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Vidéo de la leçon : Équations de valeur absolue Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des équations comportant des valeurs absolues.

16:48

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des équations comportant des valeurs absolues. Nous allons rappeler comment résoudre les expressions de valeur absolue, par exemple, la valeur absolue de moins quatre. Nous allons ensuite voir comment nous résolvons les équations de valeurs absolues. Par exemple, nous allons travailler sur le problème où nous devons résoudre valeur absolue de 𝑥 plus trois égale valeur absolue de deux 𝑥 moins six.

Mais d’abord, rappelons la définition de la valeur absolue. La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro sur une droite graduée. Considérons par exemple le nombre quatre. Le nombre quatre est à une distance de zéro de quatre unités. Ensuite, considérons le nombre moins quatre. Lorsque nous parlons de distance, il s’agit d’une valeur non négative. Nous savons que moins quatre est également à une distance de zéro de quatre unités.

Nous écrivons la valeur absolue d’une expression comme ceci. L’expression est notée entre deux barres verticales. Ainsi, pour la valeur absolue de quatre, nous avons quatre unités à partir de zéro. La valeur absolue de moins quatre est de quatre unités. Ces deux valeurs sont à la même distance de zéro de quatre sur la droite graduée. Nous pouvons également écrire la valeur absolue de façon un peu plus formelle. Nous pouvons dire que la valeur absolue d’une valeur 𝑝 égale 𝑝 si 𝑝 est supérieur ou égal à zéro et que la valeur absolue de 𝑝 égale moins 𝑝 si 𝑝 est strictement inférieur à zéro.

Par exemple, nous pouvons dire que la valeur absolue de cinq est égale à cinq car cinq est supérieur ou égal à zéro. Nous pouvons aussi dire que la valeur absolue de moins cinq est égale à moins moins cinq parce que moins cinq est strictement inférieur à zéro. Bien sûr, nous savons que moins moins cinq est égal à cinq.

Nous pouvons maintenant utiliser ces informations sur les valeurs absolues pour nous aider à résoudre des équations. Voyons notre première question.

Quel est l’ensemble des solutions de l’équation valeur absolue de 𝑥 égale 94 ?

Commençons par noter que ces deux barres verticales de part et d’autre de 𝑥 signifient valeur absolue. Nous rappelons que la valeur absolue de 𝑥 est égale à 𝑥 si 𝑥 est supérieur ou égal à zéro ou moins 𝑥 si 𝑥 est strictement inférieur à zéro. Ainsi, lorsque nous avons valeur absolue de 𝑥 égale 94, nous avons en fait deux possibilités pour 𝑥. Lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à zéro, nous avons 𝑥. Ainsi, l’équation est 𝑥 égale 94. Lorsque 𝑥 est strictement inférieur à zéro, nous avons moins 𝑥. Ainsi, notre équation est moins 𝑥 égale 94. Nous pouvons résoudre cette deuxième équation en multipliant par moins un, ce qui nous donne 𝑥 égale moins 94.

Vérifions donc que nos solutions sont valables. Nous avons la solution 𝑥 égale 94, ce qui se produit lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à zéro. 94 est supérieur ou égal à zéro, ce qui fonctionne. Puis, nous avons obtenu la solution 𝑥 égale moins 94. Cela se produit lorsque 𝑥 est strictement inférieur à zéro. Par conséquent, nos deux solutions sont valables. Écrivons donc celles-ci sous la forme d’ensemble des solutions. Nous pouvons donc donner comme réponse que l’ensemble des solutions de l’équation valeur absolue de 𝑥 égale 94 est l’ensemble contenant moins 94 et 94.

Nous verrons ensuite comment nous pouvons résoudre une équation comportant une valeur absolue qui a également une inconnue des deux côtés.

Trouvez l’ensemble des solutions de l’équation valeur absolue de 𝑥 plus trois égale moins trois 𝑥 plus sept.

