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Fiche explicative de la leçon : Équations avec valeurs absolues Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des équations comportant des valeurs absolues.

Rappelons que la valeur absolue d’un nombre réel est sa distance à 0 sur l’axe des réels. Par exemple, dans l’expression |5| (qui peut être lue comme la valeur absolue de 5), on prend la valeur absolue du nombre 5 en le notant entre deux barres verticales. Puisque 5 est à une distance de 5 unités de 0 sur l’axe des réels, cette expression est égale à 5. La valeur de l’expression |5| (qui peut être lue comme la valeur absolue de 5) est également égale à 5, car 5 est également situé à 5 unités de 0 sur l’axe des réels.

Définition : Valeur absolue

La valeur absolue d’un nombre est la distance à 0 de ce nombre, indépendamment de son signe, c’est-à-dire:|𝑥|=𝑥𝑥0,𝑥𝑥<0.sisi

Rappelons également comment tracer la courbe représentative de la fonction valeur absolue. Pour ce faire, nous pouvons compléter un tableau de valeurs pour 𝑦=|𝑥|:

𝑥3210123
𝑦3210123

Ensuite, nous pouvons tracer ces points dans le plan cartésien, ce qui nous permet de tracer le graphe de la fonction:

Lorsque l’on souhaite résoudre des équations comportant des valeurs absolues, il est très utile de pouvoir appliquer la définition ou de tracer les graphes de valeurs absolues;par conséquent, il est important de maitriser ces techniques.

Introduisons maintenant des équations comportant des valeurs absolues.

Considérons l’équation |𝑥+1|=3.

Avant de commencer toute étude sous un angle algébrique, il est utile de se représenter le problème graphiquement. Ainsi, traçons sur le même repère les courbes d’équation 𝑦=|𝑥+1| et 𝑦=3. Pour ce faire, nous pouvons compléter un tableau de valeurs pour l’équation 𝑦=|𝑥+1|:

𝑥3210123
𝑦2101234

Nous pouvons voir sur ce graphique que les deux droites s’intersectent en deux points distincts, lorsque 𝑥=4 et lorsque 𝑥=2.

Ainsi, l’équation |𝑥+1|=3 a pour solutions 𝑥=4 et 𝑥=2. L’ensemble des solutions de cette équation est donc {4;2}.

Ce graphique nous donne à présent l’approche à suivre pour résoudre cette équation algébriquement. D’après la définition de la fonction valeur absolue, il est possible d’utiliser la notation des fonctions définies par morceaux pour modéliser ce problème:|𝑥+1|=𝑥+1𝑥1,(𝑥+1)𝑥<1.sisi

Ainsi, pour résoudre l’équation |𝑥+1|=3, on résout les deux équations 𝑥+1=3 et (𝑥+1)=3.

Commençons par résoudre 𝑥+1=3(1)𝑥=2.onsoustraitdesdeuxcôtés

Puis, on résout (𝑥+1)=3()𝑥1=3(1)𝑥=4(1)𝑥=4.ondistribuelesignedanslaparenthèseonajoutedesdeuxcôtésondivisedesdeuxcôtéspar

Avec les deux équations qui précèdent, on voit que 𝑥=4 et 𝑥=2 sont solutions, ce qui coïncide avec les solutions trouvées lors de l’étude graphique.

Plutôt que d’utiliser des fonctions définies par morceaux, une autre méthode algébrique consiste à résoudre l’égalité ente l’expression à l’intérieur de la valeur absolue et la valeur positive et la valeur négative de l’autre quantité.

Dans cet exemple, pour résoudre l’équation |𝑥+1|=3, nous devons résoudre les deux équations:𝑥+1=3 et 𝑥+1=3.

En soustrayant 1 des deux côtés des deux équations, on obtient à nouveau les solutions 𝑥=2 et 𝑥=4.

Cette méthode peut être résumée comme suit.

