Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser les vitesses initiales et finales d’un objet et le déplacement de l’objet pour définir l’accélération en utilisant la formule .
On peut rappeler la définition de l’accélération comme suit.
Définition: Accélération
L’accélération d’un objet est définie comme le taux de variation de la vitesse de cet objet.
L’accélération moyenne, , d’un objet qui change sa vitesse d’une quantité sur une durée est donnée par
On peut aussi rappeler que la vitesse est une grandeur vectorielle, ce qui signifie qu’elle a une direction et une intensité. Comme l’accélération mesure le taux de variation de la vitesse, cela signifie que l’accélération est aussi une grandeur vectorielle. Pour un mouvement le long d’une ligne droite (en d’autres termes, un objet qui ne se déplace qu’en avant ou en arrière le long d’un axe), cela signifie que les vitesses et les accélérations peuvent être positives ou négatives.
Notre définition de l’accélération est utile lorsque l’on s’intéresse à la variation de la vitesse d’un objet dans le temps. Mais parfois, on ne s’intéresse pas au temps pendant lequel l’accélération se produit, mais plutôt à la distance parcourue par l’objet pendant le processus.
Cela peut être le cas lorsque l’on considère la distance d’arrêt d’une voiture.
Disons que l’on a une voiture qui roule à une vitesse constante lorsque le conducteur remarque un obstacle devant lui, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
Le conducteur doit freiner pour arrêter la voiture avant d’atteindre la position de cet obstacle. En freinant, la voiture va ralentir ; c’est une accélération négative ou une décélération. La question importante n’est alors pas de savoir combien de temps il faudra à la voiture pour s’arrêter, mais la distance qu’elle parcourra avant que sa vitesse n’atteigne zéro. De cette façon, le conducteur sait à quelle distance de l’obstacle il doit commencer à freiner.
On appellera cette distance sur laquelle la vitesse change, l’accélération, la vitesse initiale et la vitesse finale. Remarquons que, ici, et tout au long de cette fiche explicative, lorsque l’on parle de “distance”, on fait référence à “l’intensité du déplacement”. Dans le cas d’un mouvement le long d’une ligne droite et sans changement de direction, ces deux termes sont interchangeables. Dans l’exemple d’une voiture qui s’arrête, la vitesse finale, , sera 0 m/s, mais en général, les vitesses initiale et finale peuvent être non nulles.
On peut dériver une équation liant l’accélération et la distance comme suit.
La distance parcourue par un objet se déplaçant avec une vitesse moyenne, , sur un intervalle de temps, , est donnée par
On peut réécrire la vitesse moyenne, , comme avec la vitesse finale et la vitesse initiale.
On peut utiliser notre définition de l’accélération pour réécrire comme
Puis, en remplaçant les expressions de et dans notre expression pour la distance parcourue, on obtient
En multipliant les termes en haut et en bas de la fraction, on obtient
En multipliant les deux côtés par puis en ajoutant des deux côtés, on peut réécrire cette équation comme suit :
Définition: Accélération sur une distance
La vitesse finale, , la vitesse initiale, et la distance parcourue, , pour un objet subissant une accélération uniforme, , sont liés par la formule
Peut-être que cela semble étrange que l’on soit en mesure de proposer une formule pour l’accélération, , qui n’implique pas le temps alors que notre définition de l’accélération dépend du changement de vitesse et de l’intervalle de temps sur lequel ce changement se produit. La raison pour laquelle il est possible de proposer une formule sans utiliser le temps est que le temps est lié au déplacement et à la vitesse par .
Il y a quelques restrictions sur le moment où l’on peut utiliser notre formule :
- L’accélération de l’objet doit être constante.
- Le mouvement de l’objet doit se produire le long d’une ligne droite.
Ce n’est que lorsque ces deux conditions sont remplies que l’on peut utiliser la formule .
Regardons un exemple dans lequel on peut appliquer cette formule. Dans tous les exemples de cette fiche explicative, on utilisera la même notation : la vitesse initiale est , la vitesse finale , l’accélération et la distance sur laquelle cette accélération se produit .
Exemple 1: Calculer la vitesse finale pour un objet qui accélère
Un objet commence au repos et accélère à 2 m/s2 le long d’une ligne droite de 9 m. Quelle est la vitesse finale de l’objet ?
Réponse
Commençons par trouver à quoi correspondent les valeurs qui nous sont données dans la question.