Il peut être utile de rappeler la définition de la valeur absolue. Si nous cherchons la valeur absolue de 𝑝, elle est égale à 𝑝 si 𝑝 est supérieur ou égal à zéro ou moins 𝑝 si 𝑝 est strictement inférieur à zéro. Afin de résoudre cette équation, nous devons considérer les deux options possibles pour la valeur absolue de 𝑥 plus trois.

Nous avons soit 𝑥 plus trois, soit moins 𝑥 plus trois. Nous suivons en quelque sorte ce premier chemin, lorsque 𝑥 plus trois est supérieur ou égal à zéro. Nous pouvons bien sûr présenter cela autrement en soustrayant trois des deux côtés pour dire que 𝑥 doit être supérieur ou égal à moins trois. Nous suivons ce chemin à droite lorsque 𝑥 plus trois est strictement inférieur à zéro. En soustrayant trois des deux côtés de cette inéquation, cela se produit lorsque 𝑥 est strictement inférieur à moins trois.

Maintenant que nous avons trouvé les deux options pour cette expression à gauche, écrivons ce que cela signifie pour l’équation. Lorsque nous avons 𝑥 plus trois, l’équation est 𝑥 plus trois égale moins trois 𝑥 plus sept. Alors résolvons cela pour trouver la valeur de 𝑥. Tout d’abord, en ajoutant trois 𝑥 des deux côtés, nous avons quatre 𝑥 plus trois égale sept. Ensuite, nous pouvons soustraire trois des deux côtés. Enfin, nous pouvons diviser les deux côtés par quatre pour obtenir 𝑥 égale un.

Maintenant que nous avons trouvé une solution possible, voyons ce qui se passe lorsque nous avons moins 𝑥 plus trois. Cette fois, notre équation est moins 𝑥 plus trois égale moins trois 𝑥 plus sept. Simplifier cela, sur le côté gauche, nous donne moins 𝑥 moins trois égale moins trois 𝑥 plus sept. Nous pouvons alors ajouter trois 𝑥 des deux côtés. Ajouter trois nous donne deux 𝑥 égale dix. Diviser par deux nous donne 𝑥 égale cinq.

Maintenant que nous avons deux solutions possibles pour cette équation, vérifions nos résultats. Pour la première solution 𝑥 égale un, rappelez-vous que cela ne se produit que lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à moins trois. Un est supérieur ou égal à moins trois, donc cette solution est valable. Pour la deuxième solution, 𝑥 égale cinq. Rappelez-vous que nous sommes arrivés ici en suivant le chemin 𝑥 strictement inférieur à moins trois. Cependant, cinq n’est pas strictement inférieur à trois. Donc 𝑥 égale cinq n’est pas une solution valable.

Afin de voir comment nous nous sommes retrouvés avec une solution non valable, examinons ce problème graphiquement. Commençons par tracer la courbe 𝑦 égale valeur absolue de 𝑥 plus trois. Si nous considérons la courbe 𝑦 égale 𝑥 plus trois, celle-ci va avoir un coefficient directeur de un et une ordonnée à l’origine de trois. Nous pouvons commencer par les coordonnées zéro, trois, puis le coefficient directeur de un signifie que pour chaque unité vers la droite, nous allons une unité vers le haut.

Nous pouvons continuer cette droite, mais arrêtons-nous une seconde aux coordonnées moins trois, zéro. Si nous tracions simplement la droite 𝑦 égale 𝑥 plus trois, alors elle continuerait dans cette direction. Cependant, valeur absolue de 𝑥 plus trois devient un peu différente en ce point. Chaque ordonnée négative devient en fait une ordonnée positive.

Considérons maintenant la courbe 𝑦 égale moins trois 𝑥 plus sept. Pour cette droite, l’ordonnée à l’origine est sept et le coefficient directeur est moins trois. Ce coefficient directeur signifie que pour chaque augmentation de un sur l’axe des abscisses, la valeur de 𝑦 diminue de trois. Nous pouvons tracer une droite reliant ces points pour montrer la courbe 𝑦 égale moins trois 𝑥 plus sept.

