Fiche explicative de la leçon: Graphique vitesse-temps Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons comment calculer le déplacement ou l’accélération d’une particule se déplaçant en ligne droite à partir de son graphique vitesse-temps.

Imaginez un objet qui se déplace avec un vecteur vitesse constante, , sur une période de temps allant de à .

Un graphique du vecteur vitesse de l’objet en fonction du temps pourrait ressembler à ceci.

Comme le vecteur vitesse est constant, le graphique montre une droite horizontale. Quelle est la variation du déplacement de l’objet sur l’intervalle de temps indiqué ? Rappelons que pour un objet qui se déplace avec un vecteur vitesse constante, , sur un intervalle de temps , la variation du déplacement de l’objet, , est donnée par la formule

L’objet sur le graphique ci-dessus se déplace à un vecteur vitesse de 12 m/s pendant une durée de 10 s de sorte qu’il se déplace d’une distance de dans le sens de son mouvement. Remarquez que cela est par ailleurs égal à l’aire entre la droite et l’axe des .

Une autre question que nous pourrions poser est « Quelle est l’accélération de l’objet dans l’intervalle de temps indiqué ?  » Étant donné que l’objet se déplace avec un vecteur vitesse constante, nous savons que son accélération est nulle, de sorte que nous pouvons dire que lorsqu’un segment ou une droite sur un graphique vitesse-temps est horizontale, l’accélération est nulle.

Maintenant, imaginons un objet qui se déplace avec un vecteur vitesse qui croît de façon constante pendant une période allant de à . Un graphique du vecteur vitesse de l’objet en fonction du temps pourrait ressembler à ceci.

Étant donné que le vecteur vitesse augmente régulièrement au fil du temps, le graphique montre une droite, qui n’est pas horizontale. Comme le vecteur vitesse n’est pas constant, nous ne pouvons pas utiliser exactement la même formule que précédemment pour déterminer la variation du déplacement de l’objet. Cependant, nous pourrions utiliser la même formule si nous devions trouver le vecteur vitesse moyenne de l’objet, . Dans ce cas, le vecteur vitesse moyenne de l’objet est juste égale au vecteur vitesse initiale, , plus le vecteur vitesse finale, divisé par deux : 

Dans ce cas, le vecteur vitesse initiale est 12 m/s et le vecteur vitesse finale est 18 m/s, de sorte que le vecteur vitesse moyenne est égale à . Nous pouvons maintenant utiliser la formule pour la variation du déplacement de l’objet que nous avons utilisée auparavant : 

Mais une autre façon de voir cela est avec l’aire entre la droite et l’axe des , ou l’aire sous la droite. La variation du déplacement est égale à l’aire sous la droite. On peut trouver l’aire sous la droite plus facilement en la divisant en deux régions, comme suit.

La région bleue est un rectangle, de sorte que son aire est égale à sa hauteur, 12 m/s multiplié par sa largeur, 10 s, ce qui vaut 120 m. La région rouge est un triangle rectangle, de sorte que son aire est égale à sa hauteur, 6 m/s multiplié par sa largeur, 10 s, divisé par deux, ce qui vaut 30 m. Ainsi, l’aire totale vaut .

Puisque que nous avons dit que le vecteur vitesse augmente de façon constante au cours du temps, l’accélération de l’objet est constante, donc on peut dire que lorsque le graphique vitesse-temps est une droite ou un segment, l’accélération est constante. Puisque la pente monte vers la droite, l’objet accélère, mais si elle descend vers la droite, alors il décélère.

Voyons quelques exemples.

Exemple 1: Déterminer la variation du déplacement d’un objet sur un intervalle de temps donné à partir d’un graphique vitesse-temps

Le graphique vitesse-temps donné représente une particule se déplaçant en ligne droite. Déterminer son déplacement à .

