Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des équations comportant des valeurs absolues.
Rappelons que la valeur absolue d’un nombre réel est sa distance à 0 sur l’axe des réels. Par exemple, dans l’expression (qui peut être lue comme la valeur absolue de ), on prend la valeur absolue du nombre en le notant entre deux barres verticales. Puisque est à une distance de 5 unités de 0 sur l’axe des réels, cette expression est égale à 5. La valeur de l’expression (qui peut être lue comme la valeur absolue de 5) est également égale à 5, car 5 est également situé à 5 unités de 0 sur l’axe des réels.
Définition : Valeur absolue
La valeur absolue d’un nombre est la distance à 0 de ce nombre, indépendamment de son signe, c’est-à-dire :
Rappelons également comment tracer la courbe représentative de la fonction valeur absolue. Pour ce faire, nous pouvons compléter un tableau de valeurs pour :
| 0 | 1 | 2 | 3 | ||||
| 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Ensuite, nous pouvons tracer ces points dans le plan cartésien, ce qui nous permet de tracer le graphe de la fonction :
Lorsque l’on souhaite résoudre des équations comportant des valeurs absolues, il est très utile de pouvoir appliquer la définition ou de tracer les graphes de valeurs absolues ; par conséquent, il est important de maitriser ces techniques.
Introduisons maintenant des équations comportant des valeurs absolues.
Considérons l’équation .
Avant de commencer toute étude sous un angle algébrique, il est utile de se représenter le problème graphiquement. Ainsi, traçons sur le même repère les courbes d’équation et . Pour ce faire, nous pouvons compléter un tableau de valeurs pour l’équation :
| 0 | 1 | 2 | 3 | ||||
| 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Nous pouvons voir sur ce graphique que les deux droites s’intersectent en deux points distincts, lorsque et lorsque .
Ainsi, l’équation a pour solutions et . L’ensemble des solutions de cette équation est donc .
Ce graphique nous donne à présent l’approche à suivre pour résoudre cette équation algébriquement. D’après la définition de la fonction valeur absolue, il est possible d’utiliser la notation des fonctions définies par morceaux pour modéliser ce problème :
Ainsi, pour résoudre l’équation , on résout les deux équations et .
Commençons par résoudre
Puis, on résout
Avec les deux équations qui précèdent, on voit que et sont solutions, ce qui coïncide avec les solutions trouvées lors de l’étude graphique.
Plutôt que d’utiliser des fonctions définies par morceaux, une autre méthode algébrique consiste à résoudre l’égalité ente l’expression à l’intérieur de la valeur absolue et la valeur positive et la valeur négative de l’autre quantité.
Dans cet exemple, pour résoudre l’équation , nous devons résoudre les deux équations : et
En soustrayant 1 des deux côtés des deux équations, on obtient à nouveau les solutions et .
Cette méthode peut être résumée comme suit.
Comment : Résoudre des équations comportant des valeurs absolues
- Isolez l’expression de la valeur absolue.
- Posez les deux équations obtenues en fixant le terme à l’intérieur des valeurs absolues égal à l’autre membre d’une part puis à son opposé d’autre part.
- Résolvez ces deux équations en l’inconnue recherchée.
- Vérifiez les solutions analytiquement ou graphiquement.
Les deux méthodes sont équivalentes et, bien que nous puissions utiliser l’une ou l’autre pour résoudre des équations avec des valeurs absolues, l’une ou l’autre de ces méthodes peut rendre la résolution plus efficace selon la situation.
Nous allons maintenant résoudre diverses équations comportant des valeurs absolues, à la fois algébriquement et graphiquement.
Exemple 1: Résolution d’équations comportant des valeurs absolues
Quel est l’ensemble de solutions de l’équation ?
Réponse
Nous allons résoudre cette question en utilisant d’abord une approche algébrique, puis en utilisant une approche graphique.
Pour résoudre cette équation algébriquement, nous allons suivre le processus suivant en quatre étapes :
- Isolez l’expression de la valeur absolue.
- Posez les deux équations obtenues en fixant le terme à l’intérieur des valeurs absolues égal à l’autre membre d’une part puis à son opposé d’autre part.