Alors réfléchissons aux solutions. Nous avons ce point ici où elles se croisent. Notez que c’est le point où 𝑥 est égal à un. Alors d’où venait la valeur 𝑥 égale cinq ? C’est en fait une extension incorrecte de cette partie du graphique. Cependant, nous savons que lorsque 𝑥 est égal à cinq, cette partie de la droite n’est pas sur la courbe 𝑦 égale valeur absolue de 𝑥 plus trois.

Par conséquent, l’ensemble des solutions de cette équation est l’ensemble contenant le nombre un.

Dans la question suivante, nous verrons comment résoudre une équation qui a une valeur absolue des deux côtés.

Trouvez l’ensemble des solutions de valeur absolue de 𝑥 plus trois égale valeur absolue de deux 𝑥 moins six.

Dans cette équation, nous avons une expression avec une valeur absolue de chaque côté de l’équation. Alors considérons chacune à tour de rôle.

Lorsque nous cherchons quelque chose comme la valeur absolue de 𝑥 plus trois, nous avons en fait deux options différentes. On peut dire que cela est égal à 𝑥 plus trois si 𝑥 plus trois est supérieur ou égal à zéro, c’est-à-dire positif. Soit la valeur absolue de 𝑥 plus trois est égale à moins 𝑥 plus trois si 𝑥 plus trois est strictement inférieur à zéro.

Parfois, il est pratique de les visualiser comme s’il s’agissait de deux chemins différents que nous pouvions suivre, un peu comme ceci. Notez que cette inéquation 𝑥 plus trois supérieur ou égal à zéro peut également être écrite 𝑥 supérieur ou égal à moins trois simplement en soustrayant trois des deux côtés de l’inéquation. De la même manière, si 𝑥 plus trois est strictement inférieur à zéro, alors 𝑥 doit être strictement inférieur à moins trois.

Faisons maintenant la même chose pour la valeur absolue de deux 𝑥 moins six. Cela est soit égal à deux 𝑥 moins six si deux 𝑥 moins six est supérieur ou égal à zéro, soit moins deux 𝑥 moins six si deux 𝑥 moins six est strictement inférieur à zéro.

Nous pouvons simplifier ces inéquations un peu comme précédemment. Les différents chemins sont : lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à trois ou lorsque 𝑥 est strictement inférieur à trois. Il peut être utile de créer une droite graduée avec les différentes alternatives pour les expressions des valeurs absolues. Par exemple, nous pouvons voir que nous aurons 𝑥 plus trois lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à moins trois.

Voyons maintenant les différentes possibilités que nous pouvons obtenir pour cette équation. Nous pouvons commencer avec 𝑥 plus trois égale deux 𝑥 moins six. Cela se produit dans cette région sur notre droite graduée. Ensuite, nous pouvons avoir 𝑥 plus trois égale moins deux 𝑥 moins six. Cela se produit dans la région centrale de notre droite graduée. Ensuite, une troisième possibilité est moins 𝑥 plus trois égale deux 𝑥 moins six.

Cependant, où exactement cela se produit-il sur la droite graduée ? Bien, cela ne peut pas vraiment se produire parce que moins 𝑥 plus trois n’est obtenu que lorsque 𝑥 est strictement inférieur à moins trois et deux 𝑥 moins six est obtenu lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à trois. La valeur de 𝑥 ne peut pas à la fois être strictement inférieure à moins trois et supérieure ou égale à trois. Donc cette équation n’est en fait pas une possibilité.