Réponse

Ce graphique nous montre le vecteur vitesse de la particule pendant 7 secondes, mais nous ne sommes intéressés que par les premières deux secondes. La courbe sur le graphique est une droite qui monte vers la droite ; cela signifie que l’objet a une accélération constante, non nulle.

Pour déterminer la variation du déplacement de la particule entre 0 s et 2 s, il suffit de trouver l’aire entre la droite et l’axe des entre et .

Comme cette région est un triangle, l’aire est égale à la variation du vecteur vitesse, , fois l’intervalle de temps, divisé par deux : 

Cette aire est égale à la variation du déplacement de la particule. Puisque l’unité du vecteur vitesse est le centimètres par seconde et l’unité du temps est la secondes, cette valeur pour le déplacement est en centimètre, de sorte que la variation du déplacement de la particule est de 30 cm.

Jusqu’à présent, nous n’avons considéré que des vecteurs vitesses positives. Si le vecteur vitesse de l’objet était négatif et que la norme du vecteur vitesse augmente de façon constante avec le temps, un graphique du vecteur vitesse ressemblerait à ce qui suit.

Dans ce cas, comme le vecteur vitesse est négatif sur l’intervalle de temps indiqué, la variation du déplacement sur cet intervalle de temps est également négative. Nous pouvons à nouveau trouver la variation du déplacement en déterminant l’aire de la région ombrée sur le graphique, mais nous devons ensuite multiplier cette aire par pour obtenir la variation du déplacement :  mais comme le vecteur vitesse est négatif, nous devons multiplier par  : 

Nous avons donc maintenant considéré ce que nous devons faire si le vecteur vitesse est négatif pendant un intervalle de temps, mais qu’en est-il si le vecteur vitesse passe de positif à négatif ? Le graphique ci-dessous montre un vecteur vitesse d’un objet d’abord positif avant de devenir négatif.

La droite traverse l’axe des en  ; c’est à ce moment, lorsque le vecteur vitesse passe de positif à négatif, que l’objet change de sens. L’objet commence à se déplacer dans un sens puis il commence à se déplacer dans le sens opposé.

Dans les premières dix secondes de son mouvement, le déplacement de l’objet augmente, mais dans les dernières dix secondes, comme l’objet se déplace dans le sens opposé, son déplacement doit être décroissant. Cela signifie que pour trouver la variation du déplacement sur l’ensemble de l’intervalle de temps allant de à , on doit soustraire l’aire entre la droite et l’axe des qui est sous l’axe des (la région rouge) à l’aire entre la droite et l’axe des qui est au-dessus de l’axe des (la région bleue). Dans ce cas, comme l’aire de la région rouge est égale à l’aire de la région bleue, la variation du déplacement de l’objet sur cet intervalle de temps de 20 seconde serait égale à zéro.

Voyons un autre exemple.

Exemple 2: Déterminer le déplacement d’une particule à l’aide d’un graphique vitesse-temps

Étant donné le graphique vitesse-temps d’une particule se déplaçant en ligne droite, déterminer le déplacement de la particule dans l’intervalle de temps .

Réponse

La question porte sur le déplacement entre et , donc nous pouvons tout ignorer sur le graphique après .

Entre et , le vecteur vitesse est positif, de sorte que la variation du déplacement dans cet intervalle de temps est également positive. Entre et , le vecteur vitesse est négatif, de sorte que la variation du déplacement dans cet intervalle de temps est également négative. Afin de trouver le déplacement de la particule, nous devons soustraire l’aire entre la droite et l’axe des pour l’intervalle à l’aire entre la droite et l’axe des pour l’intervalle .

Commençons par trouver l’aire entre la droite et l’axe des pour l’intervalle . Cette région est un triangle, donc son aire, , est donnée par

Maintenant, déterminons l’aire entre la droite et l’axe des pour l’intervalle . Cette région est un trapèze, donc son aire, , est donnée par

Alors, le déplacement est donné par

Puisque a été donné en mètres par seconde et a été donné en secondes, cette valeur pour le déplacement est en mètres.