On nous dit que l’objet commence au repos, ce qui signifie que sa vitesse initiale est nulle. Donc, on a .
On nous dit qu’il accélère au cours d’une ligne droite de 9 m, ce qui signifie que l’on a .
Enfin, on nous dit que l’accélération est 2 m/s2, on sait donc que .
On peut réaliser un schéma illustrant la situation.
Sur le schéma, on a marqué toutes les grandeurs qui nous ont été données dans la question et appelé la vitesse finale, , que l’on essaie de trouver. Cette vitesse finale est la vitesse de l’objet après qu’il est accéléré sur la distance .
On nous dit que la valeur de l’accélération est , on sait que c’est une accélération constante.
On nous dit aussi que l’accélération se produit en ligne droite.
On peut rappeler que puisque ces deux critères nécessaires sont remplis, notre formule peut être utilisée.
En regardant la formule, on voit que l’on connaît les valeurs pour toutes les grandeurs sur le côté droit : , et .
En remplaçant ces valeurs, cela nous donne une expression pour le carré de la vitesse finale :
En évaluant le côté droit, on a
La dernière étape consiste à prendre la racine carrée pour nous donner :
On a donc maintenant notre réponse. La vitesse finale, , de l’objet est égale à . La direction de cette vitesse est la même que celle de l’accélération.
Parfois, on a des situations où la formule est utile, mais où la grandeur que l’on veut calculer n’est pas la vitesse finale, , de l’objet. En d’autres termes, peut-être que l’on connaît déjà la valeur de cette vitesse finale, mais que l’on veut connaître la valeur de l’une des autres variables de la formule.
Dans ce cas, on doit réarranger l’équation afin de transformer le sujet de l’équation pour la grandeur dont on veut déterminer la valeur.
Par exemple, si on cherche à calculer la valeur de , il serait utile d’avoir une équation qui nous donne , et de même pour toute autre grandeur.
Regardons un exemple dans lequel on doit réarranger la formule.
Exemple 2: Calculer l’accélération d’un objet sur une distance
Un objet commence au repos et accélère le long d’une ligne droite de 8 m. Sa vitesse atteint 12 m/s quand il est au bout de la ligne droite. Quelle est l’accélération de l’objet le long de la ligne droite ?
Réponse
Commençons par étiqueter les valeurs qui nous sont données dans la question.
On nous dit que la longueur de la ligne droite sur laquelle l’objet accélère est de 8 m, on a donc .
On nous dit aussi que l’objet accélère depuis une position au repos, ce qui signifie que sa vitesse initiale est , et qu’il atteint une vitesse de 12 m/s au bout de la ligne droite, la vitesse finale est donc de .
On peut réaliser un schéma illustrant ces informations.
On a marqué toutes les grandeurs qui nous sont données dans la question sur notre schéma et on a également marqué l’accélération, , qu’on nous demande de trouver.
On peut rappeler notre formule :
Dans ce cas, la grandeur que l’on essaie de calculer est l’accélération, . Cela signifie que l’on doit réarranger la formule pour faire de le sujet.
On commence par soustraire des deux côtés de la formule, ce qui nous donne
Ensuite, on divise les deux côtés par ce qui donne
Enfin, l’échange des côtés gauche et droit nous donne
Maintenant que l’on a l’accélération, , le sujet, on est prêt à remplacer avec nos valeurs : , et .
Lorsque l’on fait cela, on obtient l’expression suivante pour :
En évaluant les expressions au numérateur et au dénominateur du côté droit, on obtient
Lorsque l’on réalise cette division sur le côté droit, on obtient
Notre réponse est donc que l’accélération de l’objet le long de la ligne droite est de 9 m/s2.
Dans les deux exemples que l’on a vu jusqu’à présent, l’objet a commencé au repos et l’accélération a agi pour augmenter la vitesse de l’objet à partir d’une vitesse initiale de 0 m/s jusqu’à une vitesse finale non nulle.
En général, la vitesse initiale de l’objet peut prendre n’importe quelle valeur. En d’autres termes, l’objet peut, en général, être déjà en mouvement avant la période d’accélération.
En rappelant que la vitesse et l’accélération sont deux grandeurs vectorielles, on peut voir que pour un mouvement le long d’une ligne droite, il y a deux possibilités :
- L’accélération agit dans le même sens que la vitesse et augmente la vitesse dans ce sens.
