Vidéo de la leçon: Représentations Graphiques du Vecteur Vitesse en Fonction du Temps Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment calculer le déplacement ou l’accélération d’une particule dont le mouvement est linéaire à partir de la représentation graphique de son vecteur vitesse en fonction du temps.

Nous allons commencer par rappeler les caractéristiques clés d’une représentation graphique du vecteur vitesse en fonction du temps. Le vecteur vitesse d’un objet est sa vitesse dans une direction et un sens spécifique. Il peut donc avoir des valeurs positives ou négatives. On le mesure généralement en mètres par seconde, mais également en kilomètres par heure ou en miles par heure. Une représentation graphique du vecteur vitesse en fonction du temps illustre donc la vitesse et le sens qu’un objet parcourt pendant un laps de temps. Lorsque le vecteur vitesse est en mètres par seconde, le temps est en secondes. De même, si le vecteur vitesse était en milles par heure ou en kilomètres par heure, le temps serait en heures.

L’axe vertical ou des 𝑦 représente le vecteur vitesse, et l’axe horizontal représente le temps. Alors que le vecteur vitesse peut être positifs et négatifs, le temps ne peut qu’avoir des valeurs positives. Nous allons maintenant voir comment utiliser une représentation graphique du vecteur vitesse pour calculer l’accélération et le déplacement d’un objet. Considérons tout d’abord l’accélération sur une représentation graphique du vecteur vitesse en fonction du temps. Lorsque le vecteur vitesse est en mètres par seconde, l’accélération est en mètres par seconde carrée ou en mètres par seconde par seconde. On peut écrire cela d’une de ces deux façons. L’accélération est la pente ou le gradient de la représentation graphique. Et dans cette vidéo, nous n’allons traiter que des représentations graphiques affines.

On peut donc calculer l’accélération en divisant la variation du vecteur vitesse par la variation du temps. C’est la même chose que la variation de 𝑦 par rapport à la variation de 𝑥 ou la hausse sur la durée. Si on considère la droite illustrée, on peut calculer l’accélération en créant un triangle rectangle. La variation du vecteur vitesse est étiquetée 𝑦, et la variation du temps est étiquetée 𝑥. Le vecteur vitesse est passé de deux mètres par seconde à six mètres par seconde, on doit donc soustraire deux de six. Le temps est passé de zéro à six secondes. Six moins deux est égal à quatre, et six moins zéro est égal à six. Lorsqu’on divise le numérateur et le dénominateur par deux, cette fraction devient deux tiers.

L’accélération du corps représenté est de deux tiers mètres par seconde carrée ou de deux tiers mètres par seconde par seconde. On divise une unité en mètres par seconde par une unité en secondes. Dans cet exemple, notre droite a une pente ou un gradient positif. Cela signifie que l’objet accélère. Si la pente ou le gradient de la droite est négatif, l’objet décélère. Cela signifie qu’il aura une accélération négative. Si la représentation graphique du vecteur vitesse est une droite horizontale, l’accélération est zéro. Cela signifie que l’objet se déplace avec un vecteur vitesse constante. Nous allons maintenant voir comment calculer le déplacement sur une représentation graphique du vecteur vitesse.

L’aire entre la droite et l’axe des 𝑥 représente le déplacement de l’objet. Si l’aire est au-dessus de l’axe des 𝑥, alors le déplacement est positif. Cependant, si l’aire est au-dessous de l’axe des 𝑥, le déplacement est négatif. On peut utiliser les valeurs du déplacement sur une représentation graphique du vecteur vitesse en fonction du temps pour calculer la distance totale parcourue. Afin de faciliter le calcul du déplacement, on peut diviser la représentation graphique en triangles, rectangles et trapèzes. Nous allons maintenant voir quelques exemples de représentations graphiques du vecteur vitesse en fonction du temps.

Utilisez la représentation graphique du vecteur vitesse ci-dessous pour déterminer le vecteur vitesse après cinq secondes et le laps de temps pendant lequel le vecteur vitesse est de cinq mètres par seconde.