Jusqu’à présent, nous avons seulement regardé comment trouver le déplacement à partir d’un graphique vitesse-temps. Pour déterminer le déplacement, on additionne les aires entre la droite et l’axe des qui sont au-dessus de l’axe des et soustrait à cela toutes les aires entre la droite et l’axe des qui sont en dessous de l’axe des .

Cependant, si à la place nous voulions trouver la distance totale parcourue par un objet à partir de son graphique vitesse-temps, nous ajouterions plutôt toutes les aires entre la droite et l’axe des , qu’ils soient au-dessus ou en dessous de l’axe.

Exemple 3: Déterminer la distance parcourue par une particule à l’aide d’un graphique vitesse-temps

Étant donné le graphique vitesse-temps d’une particule se déplaçant en ligne droite, déterminer la distance parcourue par la particule dans l’intervalle de temps .

Réponse

Cette question porte uniquement sur l’intervalle de temps , donc nous pouvons tout ignorer sur le graphique après .

Pour calculer la distance totale parcourue, il suffit d’additionner les aires entre la droite et l’axe des entre et .

La région entre la droite et l’axe des dans l’intervalle est un triangle, de sorte que son aire, que nous appellerons , est égale à sa hauteur multipliée par sa largeur divisé par deux : 

La région entre la droite et l’axe des dans l’intervalle est un trapèze, de sorte que son aire, que nous appellerons , est égale à sa largeur moyenne multipliée par sa hauteur : 

La distance totale parcourue est égale à l’aire totale : 

Ainsi, la distance totale parcourue par l’objet dans l’intervalle de temps est 30 m.

On peut aussi calculer l’accélération de l’objet sur chaque segment du graphique vitesse-temps. Sur l’intervalle de temps pour lequel la courbe est un segment, l’accélération est constante et est égale à la variation du vecteur vitesse, , divisé par l’intervalle de temps,  :  où est l’accélération.

Exemple 4: Déterminer l’accélération d’un objet à partir de sa courbe vitesse-temps

Étant donné le graphique vitesse-temps d’une particule qui se déplace en ligne droite, déterminer son accélération à .

Réponse

La courbe est droite sur tout l’intervalle de temps indiqué, de sorte que l’accélération est constante sur tout l’intervalle de temps.

On peut utiliser la formule où est l’accélération, est la variation du vecteur vitesse sur l’intervalle de temps, et est l’intervalle de temps, pour déterminer l’accélération de l’objet.

D’après le graphique, nous pouvons voir que le vecteur vitesse de l’objet augmente de 0 cm/s à 210 cm/s, et l’intervalle de temps dure 10 secondes, donc et comme l’accélération est constante tout au long de l’intervalle de temps représenté sur le graphique, l’accélération de l’objet en est 21 cm/s².

Exemple 5: Déterminer l’accélération d’un objet à partir de sa courbe vitesse-temps

La figure ci-dessous est un graphique vitesse-temps pour un corps qui se déplace en ligne droite. Déterminer la décélération du corps pendant la dernière section de son mouvement, sachant qu’il est au repos 100 secondes après avoir commencé à se déplacer.

Réponse

Nous ne sommes intéressés que par la dernière section du mouvement de l’objet, qui se situe entre 90 s et 100 s, et on peut tout ignorer en dehors de cela.

Dans l’intervalle de temps , le graphique est un segment, de sorte que l’accélération est constante. Cela signifie que nous pouvons utiliser la formule où est l’accélération, est la variation du vecteur vitesse sur l’intervalle de temps, et est l’intervalle de temps, pour déterminer l’accélération de l’objet.

D’après le graphique, nous pouvons voir que le vecteur vitesse de l’objet diminue de 45 m/s à 0 m/s, qui est un changement de , et l’intervalle de temps dure 10 secondes, donc

L’accélération de l’objet dans la dernière partie de son mouvement est , ce qui équivaut à une décélération de .