Comment : Résoudre des équations comportant des valeurs absolues

  1. Isolez l’expression de la valeur absolue.
  2. Posez les deux équations obtenues en fixant le terme à l’intérieur des valeurs absolues égal à l’autre membre d’une part puis à son opposé d’autre part.
  3. Résolvez ces deux équations en l’inconnue recherchée.
  4. Vérifiez les solutions analytiquement ou graphiquement.

Les deux méthodes sont équivalentes et, bien que nous puissions utiliser l’une ou l’autre pour résoudre des équations avec des valeurs absolues, l’une ou l’autre de ces méthodes peut rendre la résolution plus efficace selon la situation.

Nous allons maintenant résoudre diverses équations comportant des valeurs absolues, à la fois algébriquement et graphiquement.

Exemple 1: Résolution d’équations comportant des valeurs absolues

Quel est l’ensemble de solutions de l’équation 3|𝑥|66=0?

Réponse

Nous allons résoudre cette question en utilisant d’abord une approche algébrique, puis en utilisant une approche graphique.

Pour résoudre cette équation algébriquement, nous allons suivre le processus suivant en quatre étapes:

  1. Isolez l’expression de la valeur absolue.
  2. Posez les deux équations obtenues en fixant le terme à l’intérieur des valeurs absolues égal à l’autre membre d’une part puis à son opposé d’autre part.
  3. Résolvez ces deux équations en l’inconnue recherchée.
  4. Vérifiez les solutions analytiquement ou graphiquement.

Afin d’isoler l’expression de la valeur absolue, nous commençons par réarranger l’équation pour faire de |𝑥| le sujet:3|𝑥|66=0(66)3|𝑥|=66(3)|𝑥|=22.onajoutedesdeuxcôtésondivisedesdeuxcôtéspar

On rappelle que la valeur absolue d’un nombre est sa distance à zéro et qu’ici, il y a donc deux solutions possibles:

Soit 𝑥=22 ou 𝑥=22

L’ensemble des solutions de l’équation 3|𝑥|66=0 contient les nombres 22 et 22.

Nous pouvons vérifier ces solutions en évaluant l’équation 3|𝑥|66=0 en ces valeurs. Dans les deux cas, le membre de gauche de l’équation est nul.

Nous allons à présent regarder comment vérifier graphiquement ces solutions. Considérons l’équation 𝑦=|𝑥|. La courbe de cette équation peut être tracée dans un repère comme suit:

Puisque |𝑥|=22, on peut tracer la droite horizontale d’équation 𝑦=22 sur le même graphique.

Nos deux droites se coupent en deux points distincts, lorsque 𝑥=22 et lorsque 𝑥=22, qui sont bien les deux solutions de l’équation 3|𝑥|66=0.

Ainsi, l’ensemble solution est {22;22}

Exemple 2: Résolution d’équations comportant des valeurs absolues

Calculez l’ensemble des solutions de l’équation |𝑥+4|=𝑥+4 en utilisant des méthodes algébriques.

Réponse

D’après la définition de la fonction valeur absolue, nous pouvons résoudre cette équation en utilisant la notation des fonctions définies par morceaux:|𝑥+4|=𝑥+4𝑥4,(𝑥+4)𝑥<4.sisi

Puisque |𝑥+4|=𝑥+4, on peut résoudre les deux équations 𝑥+4=𝑥+4 et (𝑥+4)=𝑥+4.

Premièrement, lorsque 𝑥4, on résout l’équation 𝑥+4=𝑥+4.

Comme le membre de gauche de l’équation est exactement le même que le membre de droite, tout réel 𝑥 est solution de cette équation. Cependant, nous limitions les solutions aux nombres réels 𝑥 supérieurs ou égaux à 4, de sorte que la solution de cette partie de l’équation est 𝑥4.

Deuxièmement, lorsque 𝑥<4, nous devons résoudre l’équation (𝑥+4)=𝑥+4()𝑥4=𝑥+4(𝑥)4=2𝑥+4(4)8=2𝑥(2)4=𝑥.ondistribuelesignedanslaparenthèseonajoutedesdeuxcôtésonsoustraitdesdeuxcôtésondivisedesdeuxcôtéspar

Dans ce cas, comme nous sommes restreints à l’intervalle 𝑥<4, cette solution n’est pas admissible pour cette partie de l’équation.