Nous pouvons cependant résoudre moins 𝑥 plus trois égale moins deux 𝑥 moins six, car c’est ce qui se passe dans la région de gauche sur notre droite graduée. Maintenant, nous prenons ces équations et les résolvons pour trouver les valeurs de 𝑥. Lorsque 𝑥 plus trois égale deux 𝑥 moins six, nous allons commencer par soustraire 𝑥 des deux côtés. Faire cela puis ajouter six nous donne neuf égale 𝑥 ou, bien sûr, 𝑥 égale neuf.

Pour la deuxième équation, nous pouvons commencer par simplifier cette expression à droite. Donc 𝑥 plus trois égale moins deux 𝑥 plus six. Ajouter deux 𝑥 des deux côtés, puis soustraire trois, nous donne trois 𝑥 égale trois. Par conséquent, 𝑥 égale un.

Dans la troisième équation, remarquez que nous pouvons commencer par diviser par moins un. Notez que puisque cela nous donne 𝑥 plus trois égale deux 𝑥 moins six, nous remarquons qu’il s’agit de la même équation que nous avons déjà résolue. Les deux équations donnent donc la solution 𝑥 égale neuf. Nous pouvons donc donner comme réponse que l’ensemble des solutions de cette équation est l’ensemble contenant neuf et un.

Mais avant de terminer avec cette question, vérifions à l’aide d’un graphique. Prenons du papier millimétré. Commençons par la courbe 𝑦 égale valeur absolue de 𝑥 plus trois. La courbe 𝑦 égale 𝑥 plus trois a un coefficient directeur de un et une ordonnée à l’origine de trois. Cependant, au lieu de continuer cette droite vers le bas lorsque nous traçons la courbe 𝑦 égale valeur absolue de 𝑥 plus trois, chaque ordonnée négative est remplacée par l’ordonnée positive.

Ensuite, nous pouvons considérer la courbe 𝑦 égale valeur absolue de deux 𝑥 moins six. Si nous dessinions simplement la courbe 𝑦 égale deux 𝑥 moins six, elle aurait une ordonnée à l’origine de moins six. Cependant, chaque ordonnée négative va être réfléchie, donc cette courbe passera en fait par le point de coordonnées zéro, six. La courbe 𝑦 égale valeur absolue de deux 𝑥 moins six ressemblera à ceci en rose. Nous pouvons voir qu’il y a deux points d’intersection : ici lorsque 𝑥 égale un et ici lorsque 𝑥 égale neuf, confirmant ainsi notre réponse initiale.

Voyons une dernière question.

Trouvez de façon algébrique l’ensemble des solutions de l’équation valeur absolue de 𝑥 plus trois fois valeur absolue de 𝑥 moins trois égale 39.

Dans cette question, nous devons trouver la solution du produit de deux expressions de valeurs absolues. Considérons à tour de rôle les différentes valeurs possibles pour chaque expression. La valeur absolue de 𝑥 plus trois est soit 𝑥 plus trois, soit moins 𝑥 plus trois. Il s’agit de 𝑥 plus trois lorsque 𝑥 plus trois est supérieur ou égal à zéro. Nous pouvons simplifier cela en soustrayant trois des deux côtés afin que l’inéquation soit 𝑥 supérieur ou égal à moins trois. Nous obtenons un résultat négatif lorsque 𝑥 plus trois est strictement inférieur à zéro ou 𝑥 est strictement inférieur à moins trois.

Ensuite, pour la valeur absolue de 𝑥 moins trois, nous avons soit 𝑥 moins trois, soit moins 𝑥 moins trois. Cela se produit respectivement lorsque 𝑥 moins trois est supérieur ou égal à zéro, ou lorsque 𝑥 moins trois est strictement inférieur à zéro. Ces inéquations peuvent également s’écrire 𝑥 supérieur ou égal à trois ou 𝑥 strictement inférieur à trois.

