Vidéo question :: Identifier les suites arithmétiques à partir de l’expression de leur 𝑛ième terme Mathématiques • Deuxième secondaire

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Laquelle des relations suivantes définit une suite arithmétique ? Est-ce la proposition (A) 𝑎 indice 𝑛 égale moins huit le tout élevé à la puissance 𝑛 ? Est-ce la proposition (B) 𝑎 indice 𝑛 égale moins neuf 𝑛 carré moins huit 𝑛 plus un ? Est-ce la proposition (C) 𝑎 indice 𝑛 égale 𝑛 au carré moins un ? La proposition (D) 𝑎 indice 𝑛 égale racine carrée de 𝑛 moins sept. Ou est-ce la proposition (E) 𝑎 indice 𝑛 égale moins neuf 𝑛 plus un ?

Dans cette question, on nous donne cinq suites possibles et nous devons déterminer laquelle de ces suites est arithmétique. Pour répondre à cette question, commençons par rappeler ce que nous entendons par une suite arithmétique. C’est une suite où la différence entre deux termes consécutifs est constante. Nous devons donc déterminer laquelle des cinq suites données vérifie cette propriété. Avant de le faire, rappelons-nous ce que nous entendons par la notation 𝑎 indice 𝑛. Dans cette notation, la valeur de 𝑛 représente l’indice du terme de notre suite. Ainsi, si nous remplaçons 𝑛 par un dans cette expression, nous obtenons le premier terme de la suite. Donc, pour notre première proposition, 𝑎 indice un est égal à moins huit à la puissance un, ce qui se simplifie pour nous donner moins huit. Moins huit est donc la valeur du premier terme de la suite.

Nous pouvons alors faire la même chose pour trouver la valeur du deuxième terme de notre suite. Nous remplaçons 𝑛 par deux dans cette expression et simplifions. Le deuxième terme de la suite est égal à 64. Nous pouvons faire exactement la même chose pour trouver le troisième terme de la suite. Nous remplaçons 𝑛 par trois dans cette expression pour obtenir que 𝑎 indice trois est égal à moins huit au cube. Or moins huit au cube est égal à moins 512. Le troisième terme de la suite est donc égal à moins 512. Et rappelez-vous que pour une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs est constante. Par conséquent, pour que la suite soit arithmétique, la différence entre son premier et son deuxième terme doit être égale à la différence entre son deuxième et son troisième terme.

Nous pouvons calculer ces deux valeurs. Premièrement, la différence entre le troisième et le deuxième terme de la suite est égale à moins 512 moins 64, ce qui nous donne moins 576. Et nous pouvons alors calculer la différence entre le deuxième et le premier terme de la suite. Elle est égale à 64 moins moins huit, ce qui est égal à 72. Ces valeurs ne sont pas égales entre elles et donc la différence entre les termes consécutifs ne reste pas constante. Par conséquent, la proposition (A) n’est pas une suite arithmétique.

Libérons de l’espace, puis faisons de même pour la proposition (B). Nous trouvons le premier terme de la suite en remplaçant par un dans l’expression. On obtient 𝑎 indice un égale moins neuf fois un au carré moins huit fois un plus un, ce qui si nous le simplifions et l’évaluons, est égal à moins 16. Nous avons que 𝑎 indice deux est égal à moins neuf fois deux au carré moins huit fois deux plus un, que nous pouvons ensuite évaluer pour voir que 𝑎 indice deux est égal à moins 51. Et nous pouvons faire la même chose pour le troisième terme de la suite. Nous voyons que le troisième terme de la suite est égal à moins 104.

Et maintenant, nous sommes prêts à vérifier si la différence entre le troisième et le deuxième terme de la suite et celle entre le deuxième et le premier terme sont égales. Premièrement, la différence entre le troisième et le deuxième terme de la suite est égale à moins 104 moins moins 51, ce qui est égal à moins 53. Et nous pouvons faire la même chose pour trouver la différence entre le deuxième et le premier terme. Elle est égale à moins 51 moins moins 16, ce qui est égal à moins 35. Et nous pouvons donc voir que les deux différences entre termes consécutifs ne sont pas égales. Par conséquent, la différence entre les termes consécutifs de la suite ne reste pas constante, il ne s’agit donc pas d’une suite arithmétique.

Nous pouvons faire exactement la même chose pour la proposition (C). Le premier terme de la suite est égal à un au carré moins un, ce qui est égal à zéro. Le deuxième terme de la suite est égal à deux au carré moins un, ce qui équivaut à trois. Et le troisième terme de la suite est égal à trois au carré moins un, ce qui équivaut à huit. Nous pouvons alors vérifier une fois de plus si la différence entre les termes consécutifs reste constante. Premièrement, la différence entre le troisième et le deuxième terme est de huit moins trois, ce qui est égal à cinq. Et la différence entre le deuxième et le premier terme de la suite est égale à trois moins zéro, ce qui est égal à trois. Par conséquent, la différence entre le deuxième et le premier terme de la suite et celle entre le troisième terme et le deuxième ne sont pas égales. La différence entre les termes consécutifs ne reste pas constante, donc la proposition (C) n’est pas une suite arithmétique.