Cependant, on peut remarquer que cette solution est déjà contenue dans l’ensemble des solutions de la première équation. Les solutions de l’équation |𝑥+4|=𝑥+4 sont les nombres réels satisfaisant 𝑥4, c’est-à-dire les éléments de l’intervalle [4;+[.

Nous pouvons vérifier cette solution graphiquement. Commençons par tracer la droite d’équation 𝑦=𝑥+4 dans le plan cartésien.

En traçant la courbe d’équation 𝑦=|𝑥+4| sur les mêmes axes, on voit que les deux courbes coïncident pour tout 𝑥 tel que 𝑥4.

Cela confirme notre solution précédente, on a bien |𝑥+4|=𝑥+4 dès lors que 𝑥4.

Ainsi, l’ensemble solution est [4;+[

Les exemples suivants de cette fiche explicative demanderont de résoudre des équations comportant des valeurs absolues qui résultent en des équations du second degré.

Exemple 3: Résolution d’équations comportant des valeurs absolues

Déterminez algébriquement l’ensemble des solutions de l’équation 11𝑥+44|𝑥+4|=𝑥.

Réponse

Commençons par remarquer que, dans cette question, le membre de gauche de l’équation n’est pas défini lorsque 𝑥=4 puisqu’il est impossible de diviser par zéro. Nous devons ainsi traiter deux cas distincts:premièrement, lorsque 𝑥+4>0 et, deuxièmement, lorsque 𝑥+4<0.

D’après la définition de la valeur absolue, on peut représenter ce terme en utilisant la notation des fonctions définies par morceaux:|𝑥+4|=𝑥+4𝑥>4,(𝑥+4)𝑥<4.sisi

Quand 𝑥>4, on résout l’équation 11𝑥+44𝑥+4=𝑥((𝑥+4))11𝑥+44=𝑥(𝑥+4)()11𝑥+44=𝑥+4𝑥(11𝑥44)0=𝑥7𝑥44()0=(𝑥11)(𝑥+4).onmultipliedesdeuxcôtésparondistribuelesignedanslaparenthèseonsoustraitetdesdeuxcôtésonfactoriselemembrededroite

Donc, 𝑥=11𝑥=4.ou

Comme nous l’avons déjà établi, 𝑥 ne peut pas être égal à 4, cette équation a donc une unique solution.

Quand 𝑥<4, nous devons résoudre l’équation 11𝑥+44(𝑥+4)=𝑥((𝑥+4))11𝑥+44=𝑥(𝑥+4)()11𝑥+44=𝑥4𝑥(𝑥4𝑥)𝑥+15𝑥+44=0()(𝑥+11)(𝑥+4)=0.onmultipliedesdeuxcôtésparondistribuelesignedanslaparenthèseonajouteetdesdeuxcôtésonfactoriselemembredegauche

Donc, 𝑥=11𝑥=4.ou

Une fois encore, nous avons établi que 𝑥 ne peut pas être égal à 4, ainsi cette équation a également une unique solution.

Les solutions de l’équation 11𝑥+44|𝑥+4| sont 𝑥=11 et 𝑥=11, ce qui constitue donc l’ensemble de solutions {11;11}.

Exemple 4: Résolution d’équations du premier degré avec des valeurs absolues

Calculez, par des méthodes algébriques, l’ensemble de solutions de l’équation |𝑥3||𝑥+1|=4.

Réponse

En utilisant la définition de la valeur absolue, on peut représenter le terme |𝑥3| de l’équation au moyen d’une fonction définie par morceaux:|𝑥3|=𝑥3𝑥>3,(𝑥3)𝑥3.sisi

On fait de même avec le terme en |𝑥+1| pour le représenter au moyen d’une fonction définie par morceaux:|𝑥+1|=𝑥+1𝑥1,(𝑥+1)𝑥<1.sisi

Cela signifie que nous devons considérer trois cas distincts.

