément 5 de l’image a deux flèches différentes correspondant aux éléments 1 et 2 de l’ensemble de définition. Sachant que chaque élément de l’image doit correspondre exactement à un élément de l’ensemble de définition pour une fonction injective, on peut dire que n’est pas injective. En revanche, chaque élément de l’image de la fonction a exactement une flèche pointant vers lui, correspondant exactement à un élément de l’ensemble de définition. La fonction est donc injective.
Étudions un exemple où nous utilisons les diagrammes sagittaux de fonctions afin de déterminer si elles sont injectives.
Exemple 1: Somme de deux fonctions injectives
Vrai ou faux : si et sont deux fonctions injectives, alors doit être une fonction injective.
Réponse
On va montrer que cette affirmation est fausse à l’aide d’un contre-exemple.
On rappelle qu’une fonction est injective si chaque élément de l’image de la fonction correspond exactement à un élément de l’ensemble de définition. Dans les diagrammes sagittaux, cela signifie que chaque élément de l’image a exactement une flèche pointant vers lui.
On considère les fonctions et représentées par les diagrammes sagittaux ci-dessous :
Les deux fonctions et sont injectives, car chaque élément de l’image a exactement une flèche de l’ensemble de définition pointée vers lui. Quand on additionne et , on obtient le diagramme suivant.
En remarquant que les trois lignes de l‘image donnent la même valeur, le diagramme de est donné ci-dessous.
Comme l’élément 10 de l’image a trois flèches pointant vers lui, cet élément de l’image correspond à plus d’un des éléments de l’ensemble de définition. Par conséquent, la fonction n’est pas injective.
On a montré par un contre-exemple que l’affirmation donnée est fausse.
Nous pouvons facilement reconnaître les fonctions injectives à partir de leurs diagrammes sagittaux, mais comment les reconnaître à partir de leurs représentations graphiques dans le plan ? On sait que l’image d’une fonction est donnée par la portion de l’axe des ordonnées utilisée par sa représentation graphique, et que son ensemble de définition est donné par la portion de l’axe des abscisses utilisée par sa représentation graphique. Comme une fonction injective doit associer chaque élément de son ensemble image à un élément unique de son ensemble de définition, il doit y avoir exactement un point sur l’axe des abscisses dans l’ensemble de définition associé à chaque point sur l’axe des ordonnées dans son ensemble image.
On peut tester cette condition en traçant une droite horizontale pour chaque élément de l’image et en vérifiant combien de fois la courbe coupe la droite. S’il y a plus d’une intersection entre la droite horizontale et la courbe de la fonction, alors cet élément de l’image est associé à plus d’un élément de l’ensemble de définition. Dans ce cas, la fonction n’est pas injective. Étudions deux exemples.
Pour la fonction sur le premier diagramme, on peut tracer une droite horizontale pour l’élément 2 de l’image qui coupe la courbe de plus d’une fois. Plus précisément, l’élément 2 de l’image correspond aux trois éléments distincts de l’ensemble de définition , 0 et 3. Par conséquent, la fonction n’est pas injective. En revanche, on peut voir que toute droite horizontale tracée sur la représentation graphique de dans le deuxième diagramme coupe la courbe en un seul point. En faisant glisser une règle horizontalement vers le haut et le bas sur la représentation graphique, on peut vérifier qu’il n’y a pas de droite horizontale qui coupe la courbe plus d’une fois. Cela signifie que chaque élément de l’image de correspond exactement à un élément de son ensemble de définition. Par conséquent, la fonction est injective. Ce processus s’appelle le test de la droite horizontale.
Théorème : Test de la droite horizontale
Une fonction est injective si chaque droite horizontale coupe la courbe de la fonction au plus une fois.
Une fonction n’est pas injective s’il existe une droite horizontale qui coupe sa courbe plus d’une fois.
Cela est similaire au test de la droite verticale utilisé pour vérifier la définition d’une fonction. Au lieu de droites verticales, on utilise des droites horizontales pour vérifier si une fonction satisfait à la définition d’injectivité.
On note qu’il n’y a pas de référence à l’image de la fonction dans le test de la droite horizontale. Si une droite horizontale donnée n’appartient pas à un élément de l’image, alors elle ne coupera pas la courbe, il est donc possible qu’une droite horizontale coupe la représentation graphique d’une fonction injective zéro fois. En d’autres termes, la condition de l’injectivité est que la courbe de la fonction coupe chaque droite horizontale au plus une fois.
Étudions quelques exemples où nous utilisons le test de la droite horizontale pour déterminer si une fonction est injective ou non.
Exemple 2: Identifier une fonction injective à partir de sa représentation graphique
La fonction représentée sur le graphique est-elle une fonction injective ?