- L’accélération agit dans la direction opposée à la vitesse et agit pour diminuer l’intensité de la vitesse.
On peut voir ces deux cas illustrés dans le schéma ci-dessous.
Regardons un exemple dans lequel la vitesse initiale n’est pas nulle.
Exemple 3: Calculer la vitesse initiale d’un objet qui accélère
Un objet a une vitesse initiale qui augmente jusqu’à 14 m/s l’objet accélérant de 5 m/s2 dans le sens de sa vitesse. L’objet accélère le long d’une ligne droite de 17,1 m. Quelle est la vitesse initiale de l’objet ?
Réponse
Commençons par repérer les grandeurs qui nous sont données dans la question.
On nous dit que la vitesse de l’objet augmente jusqu’à 14 m/s tout en accélérant dans le sens de sa vitesse.
Cela signifie que la vitesse et l’accélération ont le même signe.
La vitesse finale est donc . Comme on nous dit que l’accélération est 5 m/s2, on a .
On nous dit que l’objet accélère sur une ligne droite de 17,1 m on a donc .
La question nous demande de trouver la vitesse initiale, que nous désignons par .
On peut réaliser un schéma illustrant ces informations comme suit.
On a une valeur constante de l’accélération et on nous dit que le mouvement se produit sur une ligne droite, notre formule peut donc être utilisée ici.
Comme on nous demande de déterminer la valeur de la vitesse initiale, on réarrange la formule pour faire de le sujet.
En soustrayant des deux côtés, on obtient
Puis, en échangeant les côtés gauche et droit de l’équation, on a
Maintenant, on est prêt à utiliser les valeurs de la question : , et .
Cela nous donne l’expression suivante pour le carré de la vitesse initiale :
En évaluant le côté droit, on a
Enfin, en prenant la racine carrée des deux côtés, cela nous donne
On a donc trouvé que la vitesse initiale de l’objet était de 5 m/s. Cette valeur étant positive, elle est dans la même direction que l’accélération et la vitesse finale.
Dans ce dernier exemple, l’accélération était dans la même direction que la vitesse initiale de l’objet, l’effet de cette accélération était donc d’augmenter la vitesse de l’objet dans la direction où il se déplaçait déjà.
Maintenant, on va regarder un exemple dans lequel l’accélération agit dans la direction opposée à la vitesse initiale.
Exemple 4: Calculer la vitesse initiale d’un objet en décélération
Un objet a une vitesse initiale qui diminue à 10 m/s lorsque l’objet accélère dans le sens opposé à sa vitesse. L’objet se déplace le long d’une ligne droite de 60 m en accélérant avec une intensité de 6,5 m/s2. Quelle est la vitesse initiale de l’objet au mètre par seconde le plus proche ?
Réponse
Commençons par utiliser les valeurs qui nous sont données dans la question.
On nous dit que la vitesse diminue jusqu’à une valeur finale de 10 m/s, on a donc .
On nous dit aussi que l’objet se déplace le long d’une ligne droite de 60 m, alors .
Enfin, on nous dit que l’objet accélère dans le sens opposé à sa vitesse, avec une intensité de 6,5 m/s2. Depuis que l’on a choisi la vitesse comme positive et comme l’accélération est dans la direction opposée à celle-ci, alors cette accélération doit être négative. On a donc .
Pour rendre ces directions claires, on peut réaliser un schéma de la situation comme suit.
Dans ce schéma, on a utilisé les grandeurs dont on connaît les valeurs, avec leurs directions. On a aussi marqué la vitesse initiale, , avec également sa direction ; on nous demande alors de trouver la valeur de . Notons que, dans ce schéma, on n’a pas inclus le signe négatif sur l’accélération car il est implicitement inclus par le sens de la flèche de l’accélération ; la valeur de l’accélération est dans la direction indiquée par la flèche.
On a une valeur constante pour l’accélération, , et on nous dit que le mouvement se fait le long d’une ligne droite. Cela signifie que l’on ait en mesure d’utiliser notre formule :
Comme on nous demande de trouver , on réarrange cette formule pour faire de le sujet.
Soustrayons de chaque côté, on a alors
En échangeant les côtés gauche et droit, on obtient
On est maintenant prêts à utiliser nos valeurs dans cette équation. Lorsque l’on fait cela, on doit faire attention aux signes de toutes les grandeurs.