Premièrement, quand 𝑥<1, on a 𝑥3<0 et 𝑥+1<0. Nous devons alors résoudre l’équation (𝑥3)(𝑥+1)=4𝑥+3+𝑥+1=44=4.

Donc, |𝑥3||𝑥+1|=4 est satisfaite pour tout nombre réel 𝑥<1.

Deuxièmement, quand 1𝑥3, on a 𝑥30 et 𝑥+10. Nous devons donc résoudre l’équation (𝑥3)(𝑥+1)=4𝑥+3𝑥1=42𝑥+2=42𝑥=2𝑥=1.

Ainsi, |𝑥3||𝑥+1|=4 a aussi pour solution 𝑥=1.

Enfin, lorsque 𝑥>3, on a 𝑥3>0 et 𝑥+1>0. Nous devons donc résoudre l’équation (𝑥3)(𝑥+1)=4𝑥3𝑥1=44=4.

Ainsi, l’équation |𝑥3||𝑥+1|=4 n’a pas de solution lorsque 𝑥>3.

On peut donc conclure que l’équation |𝑥3||𝑥+1|=4 est satisfaite pour tout 𝑥 inférieur ou égal à 1. L’ensemble des solutions de cette équation est donc l’intervalle ];1].

Exemple 5: Calcul de l’ensemble des solutions d’une équation du second degré comportant des valeurs absolues

Calculez, par des méthodes algébriques, l’ensemble des solutions de l’équation 4𝑥|𝑥|4𝑥=0.

Réponse

Pour résoudre cette équation, nous allons suivre le processus en quatre étapes:

  1. Isolez l’expression de la valeur absolue.
  2. Posez les deux équations obtenues en fixant le terme à l’intérieur des valeurs absolues égal à l’autre membre d’une part puis à son opposé d’autre part.
  3. Résolvez les deux équations en l’inconnue recherchée.
  4. Vérifiez les solutions obtenues analytiquement ou graphiquement.

Nous avons 4𝑥|𝑥|4𝑥=0()4𝑥(|𝑥|1)=0.onfactoriselemembredegauche

Soit 4𝑥=0(4)𝑥=0ondivisedesdeuxcôtéspar soit |𝑥|1=0(1)|𝑥|=1.onajoutedesdeuxcôtés

Nous rappelons que la valeur absolue d’un nombre est sa distance à zéro, il y a donc deux solutions possibles à cette équation:

Soit 𝑥=1 soit 𝑥=1.

Avec nos deux résultats précédents, on affirme qu’il y a trois solutions possibles:𝑥=1, 𝑥=0 et 𝑥=1. Cette équation a donc pour ensemble de solutions {1;0;1}.

Exemple 6: Calcul de l’ensemble des solutions d’équations comportant des racines carrées et des valeurs absolues

Déterminez l’ensemble des solutions de l’équation 4𝑥28𝑥+49=|𝑥+4|.

Réponse

On commence par rappeler que la valeur absolue de tout nombre doit être positive. Ainsi, nous pouvons élever au carré des deux côtés de l’équation sans risquer d’ajouter de nouvelles solutions:4𝑥28𝑥+49=(|𝑥+4|)4𝑥28𝑥+49=(𝑥+4)()4𝑥28𝑥+49=𝑥+8𝑥+16(𝑥+8𝑥+16)3𝑥36𝑥+33=0(3)𝑥12𝑥+11=0()(𝑥11)(𝑥1)=0.ondistribuelesignedanslaparenthèseonsoustraitdesdeuxcôtésondivisedesdeuxcôtésparonfactoriselemembredegauche

Donc, 𝑥=11𝑥=1.ou

En vérifiant que ces solutions satisfont l’équation originale, nous avons

Membre de gauche:4(11)28(11)+49=225=15 Membre de droite:|(11)+4|=|15|=15 et

Membre de gauche:4(1)28(1)+49=25=5Membre de droite:|(1)+4|=|5|=5.

On peut donc conclure que l’équation 4𝑥28𝑥+49=|𝑥+4| a deux solutions. Ces solutions sont 𝑥=11 et 𝑥=1. Cela peut être écrit comme l’ensemble des solutions {1;11}.

