Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous verrons comment faire le lien entre la distance parcourue en ligne droite d’un objet en accélération constante et les vitesses initiale et finale de cet objet.
Commençons donc par rappeler d’abord ce que nous entendons par accélération. L’accélération est définie comme une variation de la vitesse. Et en utilisant des symboles, on peut dire que l’accélération, 𝑎, est donnée par le variation de la vitesse, Δ𝑣, divisée par l’intervalle de temps pris pour que cette variation de vitesse se produise, Δ𝑡. En d’autres termes, l’accélération d’un objet est donnée par la variation de cette vitesse divisée par la durée nécessaire pour que cette variation de vitesse se produise. Bon, c’est très bien. Mais que se passe-t-il si ce qui importe n’est pas la durée nécessaire pour que ce changement de vitesse se produise, mais plutôt la distance parcourue par l’objet pendant ce changement de vitesse?
Par exemple, considérons une voiture. Disons que cette voiture se déplace initialement à 30 mètres par seconde vers la droite. Alors qu’elle avance sur cette route, le conducteur voit un panneau au loin. Ce panneau indique que le conducteur doit réduire sa vitesse jusqu’à 20 mètres par seconde au moment où il passe le panneau. Bien sûr, normalement, dans le monde réel, les panneaux de signalisation routière donnent des limites de vitesse en miles par heure ou en kilomètres par heure ou en unités similaires. Cependant, pour cet exemple, imaginons que ce 20 fait référence à une limite de vitesse de 20 mètres par seconde.
Ainsi, le conducteur qui roule dans une voiture se déplaçant à 30 mètres par seconde doit se déplacer à 20 mètres par seconde au moment où il passe le panneau. Donc, naturellement, il appuie sur le frein. Ainsi, ces freins produisent une certaine décélération de la voiture ou, en d’autres termes, une accélération, que nous appellerons 𝑎, dans le sens opposé au mouvement de la voiture. Alors, cette accélération, 𝑎, dépend de la force des freins de la voiture et de la pression exercée sur les freins par le conducteur. Donc, pour une valeur particulière de 𝑎, y a-t-il suffisamment de distance, une distance que nous appellerons 𝑠, entre la position de la voiture lorsque le conducteur appuie sur les freins et le panneau pour que la voiture diminue sa vitesse jusqu’à 20 mètres par seconde?
Ou, une autre façon de penser à cela est que, pour une valeur donnée de 𝑎 ou, en d’autres termes, une force donnée des freins décélérant la voiture, à quelle distance avant le panneau le conducteur doit-il appuyer sur les freins pour pouvoir arriver à une vitesse de 20 mètres par seconde au moment où il passe le panneau? Eh bien, disons tout d’abord que la vitesse initiale de la voiture s’appelle 𝑢. 𝑢 est égal à 30 mètres par seconde. Et disons que la vitesse finale de la voiture, que nous savons censée être de 20 mètres par seconde, s’appelle 𝑣. Donc, une fois que la voiture a dépassé le panneau, 𝑣 est égal à 20 mètres par seconde.
Eh bien, techniquement, la vitesse de la voiture devrait déjà être de 20 mètres par seconde au moment où elle passe le panneau plutôt que de la façon dont nous l’avons représenté ici, où elle a déjà passé le panneau. Mais, nous pourrions simplement supposer qu’elle continue à une vitesse de 20 mètres par seconde une fois qu’elle a passé le panneau, donc ce n’est pas grave. La distance importante est donc toujours 𝑠 qui est la distance sur laquelle la voiture décélère. Alors, comment allons-nous calculer cette distance? Eh bien, heureusement, il existe une équation qui relie la vitesse initiale d’un objet - dans ce cas, la voiture - l’accélération de l’objet, la vitesse finale de l’objet et la distance parcourue sur l’intervalle d’accélération.
L’équation que nous recherchons est celle-ci: 𝑣 au carré est égal à 𝑢 au carré plus deux 𝑎𝑠. En d’autres termes, la vitesse finale d’un objet au carré est égale à la vitesse initiale de l’objet au carré plus deux fois l’accélération de l’objet multipliée par la distance parcourue par l’objet sur l’intervalle d’accélération. Si, dans ce cas, on nous donne une valeur pour 𝑎, disons qu’on nous indique que l’accélération est de cinq mètres par seconde au carré, alors nous pourrions réorganiser cette équation pour calculer 𝑠. Lorsque nous faisons cela, nous constatons que 𝑠 est égal à 𝑣 au carré moins 𝑢 au carré divisé par deux 𝑎. Et donc, à ce stade, nous pourrions insérer les valeurs.
Nous pourrions dire que la distance parcourue par la voiture, 𝑠, est égale à la vitesse finale de la voiture au carré - donc 𝑣 au carré, qui est de 20 mètres par seconde au carré - moins la vitesse initiale de la voiture au carré, 30 mètres par seconde au carré, divisé par deux fois l’accélération, ce qui est moins cinq mètres par seconde au carré. Et la raison pour laquelle elle est négative est qu’elle est dans le sens opposé à la vitesse de l’objet. L’objet se déplace dans ce sens alors que l’accélération est dans ce sens.
