Transcription de la vidéo
Les trois courbes représentatives sur la figure ci-dessous représentent respectivement la position d’une particule, sa vitesse et son accélération en fonction du temps. Identifiez chaque courbe représentative.
Nous avons donc trois courbes ici, une courbe rouge, une courbe bleue et une courbe verte. Pour déterminer à quoi correspond chaque courbe, commençons par faire le lien entre la position ou déplacement, la vitesse et l’accélération. Soient 𝑟 la position d’une particule à l’instant 𝑡, 𝑣 la vitesse et 𝑎 l’accélération. Nous savons que la vitesse d’un objet est le taux de variation de sa position, nous pouvons donc dériver 𝑟 par rapport à 𝑡 pour obtenir la vitesse.
Graphiquement, nous savons que la dérivée d’une fonction correspond à la pente de sa courbe en ce point. On peut donc dire que la vitesse correspond à la pente de 𝑟. De même, l’accélération est le taux de variation de la vitesse par rapport au temps. Et donc nous pouvons dire que la pente de la courbe représentative de 𝑣 doit être l’accélération. Nous allons donc commencer par choisir une des courbes.
Commençons par la courbe rouge. Cela ressemble à la courbe d’une fonction du second degré. C’est une parabole. Nous allons examiner la pente de cette courbe. Au début, la pente est négative. Elle reste négative pendant un certain temps, mais elle est de moins en moins raide, ce qui signifie que la valeur de la pente augmente. À environ 3,5 unités de temps, la pente est égale à zéro. Elle continue ensuite d’augmenter. Nous pouvons donc dire que la pente de la courbe rouge est négative jusqu’à 3,5 unités de temps puis positive. Et elle semble augmenter régulièrement.
Alors, laquelle des courbes correspond à cette description ? Eh bien, si nous regardons la courbe verte, nous voyons qu’elle est d’abord négative et qu’elle augmente régulièrement jusqu’à 3,5 unités de temps où elle vaut exactement zéro. Et puis elle devient positive. On peut donc dire que la courbe verte correspond à la pente de la courbe rouge. Ce n’est toujours pas suffisant, alors regardons maintenant la courbe bleue.
La pente de la courbe bleue est initialement positive. Elle diminue jusqu’à devenir égale à zéro, à deux unités de temps. La courbe a ensuite une pente négative jusqu’au point 𝑡 égale cinq où la pente continue d’augmenter et devient positive. Nous décrivons donc la pente de la courbe bleue comme étant positive jusqu’à 𝑡 égale deux, négative jusqu’à 𝑡 égale cinq, puis à nouveau positive. Si nous regardons le graphique, nous voyons que cela correspond à la courbe rouge. Nous voyons qu’en 𝑡 égale deux, la courbe passe par zéro et donc qu’elle passe de positive à négative. Ensuite, à 𝑡 égale cinq, l’inverse se produit. Et donc on peut dire que la courbe rouge correspond à la pente de la courbe bleue.
Alors, comment cela nous aide-t-il ? Eh bien, nous savons que la pente de 𝑟, la position, nous donne 𝑣 la vitesse. Ensuite, la pente de 𝑣 nous donne 𝑎, l’accélération. La pente de la courbe d’accélération ne nous dit rien sur les autres courbes. Nous avons vu que nous n’avions pas besoin de considérer la pente de la courbe verte, donc la courbe accélération-temps doit être représentée par la courbe verte.
Nous avons dit que la courbe verte représente la pente de la courbe rouge. Donc, le graphique vitesse-temps doit correspondre à la courbe rouge. Il nous reste la courbe distance-temps, qui est représentée par la courbe bleue.
Et nous avons donc identifié toutes les courbes. La courbe distance-temps correspond à la courbe bleue, la courbe vitesse-temps à la courbe rouge et la courbe accélération-temps à la courbe verte.