- Résolvez ces deux équations en l’inconnue recherchée.
- Vérifiez les solutions analytiquement ou graphiquement.
Afin d’isoler l’expression de la valeur absolue, nous commençons par réarranger l’équation pour faire de le sujet :
On rappelle que la valeur absolue d’un nombre est sa distance à zéro et qu’ici, il y a donc deux solutions possibles :
Soit ou
L’ensemble des solutions de l’équation contient les nombres et 22.
Nous pouvons vérifier ces solutions en évaluant l’équation en ces valeurs. Dans les deux cas, le membre de gauche de l’équation est nul.
Nous allons à présent regarder comment vérifier graphiquement ces solutions. Considérons l’équation . La courbe de cette équation peut être tracée dans un repère comme suit :
Puisque , on peut tracer la droite horizontale d’équation sur le même graphique.
Nos deux droites se coupent en deux points distincts, lorsque et lorsque , qui sont bien les deux solutions de l’équation .
Ainsi, l’ensemble solution est
Exemple 2: Résolution d’équations comportant des valeurs absolues
Calculez l’ensemble des solutions de l’équation en utilisant des méthodes algébriques.
Réponse
D’après la définition de la fonction valeur absolue, nous pouvons résoudre cette équation en utilisant la notation des fonctions définies par morceaux :
Puisque , on peut résoudre les deux équations et .
Premièrement, lorsque , on résout l’équation
Comme le membre de gauche de l’équation est exactement le même que le membre de droite, tout réel est solution de cette équation. Cependant, nous limitions les solutions aux nombres réels supérieurs ou égaux à , de sorte que la solution de cette partie de l’équation est .
Deuxièmement, lorsque , nous devons résoudre l’équation
Dans ce cas, comme nous sommes restreints à l’intervalle , cette solution n’est pas admissible pour cette partie de l’équation.
Cependant, on peut remarquer que cette solution est déjà contenue dans l’ensemble des solutions de la première équation. Les solutions de l’équation sont les nombres réels satisfaisant , c’est-à-dire les éléments de l’intervalle .
Nous pouvons vérifier cette solution graphiquement. Commençons par tracer la droite d’équation dans le plan cartésien.
En traçant la courbe d’équation sur les mêmes axes, on voit que les deux courbes coïncident pour tout tel que .
Cela confirme notre solution précédente, on a bien dès lors que .
Ainsi, l’ensemble solution est
Les exemples suivants de cette fiche explicative demanderont de résoudre des équations comportant des valeurs absolues qui résultent en des équations du second degré.
Exemple 3: Résolution d’équations comportant des valeurs absolues
Déterminez algébriquement l’ensemble des solutions de l’équation .
Réponse
Commençons par remarquer que, dans cette question, le membre de gauche de l’équation n’est pas défini lorsque puisqu’il est impossible de diviser par zéro. Nous devons ainsi traiter deux cas distincts : premièrement, lorsque et, deuxièmement, lorsque .
D’après la définition de la valeur absolue, on peut représenter ce terme en utilisant la notation des fonctions définies par morceaux :
Quand , on résout l’équation
Donc,
Comme nous l’avons déjà établi, ne peut pas être égal à , cette équation a donc une unique solution.
Quand , nous devons résoudre l’équation
Donc,
Une fois encore, nous avons établi que ne peut pas être égal à , ainsi cette équation a également une unique solution.
Les solutions de l’équation sont et , ce qui constitue donc l’ensemble de solutions .
Exemple 4: Résolution d’équations du premier degré avec des valeurs absolues
Calculez, par des méthodes algébriques, l’ensemble de solutions de l’équation .
Réponse
En utilisant la définition de la valeur absolue, on peut représenter le terme de l’équation au moyen d’une fonction définie par morceaux :
On fait de même avec le terme en pour le représenter au moyen d’une fonction définie par morceaux :
Cela signifie que nous devons considérer trois cas distincts.
Premièrement, quand , on a et . Nous devons alors résoudre l’équation
Donc, est satisfaite pour tout nombre réel .
Deuxièmement, quand , on a et . Nous devons donc résoudre l’équation
Ainsi, a aussi pour solution .
