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Déterminez l’ensemble solution de l’équation valeur absolue de 𝑥 plus trois égale moins trois 𝑥 plus sept.
Nous pouvons résoudre cette équation graphiquement ou algébriquement. Nous allons d’abord examiner la solution graphique. La courbe représentative de valeur absolue de 𝑥 plus trois coupe l’axe des ordonnées en plus trois et touche l’axe des abscisses en moins trois comme indiqué sur le graphique. La droite moins trois 𝑥 plus sept coupe l’axe des ordonnées en sept et l’axe des abscisses en sept sur trois.
Comme les deux courbes se coupent une seule fois, nous savons qu’il y aura une seule solution à l’équation valeur absolue de 𝑥 plus trois égale moins trois 𝑥 plus sept. Et puisque cela se produit dans le premier quadrant, où 𝑥 et 𝑦 sont positifs, on peut trouver cette solution en résolvant l’équation 𝑥 plus trois égale moins trois 𝑥 plus sept. Ajouter trois 𝑥 aux deux membres de notre équation donne quatre 𝑥 plus trois égale sept. On peut ensuite soustraire trois aux deux membres de l’équation. Ce qui donne quatre 𝑥 égale quatre.
Enfin, on divise par quatre et on obtient la solution 𝑥 égale un. Par conséquent, l’ensemble solution contient la valeur unique 𝑥 égale un. Bien que la seule solution à cette question soit 𝑥 égale un, il convient de noter que nous aurions également pu trouver une solution trompeuse autrement. En étendant la courbe de valeur absolue de 𝑥 plus trois sous l’axe des abscisses, on voit qu’elle couperait à nouveau la droite moins trois 𝑥 plus sept.
Bien que ce ne soit pas une solution dans cette question, nous pouvons montrer comment la trouver algébriquement. La droite en pointillés est une extension de la droite 𝑦 égale moins 𝑥 plus trois. Nous pouvons donc résoudre moins 𝑥 plus trois égale moins trois 𝑥 plus sept. En simplifiant le membre gauche, on a moins 𝑥 moins trois. En ajoutant trois 𝑥 aux deux membres de l’équation, on obtient deux 𝑥 moins trois égale sept. Ajouter ensuite trois aux deux membres nous donne deux 𝑥 égale 10. Enfin, en divisant par deux, on trouve que les deux droites se coupent en 𝑥 égale cinq.
Pour prouver que ce n’est pas une solution, on peut remplacer 𝑥 par cinq dans l’équation initiale. Valeur absolue de cinq plus trois égale moins trois fois cinq plus sept. Mais valeur absolue de huit égale huit. Et moins trois fois cinq plus sept égale moins huit. Comme ces deux nombres ne sont pas égaux, nous pouvons conclure que 𝑥 égale cinq n’est pas une solution à l’équation valeur absolue de 𝑥 plus trois égale moins trois 𝑥 plus sept.