Cela peut être représenté graphiquement comme illustré ci-dessous.

Les points d’intersection de 𝑦=4𝑥28𝑥+49 et 𝑦=|𝑥+4| ont alors pour abscisse 𝑥=11 et 𝑥=1.

Ainsi, l’ensemble solution est {1;11}

Exemple 7: Calcul de l’ensemble des solutions d’équations du second degré comportant des valeurs absolues

Calculez algébriquement l’ensemble des solutions de l’équation |𝑥+13𝑥+21|=21.

Réponse

D’après la définition de la valeur absolue, il y a deux cas distincts à considérer:premièrement, quand 𝑥+13𝑥+210 et, deuxièmement, quand 𝑥+13𝑥+21<0.

Dans le premier cas, nous résolvons l’équation 𝑥+13𝑥+21=21(21)𝑥+13𝑥=0()𝑥(𝑥+13)=0.onsoustraitdesdeuxcôtésonfactoriselemembredegauche

Ainsi, 𝑥=0𝑥=13.ou

On vérifie la validité de ces deux solutions en les substituant dans l’équation |𝑥+13𝑥+21|=21.

Quand 𝑥=0, |(0)+13(0)+21|=21|21|=2121=21.

Quand 𝑥=13, |(13)+13(13)+21|=21|169169+21|=21|21|=2121=21.

Par conséquent, les solutions 𝑥=0 et 𝑥=13 sont toutes deux valides.

Quand 𝑥+13𝑥+21<0, on résout l’équation 𝑥+13𝑥+21=21()𝑥13𝑥21=21(21)𝑥13𝑥42=0(1)𝑥+13𝑥+42=0()(𝑥+6)(𝑥+7)=0.ondistribuelesignedanslaparenthèseonsoustraitdesdeuxcôtésondivisedesdeuxcôtésparonfactoriselemembredegauche

Donc, 𝑥=6𝑥=7.ou

On vérifie la validité de ces deux solutions en les substituant dans l’équation |𝑥+13𝑥+21|=21.

Quand 𝑥=6, |(6)+13(6)+21|=21|3678+21|=21|21|=2121=21.

Quand 𝑥=7, |(7)+13(7)+21|=21|4991+21|=21|21|=2121=21.

Par conséquent, les solutions 𝑥=6 et 𝑥=7 sont valides.

D’après les deux résultats précédents, l’équation |𝑥+13𝑥+21|=21 a quatre solutions. Celles-ci sont les points 𝑥=13, 𝑥=0, 𝑥=6, et 𝑥=7. L’ensemble des solutions de cette équation est donc {13;7;6;0}.

Nous pouvons également démontrer cela graphiquement. Commençons par tracer la courbe d’équation 𝑦=𝑥+13𝑥+21 dans le plan cartésien.

Afin de tracer la courbe d’équation 𝑦=|𝑥+13𝑥+21| on fait la symétrie de la portion de courbe sous l’axe des 𝑥 par rapport à la droite d’équation 𝑦=0, comme illustré sur la figure ci-dessous.

Après avoir tracé la droite d’équation 𝑦=22, on peut voir qu’elle intersecte la courbe d’équation 𝑦=|𝑥+13𝑥+21| en quatre points distincts.

Ces points ont pour abscisses 𝑥=13, 𝑥=0, 𝑥=6, et 𝑥=7 comme nous l’avions déterminé par le calcul algébrique précédent.

Ainsi, l’ensemble solution est {13;7;6;0}

Concluons cette fiche explicative en recapitulant certains concepts importants.

Points clés

  • La valeur absolue d’un nombre est la distance à 0 de ce nombre, indépendamment de son signe.
  • Pour résoudre des équations comportant des valeurs absolues, on considère le cas où le terme dans la valeur absolue est positif, puis le cas où il est négatif.
  • Nous calculons ensuite les ensembles de solutions séparément et vérifions si chaque solution correspond aux critères ci-dessus.
  • Les équations comportant des valeurs absolues peuvent être résolues à la fois graphiquement et algébriquement.

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