Réponse
On rappelle que le test de la droite horizontale stipule qu’une fonction est injective si et seulement si sa représentation graphique coupe chaque droite horizontale au plus une fois. On utilise le test de la droite horizontale sur la représentation graphique donnée.
Sur la figure ci-dessus, on a tracé une droite horizontale qui coupe la courbe en trois points différents : quand , quand est proche de 0, et quand . Cela signifie que la fonction échoue au test de la droite horizontale.
Par conséquent, la fonction donnée n’est pas injective.
Étudions un autre exemple d’application du test de la droite horizontale pour nous familiariser avec différents contextes.
Exemple 3: Identifier des fonctions injectives à partir de leurs représentations graphiques
Quelle représentation graphique parmi celles tracées ci-dessous est celle d’une fonction injective ?
Réponse
On rappelle que le test de la droite horizontale stipule qu’une fonction est injective si et seulement si sa représentation graphique coupe chaque droite horizontale au plus une fois.
Commençons par la représentation graphique rouge. Notre objectif est de tracer, si possible, une droite horizontale qui coupe la représentation graphique plus d’une fois, indiquant ainsi que la fonction n’est pas injective.
Sur la figure ci-dessus, on a tracé une droite horizontale qui coupe deux fois la courbe rouge. La fonction représentée par la courbe rouge n’est donc pas injective.
De même, dans la deuxième figure, on peut tracer une droite horizontale coupant la courbe verte trois fois. La fonction représentée par la courbe verte n’est donc pas injective.
Dans la troisième figure, on peut tracer une droite horizontale coupant deux fois la courbe jaune ; d’après le test de la droite horizontale, la fonction représentée par la courbe jaune n’est donc pas injective.
Enfin, dans la quatrième figure, on a tracé plusieurs droite horizontales pour en chercher une qui coupe la courbe bleue plusieurs fois, mais on n’a trouvé aucune droite satisfaisant cela. En faisant glisser une règle horizontale de haut en bas sur la représentation graphique, on peut être sûr qu’aucune droite horizontale de ce type n’existe. Chaque droite horizontale coupe la courbe bleue au plus une fois ; d’après le test de la droite horizontale, la fonction représentée par la courbe bleue est donc injective.
Par conséquent, seule la courbe bleue représente une fonction injective.
Dans les deux exemples précédents, nous avons utilisé le test de la droite horizontale pour déterminer si un graphique donné représente une fonction injective. Si on connaît les expressions algébriques des fonctions au lieu de leurs représentations graphiques, alors le test de la droite horizontale n’est pas la méthode idéale à appliquer car il nécessite une représentation graphique précise.
On peut cependant appliquer le test de la droite horizontale de manière algébrique comme expliqué ci-dessous. Dans le test de la droite horizontale, on cherche une droite horizontale qui coupe la représentation graphique en plus d’un point. On considère l’application du test de la droite horizontale pour la fonction dans le graphique ci-dessous.
Puisqu’une telle droite horizontale existe, c’est-à-dire une droite qui coupe la courbe en plus d’un point, il existe au moins deux valeurs, par exemple et , pour une valeur unique telles que
Il est possible, comme dans le graphique ci-dessus, qu’il y ait plus de deux valeurs de correspondant à une seule valeur de ; cependant, il suffit de trouver deux points de ce type, car si deux valeurs de correspondent à la même valeur de , alors la fonction donnée n’est pas injective. Nous énonçons la méthode suivante.
Comment identifier des fonctions injectives de manière algébrique
Soit l’expression algébrique d’une fonction ,
- s’il existe deux valeurs différentes de dans l’ensemble de définition, par exemple et , satisfaisant , alors n’est pas injective ;
- la fonction est injective si les conditions et et appartiennent à l’ensemble de définition impliquent que .
Étudions un exemple où nous identifions des fonctions injectives à partir de leurs expressions algébriques.
Exemple 4: Identifier des fonctions injectives
Laquelle des fonctions suivantes est injective ?
Réponse
On rappelle qu’une fonction n’est pas injective s’il existe deux valeurs différentes dans l’ensemble de définition, par exemple et , telles que
On étudie chaque réponse possible en fonction de cette condition.
- La fonction est la fonction valeur absolue. On sait que deux nombres de même grandeur mais de signes opposés ont la même valeur absolue. Par exemple, si on choisit et , alors Comme , n’est pas injective.
- La fonction est la fonction carrée. Tout comme la fonction valeur absolue, deux nombres de même grandeur mais de signes opposés ont la même valeur au carré. Par exemple, si on choisit et , alors Comme , n’est pas injective.