Dans une représentation graphique du vecteur vitesse en fonction du temps, on a le vecteur vitesse sur l’axe vertical ou des 𝑦 et le temps sur l’axe horizontal ou des 𝑥. La première partie de cette question nous demande de calculer le vecteur vitesse après cinq secondes. On peut tracer une droite verticale vers le haut à cinq secondes. Une fois qu’on atteint la représentation graphique, on trace une droite horizontale jusqu’à l’axe des 𝑦. Cela nous donnera le vecteur vitesse après cinq secondes. C’est à mi-chemin entre deux et trois mètres par seconde. On peut donc conclure qu’après cinq secondes, le vecteur vitesse est de 2,5 mètres par seconde.

La deuxième partie de notre question nous demande de trouver le lapse de temps pendant lequel le vecteur vitesse est de cinq mètres par seconde. Cela se produit pendant la partie horizontale de la courbe. Pendant cette période, l’objet a un vecteur vitesse constante. Cela signifie qu’il n’a accélère pas. Bien que cela ne soit pas pertinent pour cette question, lorsque la droite est en pente ascendante de gauche à droite, l’objet a une accélération positive, et quand elle est en pente descendante, l’objet a une accélération négative. On peut constater que le corps se déplace à cinq mètres par seconde entre deux points. L’un d’eux est à 10 secondes, et l’autre est à mi-chemin entre 20 et 25 secondes. 22,5 est le milieu entre 20 et 25. Par conséquent, l’objet est à cinq mètres par seconde entre 10 secondes et 22,5 secondes.

Les bonnes réponses sont donc de 2,5 mètres par seconde et l’inégalité 𝑡 est supérieure ou égale à 10 secondes et inférieure ou égale à 22,5 secondes.

Nous allons maintenant examiner quelques questions dans lesquelles on doit calculer l’accélération ou le déplacement d’un objet.

La représentation graphique du vecteur vitesse ci-dessous représente une particule en mouvement rectiligne. Déterminez son déplacement lorsque 𝑡 est égal à deux secondes.

Le déplacement d’une particule correspond à sa distance par rapport à l’origine ou au point de départ. Lorsqu’on a une représentation graphique du vecteur vitesse, on sait que le déplacement est l’aire entre la représentation graphique et l’axe des 𝑥. Dans cette question, nous devons calculer le déplacement lorsque 𝑡 est égal à deux secondes. Pour ce faire, on trace une droite verticale à partir de deux sur l’axe des 𝑥 ou l’axe horizontal. Cela crée un triangle rectangle. Le déplacement de la particule sera l’aire de ce triangle. Pour calculer l’aire d’un triangle, on multiplie la base par la hauteur, puis on divise par deux. La base de notre triangle est deux et sa hauteur est 30. On multiplie donc deux par 30, puis on divise par deux. Cela est égal à 30.

Le vecteur vitesse dans cette question est en centimètres par seconde, et le temps est en secondes. Cela signifie que le déplacement sera en centimètres. Le déplacement de la particule lorsque 𝑡 est égal à deux secondes est de 30 centimètres.

La question suivante implique une représentation graphique du vecteur vitesse avec des vecteurs vitesses positifs et négatifs.

Étant donné la représentation graphique du vecteur vitesse d’une particule en mouvement rectiligne, déterminez la distance parcourue par la particule dans l’intervalle de temps de zéro à huit.

Rappelons que dans une représentation graphique du vecteur vitesse en fonction du temps, le déplacement est l’aire entre la représentation graphique et l’axe des 𝑥. Le déplacement peut être à la fois positif et négatif. Si l’aire est au-dessus de l’axe des 𝑥, le déplacement est positif. Et si elle est au-dessous de l’axe des 𝑥, le déplacement est négatif. Dans cette question, on nous demande la distance. Cela signifie que nous allons prendre la valeur absolue des déplacements et les additionner. La valeur de notre distance doit être positive. Puisqu’on considère l’intervalle de temps de zéro à huit secondes, une partie de notre courbe est au-dessus de l’axe des 𝑥 et une partie est au-dessous.

Pour calculer la distance parcourue par la particule, on doit calculer l’aire du triangle, l’aire du trapèze et additionner nos réponses. Si on calculait plutôt le déplacement, on aurait soustrait l’aire du trapèze de l’aire du triangle. On calcule l’aire d’un triangle en multipliant la base par la hauteur, puis on divise par deux. La base de notre triangle est un et sa hauteur est cinq. Nous devons multiplier ces nombres, puis les diviser par deux. Cinq divisé par deux est égal à 2,5. Puisque le vecteur vitesse est en mètres par seconde et le temps est en secondes, la distance et le déplacement dans cette question seront en mètres. La particule a parcouru une distance de 2,5 mètres de zéro à une seconde.