En remplaçant par , et , on obtient l’expression suivante pour le carré de la vitesse initiale :
En évaluant le côté droit (et en faisant attention aux signes négatifs), on obtient
Ensuite, en prenant la racine carrée des deux côtés, cela nous donne
Ici, les points de suspension indiquent qu’il y a d’autres décimales.
Enfin, notons que la question demande une réponse au mètre par seconde le plus proche. Arrondissons le résultat au mètre par seconde le plus proche ; cela donne
On constate donc que la vitesse initiale de l’objet, au mètre par seconde le plus proche est égale à 30 m/s.
Peut-être que nous n’avons pas encore rencontré ce réarrangement de la formule avec comme sujet.
C’est la forme dans laquelle on aurait besoin de cette formule pour calculer la distance d’arrêt d’une voiture, ce qui était notre motivation initiale pour vouloir une équation liant accélération et déplacement.
Pour faire de le sujet, on soustrait d’abord des deux côtés de l’équation, cela nous donne
Puis, on divise par et on échange les côtés gauche et droit de l’équation, on a alors
Revenons au cas d’une voiture dans laquelle le conducteur remarque un obstacle devant lui et freine pour arrêter la voiture. Pour rappel, la situation est illustrée sur le schéma ci-dessous.
On sait que la vitesse finale de la voiture sera . Si on connaissait l’intensité de l’accélération, , que les freins fournissent et la vitesse initiale, , avec laquelle la voiture roulait, on pourrait utiliser l’équation pour calculer la distance, , effectuée par la voiture avant qu’elle ne s’arrête.
On va finir par un exemple de problème dans lequel le but est de calculer la distance parcourue.
Exemple 5: Calculer la distance parcourue en accélérant
Un grand oiseau doit courir en battant des ailes pour se lancer dans les airs. L’oiseau doit courir à 5,745 m/s pour commencer à voler. Si l’oiseau peut accélérer à 1,65 m/s2, quelle distance doit-il parcourir avant de pouvoir décoller ? Donnez la réponse à une décimale près.
Réponse
On commencera par repérer les grandeurs qui nous sont données.
La question nous demande de calculer la distance, que l’oiseau doit courir avant de pouvoir décoller.
On nous dit que l’oiseau doit courir à 5,745 m/s afin de commencer à voler, on sait donc que la vitesse finale est de . On peut aussi supposer que l’oiseau part d’une position au repos, cela nous donne une vitesse initiale de . La dernière information qui nous est donnée est que l’oiseau peut accélérer à .
On peut donc réaliser un schéma illustrant ces informations comme suit.
Le taux d’accélération qui nous est donné est une valeur constante. On peut supposer que, comme indiqué sur notre schéma, l’oiseau court en ligne droite en se préparant à prendre son envol.
Dans ce cas, on peut utiliser notre formule :
Étant donné que l’on essaie de déterminer la valeur de , on doit faire de le sujet.
Donc, on soustrait d’abord de chaque côté :
Ensuite, on divise les deux côtés par et on permute les côtés gauche et droit :
On est maintenant en mesure d’utiliser nos valeurs , et . Cela nous donne l’expression suivante pour :
L’évaluation des expressions au numérateur et au dénominateur sur le côté droit donne
En faisant la division nous donne
Ici, les points de suspension indiquent qu’il y a d’autres décimales.
La dernière étape consiste à noter que la question nous demande une réponse au dixième près. Arrondissons le résultat au dixième près, cela donne
Ainsi, on a donc trouvé que l’oiseau doit courir 10,0 m avant de pouvoir décoller.
Points clés
- La vitesse finale, , la vitesse initiale, , et la distance parcourue, , pour un objet subissant une accélération uniforme, , sont liés par la formule .
- Cette formule s’applique uniquement lorsque l’accélération, , est constante et que le mouvement est rectiligne.
- L’accélération est une grandeur vectorielle. Pour un mouvement le long d’une ligne droite, elle peut être positive (dans le même sens que la vitesse initiale) ou négative (dans le sens opposé à la vitesse initiale).
- On peut utiliser la formule lorsque trois des grandeurs de cette formule sont connues et que l’on essaie de trouver la quatrième. Si la grandeur que l’on essaie de trouver n’est pas la vitesse finale, , alors on doit commencer par réarranger la formule afin d’obtenir la grandeur que l’on essaie de trouver.