- La fonction est une fonction constante. Quel que soit le nombre en entrée d’une fonction constante, la sortie est toujours la même. Par exemple, si on choisit et , alors Comme , n’est pas injective.
- On rappelle qu’une fonction est injective si les conditions et et appartiennent à l’ensemble de définition de impliquent que .
On suppose que pour la fonction . Alors
En soustrayant 2 aux deux membres de l’équation, on voit que cette condition implique . Cela indique que n’est possible que lorsque . Donc, dans ce cas, est injective.
Par conséquent, la seule fonction injective de la liste donnée est D.
Étudions un exemple où nous identifions des fonctions injectives avec des ensembles de définitions restreints.
Exemple 5: Identifier des fonctions injectives avec des ensembles de définitions restreints
Laquelle des fonctions suivantes n’est pas injective sur l’intervalle ?
Réponse
On rappelle qu’une fonction est injective si les conditions
- ;
- et appartiennent à l’ensemble de définition de
impliquent que . En revanche, on peut dire que n’est pas injective si on peut trouver deux et distincts dans son ensemble de définition tels que satisfaisant
On étudie chaque réponse en fonction de cette condition.
- La fonction est la fonction valeur absolue. Notez que l’ensemble de définition de la fonction est restreint à dans cet exemple ; c’est-à-dire . Si , alors on remarque que Donc, si et , alors on doit avoir . Cela implique que est injective sur l’intervalle .
- La fonction est la fonction carrée. Si , alors On peut factoriser cette équation en utilisant l’identité remarquable : pour toutes constantes et , Donc, l’équation peut être écrite comme Pour que cette équation soit valide, on doit avoir Comme et appartiennent à et sont donc non négatifs, la deuxième équation n’est possible que si et sont tous les deux égaux à zéro. D’un autre côté, la première équation implique que . Dans tous les cas, on doit avoir . Par conséquent, est injective sur l’intervalle .
- La fonction est une fonction constante. Quel que soit le nombre en entrée d’une fonction constante, la sortie est toujours la même. Par exemple, si on choisit et , alors Comme et , la fonction n’est pas injective sur .
- On suppose que pour la fonction . Donc En soustrayant 4 aux deux membres de l’équation, on obtient En divisant les deux membres de cette équation par 2, cela donne . Cela est vrai pour tous , appartenant à , donc cela doit aussi être vrai pour . Par conséquent, est injective sur l’intervalle .
- On suppose que pour la fonction . Donc Comme , les dénominateurs aux deux membres de l’équation sont strictement positifs. Le produit en croix de l’équation donne En soustrayant 1 aux deux membres de l’équation, on obtient Par conséquent, est injective sur l’intervalle .
Par conséquent, la seule fonction de la liste qui n’est pas injective sur est , soit la réponse C.
Dans notre dernier exemple, nous allons examiner l’injectivité de fonctions trigonométriques en utilisant leurs représentations graphiques.
Exemple 6: Déterminer l’injectivité d’une fonction trigonométrique
Déterminez si est une fonction injective dans chacun des cas suivants.
Réponse
On rappelle que le test de la droite horizontale stipule qu’une fonction est injective si sa courbe coupe chaque droite horizontale au plus une fois.
On commence par représenter graphiquement avec précision. On sait que est une fonction périodique de période . On sait aussi que quand et quand . On a donc la représentation graphique suivante de .
On applique le test de la droite horizontale à cette représentation graphique.
Comme la droite horizontale donnée coupe la courbe plus d’une fois dans l’intervalle illustré, on peut conclure que la fonction n’est pas injective pour . On remarque en fait que sur , la droite horizontale coupe la courbe une infinité de fois parce que est périodique.
En revanche, si on limite l’ensemble de définition à , alors on a la représentation graphique suivante.
On applique le test de la droite horizontale sur cette représentation graphique.
En faisant glisser une règle horizontalement vers le haut et vers le bas sur la représentation graphique, on peut voir que toute droite horizontale coupe la courbe au plus une fois. Par conséquent, la fonction est injective pour .
Ainsi, la fonction n’est pas injective pour , mais elle est injective pour .
Résumons quelques concepts importants de ce document explicatif.
Points clés
- Une fonction est injective si chaque élément de l’image de la fonction correspond exactement à un élément de l’ensemble de définition.
- Le test de la droite horizontale stipule qu’une fonction est injective si et seulement si chaque droite horizontale coupe la courbe de la fonction au plus une fois.
- Une fonction est injective si les conditions
- ;
- et appartiennent à l’ensemble de définition de
- La fonction n’est pas injective si on peut trouver deux et distincts dans son ensemble de définition satisfaisant