Ainsi, la raison pour laquelle nous n’avons pas mis de signe négatif ici lorsque nous avons mentionné l’accélération pour la première fois, c’est parce que cette flèche s’en occupe déjà. On nous a dit que l’accélération est de cinq mètres par seconde au carré à gauche, comme nous l’avons dessinée. Cependant, dans notre calcul, nous devons en tenir compte. Et par conséquent, nous mettons le signe négatif. Et c’est une bonne chose d’avoir mis ce signe négatif parce que nous pouvons voir que le numérateur sera en fait négatif. Nous avons 20 mètres par seconde au carré moins 30 mètres par seconde au carré. Cela se simplifie à 400 mètres carrés par seconde carrée moins 900 mètres carrés par seconde carrée ou, en d’autres termes, moins 500 mètres carrés par seconde carrée. Et donc, ce signe négatif s’annule avec celui-ci en nous laissant avec une valeur de distance parcourue positive.
Et en regardant les unités, nous voyons que nous avons des mètres carrés par seconde carrée au numérateur et des mètres par seconde carrée au dénominateur. Par conséquent, le par seconde carrée va s’annuler à la fois au numérateur et au dénominateur. Et un facteur mètres va s’annuler au numérateur avec un facteur mètres au dénominateur. Dans l’ensemble, il ne nous reste que des mètres. C’est une bonne chose parce que nous essayons de calculer une distance qui devrait avoir pour unité les mètres. Et donc, notre réponse finale est donc de 50 mètres. En d’autres termes, cette voiture aurait besoin d’une distance de 50 mètres pour décélérer de 30 mètres par seconde à 20 mètres par seconde, pour une accélération dans le sens opposé de cinq mètres par seconde carrée. Et c’est ainsi que nous utiliserions cette équation ici.
Cependant, il y a quelques conditions pour utiliser cette équation. La première condition est que pour que cette équation ne fonctionne, l’accélération de l’objet en question doit être constante. En d’autres termes, la valeur de 𝑎 peut être positive, elle peut être négative. Cela n’a pas d’importance. Mais elle doit avec une valeur constante. Ce doit être une valeur constante sur l’ensemble de l’intervalle étudié. Si, à un moment donné, l’accélération change - par exemple, si nous avons un objet qui accélère initialement avec une accélération 𝑎 un sur une distance 𝑠 un. Mais qu’une fois qu’il a parcouru cette distance, il accélère encore plus rapidement, par exemple, à 𝑎 deux sur une distance 𝑠 deux. Alors, nous devrions traiter ces deux intervalles séparément.
Nous devrions d’abord considérer les vitesses initiales et finales sur cet intervalle en utilisant une valeur de 𝑎 un, puis les vitesses initiales et finales sur cet intervalle en utilisant une valeur de 𝑎 deux. En d’autres termes, nous ne pouvons utiliser cette équation que sur un intervalle où l’accélération est constante. Et c’est donc la première condition de cette équation.
La deuxième condition est que la distance 𝑠 doit être la distance en ligne droite. C’est parce que, techniquement, cette équation traite du déplacement. En d’autres termes, le déplacement d’un objet du début à la fin lorsqu’il accélère à un rythme 𝑎 un. Et donc, nous disons que 𝑠 doit être une ligne droite. Donc, si nous sommes dans une situation où nous avons affaire aux vitesses initiales et finales d’un objet ainsi que son accélération, qui se trouve être une constante, et la distance qu’il parcourt pendant cette accélération, qui est en ligne droite, cette équation peut alors être utilisée. Et quand on peut l’utiliser, c’est en fait une équation très puissante.
Nous avons déjà vu comment elle peut être utilisée pour calculer la décélération d’une voiture. En réalité, c’est l’équation utilisée pour calculer les distances de freinage des voitures. Disons qu’une voiture, cette fois très mal dessinée, roule vers la droite à une certaine vitesse. Et plus loin, le conducteur voit un obstacle ce qui signifie qu’il doit s’arrêter avant d’atteindre l’obstacle. Eh bien, si la voiture freine, la voiture doit s’être arrêtée, avant d’avoir atteint l’obstacle. En d’autres termes, la vitesse finale de la voiture doit être nulle. Alors, cette équation nous aidera à calculer la distance parcourue par la voiture, compte tenu de sa vitesse initiale, quelle qu’elle soit, et du conducteur qui presse les freins aussi fort que possible pour donner à la voiture une valeur d’accélération maximale dans le sens opposé à son mouvement.