Pour calculer l’aire d’un trapèze, on additionne les longueurs des côtés parallèles, on divise par deux et on multiplie par la hauteur. Les côtés parallèles du trapèze ont des longueurs de sept et quatre. La hauteur du trapèze ou la distance entre les côtés parallèles est de cinq. 11 divisé par deux est égal à 5,5. Et lorsqu’on multiplie par cinq on a 27,5. La distance parcourue entre une et huit secondes est de 27,5 mètres. Si on calculait le déplacement, ce serait moins 27,5 car c’est au-dessous de l’axe des 𝑥. On peut calculer la distance totale parcourue par la particule en additionnant 2,5 et 27,5. Cela est égal à 30 mètres.

La dernière question que nous allons examiner concerne l’accélération sur une représentation graphique du vecteur vitesse en fonction du temps.

La figure illustrée est une représentation graphique du vecteur vitesse en fonction du temps d’un corps en mouvement rectiligne. Déterminez la décélération du corps pendant la dernière partie de son mouvement, sachant qu’il s’arrête 100 secondes après le début du mouvement.

Nous savons que l’accélération sur une représentation graphique du vecteur vitesse est égale à sa pente ou son gradient. On peut donc calculer l’accélération en un point en divisant la variation du vecteur vitesse par la variation du temps. Dans cette question, le vecteur vitesse est en mètres par seconde, et le temps est en secondes. Lorsqu’on divise mètres par seconde par secondes, on peut écrire cela comme mètres par seconde au carré.

Lorsque la pente ou le gradient de la courbe est positif, le corps accélère. Lorsque la pente ou le gradient de la courbe est négatif, le corps décélère. Enfin, s’il y a une droite horizontale sur la représentation graphique du vecteur vitesse, l’accélération est égale à zéro et le vecteur vitesse du corps est constant. Dans cette question, nous nous intéressons à la décélération dans la dernière partie de la représentation graphique. Cela se produit entre 90 secondes et 100 secondes. Le vecteur vitesse pendant ce laps de temps passe de 45 mètres par seconde à zéro mètre par seconde. Cela signifie que la variation du vecteur vitesse est égale à zéro moins 45.

Comme mentionné, le laps de temps va de 90 secondes à 100 secondes. Par conséquent, la variation du temps est de 100 moins 90. On peut simplifier cela et avoir moins 45 sur 10. Lorsqu’on divise par 10, on déplace la virgule d’une unité vers la gauche. Et lorsqu’on divise un nombre négatif par un positif, on obtient un résultat négatif. L’accélération du corps est donc moins 4,5 mètres par seconde carrée. La décélération sera la valeur absolue ou le module. Cela est égal à 4,5 mètres par seconde carrée.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Dans cette vidéo, nous avons vu comment utiliser une représentation graphique du vecteur vitesse en fonction du temps pour calculer le déplacement et l’accélération d’une particule. L’accélération d’une particule est égale à la pente ou le gradient de la droite. Nous avons constaté qu’elle peut être positive, négative ou zéro. Une accélération négative est également appelée décélération. Cela se produit lorsque la droite est descendante. Lorsque notre droite est horizontale, l’accélération est égale à zéro. Cela signifie que le corps se déplace avec un vecteur vitesse constante. On peut calculer l’accélération en un point sur la représentation graphique en divisant la variation du vecteur vitesse par la variation du temps. C’est la même chose que la hausse sur la durée.

Nous avons également constaté que le déplacement est égal à l’aire entre la représentation graphique et l’axe des 𝑥. Si l’aire est au-dessus de l’axe des 𝑥, le déplacement est positif, alors que si elle est au-dessous de l’axe des 𝑥, le déplacement est négatif. Nous avons également identifié la différence entre le déplacement et la distance ; le déplacement est la distance avec une direction. Bien que nous n’ayons examiné que les représentations graphiques linéaires dans cette vidéo, il est également possible d’estimer l’accélération et le déplacement d’une particule sur une représentation graphique donnés par une courbe du vecteur vitesse en fonction du temps.