Maintenant nous pouvons considérer les différentes possibilités d’expressions à multiplier. Pour commencer, nous pouvons avoir 𝑥 plus trois multiplié par 𝑥 moins trois égale 39. Soit nous pouvons avoir 𝑥 plus trois multiplié par moins 𝑥 moins trois égale 39. La troisième option est d’avoir moins 𝑥 plus trois multiplié par 𝑥 moins trois égale 39. Enfin, nous pouvons avoir moins 𝑥 plus trois multiplié par moins 𝑥 moins trois égale 39.

Avant de nous précipiter dans la résolution des quatre équations, nous pouvons observer quelque chose. En regardant la deuxième équation et la troisième équation, en raison de la propriété commutative de la multiplication, ce signe moins ici pourrait être mis de manière équivalente ici sans que le produit ne change. Cela signifie que les équations deux et trois ont les mêmes solutions.

Puis, que remarquons-nous sur la première équation et la dernière équation ? Notez que ce moins 𝑥 plus trois multiplié par moins 𝑥 moins trois produirait un signe plus. En d’autres termes, c’est la même chose que 𝑥 plus trois multiplié par 𝑥 moins trois.

Voyons donc comment résoudre la première équation, nous savons que cela donnera les mêmes solutions que la quatrième équation. Nous pouvons développer les parenthèses sur le côté gauche, en observant que les termes plus trois 𝑥 moins trois 𝑥 s’annulent. Ainsi, 𝑥 au carré moins neuf égale 39. Nous pouvons alors ajouter neuf des deux côtés. Nous pouvons alors prendre la racine carrée des deux côtés, pour avoir 𝑥 égale racine carrée de 48. Cependant, comme nous voulons considérer les valeurs positives et négatives de la racine carrée, nous pouvons alors utiliser le symbole plus ou moins. Comme 48 peut s’écrire 16 multiplié par trois, cela signifie que nous pouvons écrire ceci plus simplement 𝑥 égale plus ou moins quatre racine de trois.

Voyons maintenant la résolution de l’une des autres équations, soit l’équation deux ou trois. En choisissant moins 𝑥 plus trois multiplié par 𝑥 moins trois égale 39, nous pouvons commencer par développer les parenthèses. En utilisant notre résultat précédent selon lequel 𝑥 plus trois multiplié par 𝑥 moins trois nous donne 𝑥 au carré moins neuf, nous avons moins 𝑥 au carré moins neuf égale 39. Multiplier les deux côtés de cette équation par moins un nous donne 𝑥 au carré moins neuf égale moins 39. Ensuite, ajouter neuf nous donne 𝑥 au carré égale moins 30.

À ce stade, nous pouvons remarquer que nous avons un problème. Car en commençant à calculer la racine carrée des deux côtés, nous voyons que nous essayons de calculer la racine carrée d’une valeur négative. Dans ce cas, il n’y a pas de solution réelle pour 𝑥, donc cette solution n’est pas valable.

Avant de finaliser notre réponse, réfléchissons simplement à la question de savoir si les deux solutions de l’équation 𝑥 plus trois fois 𝑥 moins trois égale 39 sont valables pour l’équation de valeur absolue. Cette équation particulière ne s’applique que lorsque 𝑥 est strictement inférieur à moins trois ou lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à trois. Donc si la solution pour 𝑥 est dans la région moins trois inférieur ou égal à 𝑥 strictement inférieur à trois, alors elle ne sera pas valable. Il s’avère que moins quatre racine de trois est strictement inférieur à moins trois ; cela vaut environ moins 6,93. Et quatre racine de trois est supérieur ou égal à trois ; cela vaut environ 6,93. Ces deux solutions sont valables. Nous n’avons donc que cet ensemble de valeurs pour la solution de cette équation.

L’ensemble des solutions est moins quatre racine de trois et quatre racine de trois.

Nous pouvons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu que la valeur absolue est la distance d’un nombre à partir de zéro sur une droite graduée. Enfin, lors de la résolution d’équations de valeurs absolues, nous devons toujours vérifier que nos solutions sont valables, en utilisant soit une méthode analytique, soit une méthode graphique.

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