Ou, une autre façon de penser à cela est que si le conducteur se déplace à une vitesse initiale 𝑢, aurait-il suffisamment d’espace pour s’arrêter avant d’atteindre l’obstacle? Voilà donc une situation où cette équation est vraiment utile. Une autre situation que l’on peut envisager est un avion sur le point de décoller. Il commence au repos, 𝑢 est égal à zéro. Et il se déplace le long d’une piste qui n’est que d’une certaine longueur. Cette équation peut être utilisée pour calculer: la piste est-elle suffisamment longue pour que l’avion puisse atteindre la vitesse nécessaire pour décoller? Appelons cette vitesse 𝑣, quelle que soit sa nature, sachant que l’avion peut accélérer à une vitesse 𝑎. Et donc, la piste est-elle suffisamment sûre pour que cet avion décolle? Donc, cette équation est vraiment très puissante. Voyons un exemple de question pour le voir par nous-mêmes.
Un objet a une vitesse initiale de trois mètres par seconde et accélère dans la direction de son vecteur vitesse le long d'une ligne droite à quatre mètres par seconde carrée. Sa vitesse atteint 11 mètres par seconde quand il est en bout de ligne. Quelle est la longueur de la ligne?
Très bien, donc dans cette question, nous avons un objet. Disons qu’il commence ici. Et disons qu’il se déplace suivant cette direction vers la droite avec sa vitesse initiale qui nous a été donnée à trois mètres par seconde. Maintenant, on nous a dit qu’il accélère dans le sens de sa vitesse le long d’une ligne droite à quatre mètres par seconde carrée. L’objet se déplace donc en ligne droite vers la droite, comme nous l’avons dessiné. Et au moment où il arrive à la fin de la ligne, on nous a dit qu’il se déplace à 11 mètres par seconde. Et on nous a demandé de trouver la longueur de cette ligne, de la position de départ de l’objet à la position d’arrivée.
Disons que la longueur de cette droite est 𝑠. Et 𝑠 est ce que nous essayons de trouver. En parallèle, nommons la vitesse initiale de l’objet 𝑢, qui est de trois mètres par seconde. Disons que la vitesse finale de l’objet est 𝑣, qui est de 11 mètres par seconde. Et disons que l’accélération de l’objet est 𝑎, qui est de quatre mètres par seconde carrée. Ainsi, l’équation qui relie 𝑢, 𝑣, 𝑎 et 𝑠 est la suivante: 𝑣 au carré est égal à 𝑢 au carré plus deux 𝑎𝑠. Ou, la vitesse finale de l’objet au carré est égale à sa vitesse initiale au carré plus deux fois son accélération multipliée par la distance parcourue.
Alors, il est important de savoir que pour que cette équation s’applique, l’accélération doit avoir une valeur constante. Et dans ce cas, on nous a dit que c’est une constante de quatre mètres par seconde carrée. De plus, la distance parcourue par l’objet pour que cette équation s’applique doit être en ligne droite. Et c’est le cas comme nous l’avons dit dans la question. Par conséquent, nous pouvons utiliser cette équation pour résoudre notre problème. Nous connaissons déjà les valeurs de 𝑣, 𝑢 et 𝑎. Tout ce que nous devons faire est de réorganiser l’équation pour obtenir 𝑠. Nous pouvons commencer par soustraire 𝑢 au carré des deux côtés de l’équation. De cette façon, il s’annule sur le côté droit. Et ce qui nous reste est 𝑣 carré moins 𝑢 carré à gauche et deux 𝑎𝑠 à droite. Ensuite, nous pouvons diviser les deux côtés de l’équation par deux 𝑎. De cette façon, les deux à droite s’annulent et le 𝑎 à droite s’annule. Et nous avons 𝑣 au carré moins 𝑢 au carré divisé par deux 𝑎 est égal à 𝑠.
Donc, à ce stade, tout ce que nous devons faire est d’insérer les valeurs. 𝑠 est égal à 𝑣, qui est la vitesse finale, au carré, donc 11 mètres par seconde au carré, moins 𝑢, qui est la vitesse initiale, au carré, qui est de trois mètres par seconde au carré, divisé par deux fois l’accélération, qui est quatre mètres par seconde carrée.
En développant les parenthèses au numérateur, nous avons 121 mètres carrés par seconde carrée moins neuf mètres carrés par seconde carrée. Et donc, le numérateur devient 112 mètres carrés par seconde carrée. Ensuite, nous divisons cela par deux fois quatre, soit huit mètres par seconde carrée. Et ainsi, le par seconde carrée au numérateur et au dénominateur s’annulent. Et un facteur mètres au numérateur s’annule avec le facteur mètres au dénominateur. Dans l’ensemble, il ne nous reste que des mètres, ce qui est bien car nous calculons une distance qui a pour unité des mètres. Et par conséquent, il nous reste la réponse finale à notre question. La longueur de la droite le long de laquelle l’objet se déplace est de 14 mètres.
Bon, résumons maintenant ce dont nous avons parlé dans cette vidéo. Nous avons appris à utiliser l’équation 𝑣 au carré est égal à 𝑢 au carré plus deux 𝑎𝑠 pour un objet se déplaçant initialement à une vitesse 𝑢, accélérant à une vitesse constante 𝑎 et se déplaçant le long d’une droite 𝑠, ce qui nous donne l’objet ayant une vitesse finale 𝑣.