Enfin, lorsque , on a et . Nous devons donc résoudre l’équation
Ainsi, l’équation n’a pas de solution lorsque .
On peut donc conclure que l’équation est satisfaite pour tout inférieur ou égal à . L’ensemble des solutions de cette équation est donc l’intervalle .
Exemple 5: Calcul de l’ensemble des solutions d’une équation du second degré comportant des valeurs absolues
Calculez, par des méthodes algébriques, l’ensemble des solutions de l’équation .
Réponse
Pour résoudre cette équation, nous allons suivre le processus en quatre étapes :
- Isolez l’expression de la valeur absolue.
- Posez les deux équations obtenues en fixant le terme à l’intérieur des valeurs absolues égal à l’autre membre d’une part puis à son opposé d’autre part.
- Résolvez les deux équations en l’inconnue recherchée.
- Vérifiez les solutions obtenues analytiquement ou graphiquement.
Nous avons
Soit soit
Nous rappelons que la valeur absolue d’un nombre est sa distance à zéro, il y a donc deux solutions possibles à cette équation :
Soit soit
Avec nos deux résultats précédents, on affirme qu’il y a trois solutions possibles : , et . Cette équation a donc pour ensemble de solutions .
Exemple 6: Calcul de l’ensemble des solutions d’équations comportant des racines carrées et des valeurs absolues
Déterminez l’ensemble des solutions de l’équation .
Réponse
On commence par rappeler que la valeur absolue de tout nombre doit être positive. Ainsi, nous pouvons élever au carré des deux côtés de l’équation sans risquer d’ajouter de nouvelles solutions :
Donc,
En vérifiant que ces solutions satisfont l’équation originale, nous avons
Membre de gauche : Membre de droite : et
Membre de gauche : Membre de droite :
On peut donc conclure que l’équation a deux solutions. Ces solutions sont et . Cela peut être écrit comme l’ensemble des solutions .
Cela peut être représenté graphiquement comme illustré ci-dessous.
Les points d’intersection de et ont alors pour abscisse et .
Ainsi, l’ensemble solution est
Exemple 7: Calcul de l’ensemble des solutions d’équations du second degré comportant des valeurs absolues
Calculez algébriquement l’ensemble des solutions de l’équation .
Réponse
D’après la définition de la valeur absolue, il y a deux cas distincts à considérer : premièrement, quand et, deuxièmement, quand .
Dans le premier cas, nous résolvons l’équation
Ainsi,
On vérifie la validité de ces deux solutions en les substituant dans l’équation .
Quand ,
Quand ,
Par conséquent, les solutions et sont toutes deux valides.
Quand , on résout l’équation
Donc,
On vérifie la validité de ces deux solutions en les substituant dans l’équation .
Quand ,
Quand ,
Par conséquent, les solutions et sont valides.
D’après les deux résultats précédents, l’équation a quatre solutions. Celles-ci sont les points , , , et . L’ensemble des solutions de cette équation est donc .
Nous pouvons également démontrer cela graphiquement. Commençons par tracer la courbe d’équation dans le plan cartésien.
Afin de tracer la courbe d’équation on fait la symétrie de la portion de courbe sous l’axe des par rapport à la droite d’équation , comme illustré sur la figure ci-dessous.
Après avoir tracé la droite d’équation , on peut voir qu’elle intersecte la courbe d’équation en quatre points distincts.
Ces points ont pour abscisses , , , et comme nous l’avions déterminé par le calcul algébrique précédent.
Ainsi, l’ensemble solution est
Concluons cette fiche explicative en recapitulant certains concepts importants.
Points clés
- La valeur absolue d’un nombre est la distance à 0 de ce nombre, indépendamment de son signe.
- Pour résoudre des équations comportant des valeurs absolues, on considère le cas où le terme dans la valeur absolue est positif, puis le cas où il est négatif.
- Nous calculons ensuite les ensembles de solutions séparément et vérifions si chaque solution correspond aux critères ci-dessus.
- Les équations comportant des valeurs absolues peuvent être résolues à la fois graphiquement et algébriquement.