Nous allons donc libérer de l’espace et passer à la proposition (D). Nous pouvons trouver le premier terme de la suite de la proposition (D) en remplaçant 𝑛 par un. Il est égal à racine carrée de un moins sept, ce qui est égal à racine carrée de moins six. Et puis, en utilisant nos propriétés des exposants et notre connaissance des nombres imaginaires, cela se simplifie pour nous donner racine de six fois 𝑖 qui est un nombre imaginaire. Nous devons donc maintenant nous poser cette question, sommes-nous autorisés à avoir des suites arithmétiques qui contiennent des nombres imaginaires ? Et la réponse est que cela dépend. Certaines personnes exigent que leurs suites ne contiennent que des nombres réels. Si tel est le cas, alors nous pouvons conclure que la proposition (D) ne peut être retenue car racine de six fois 𝑖 n’est pas un nombre réel.

Il est possible cependant de définir une suite arithmétique en utilisant des nombres complexes exactement de la même manière qu’avec les nombres réels. Nous allons donc simplement vérifier de la même manière s’il s’agit d’une suite arithmétique. Nous trouvons le deuxième et le troisième terme de cette suite en remplaçant respectivement 𝑛 par deux et 𝑛 par trois dans cette expression.

Le deuxième terme de la suite est égal à racine de cinq 𝑖 et le troisième terme de la suite est égal à deux 𝑖. Nous vérifions ensuite s’il s’agit d’une suite arithmétique de la même manière. Nous devons donc vérifier que la différence entre les termes consécutifs reste constante. La différence entre le troisième et le deuxième terme est égale à deux 𝑖 moins racine de cinq 𝑖, que nous pouvons simplifier en deux moins racine de cinq le tout multiplié par 𝑖. Et nous pouvons alors calculer la différence entre le deuxième et le premier terme. Nous obtenons racine de cinq 𝑖 moins racine de six 𝑖, ce qui se simplifie pour nous donner racine de cinq moins racine de six le tout multiplié par 𝑖.

Et nous pouvons voir que ces valeurs ne sont pas égales car les coefficients de 𝑖 dans ces deux nombres ne sont pas les mêmes. Les parties imaginaires des deux nombres sont différentes. Et par conséquent, la différence entre les termes consécutifs de la suite ne reste pas constante. Donc (D) n’est pas une suite arithmétique.

Etudions enfin la proposition (E). Nous trouvons le premier terme de la suite en remplaçant 𝑛 par un. Le premier terme de la suite est égal à moins huit. Nous remplaçons 𝑛 par deux pour trouver que le deuxième terme de la suite est égal à moins 17. Et de la même manière, nous trouvons que le troisième terme de la suite est égal à moins 26. Nous devons maintenant vérifier si la différence entre ces termes consécutifs reste constante. La différence entre le troisième et le deuxième terme est égale à moins 26 moins moins 17, ce qui est égal à moins neuf. Et de la même manière, la différence entre le deuxième et le premier terme est égale à moins 17 moins moins huit, ce qui équivaut également à moins neuf.

Nous pourrions être tentés de conclure que cela implique que la proposition (E) est une suite arithmétique. Nous devons cependant être prudents car nous devons vérifier que la différence entre deux termes consécutifs reste constante. Et il y a plusieurs façons de le faire. Une façon consiste à déterminer la différence entre le terme 𝑎 indice 𝑛 plus un et le terme 𝑎 indice 𝑛. Nous pouvons trouver une expression pour 𝑎 indice 𝑛 plus un en remplaçant par 𝑛 plus un dans notre expression. Nous obtenons moins neuf fois 𝑛 plus un plus un. En développant et en simplifiant cette expression, nous obtenons moins neuf 𝑛 moins huit.

Et nous savons déjà que 𝑎 indice 𝑛 est égal à moins neuf plus un. Nous pouvons maintenant déterminer la différence entre le terme d’indice 𝑛 plus un de notre suite et le terme d’indice 𝑛. La différence entre ces deux termes est égale à moins neuf 𝑛 moins huit moins moins neuf 𝑛 plus un. La distribution du signe moins sur nos parenthèses nous donne moins neuf 𝑛 moins huit plus neuf 𝑛 moins un. Et si nous simplifions cette expression, il nous reste moins neuf, ce qui est une valeur constante. Par conséquent, pour toute valeur entière positive de 𝑛 que nous pourrions choisir, la différence entre les termes consécutifs reste constante et égale à moins neuf. La suite de la proposition (E) est donc une suite arithmétique.