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Vidéo de question : Déterminer la vitesse initiale d’une particule étant donné l’expression de l’accélération Mathématiques

Une particule se déplace le long de l’axe des 𝑥. À l’instant 𝑡 secondes, son accélération est donnée par 𝑎 = (4𝑡 + 6) m / s², 𝑡 ≥ 0. Sachant qu’à 𝑡 = 2 s, sa vitesse est égale à 28 m / s, quelle est sa vitesse initiale ?

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Transcription de vidéo

Une particule se déplace le long de l’axe des 𝑥. À l’instant 𝑡 secondes, son accélération est donnée par 𝑎 est égal à 4𝑡 plus six mètres par seconde carré, avec 𝑡 supérieur ou égal à zéro. Sachant qu’à 𝑡 est égal à deux secondes, sa vitesse est égale à 28 mètres par seconde, quelle est sa vitesse initiale ?

Tout d’abord, nous devons remarquer que notre particule se déplace en ligne droite le long de l’axe des 𝑥. On nous donne une équation pour l’accélération de cette particule. Nous savons que l’accélération est le taux de variation de la vitesse. Cela signifie que l’accélération de notre particule est égale à la dérivée de la vitesse de la particule par rapport au temps. Nous pouvons donc intégrer les deux côtés de cette équation par rapport à 𝑡. Nous voyons que l’intégrale de notre fonction dérivée par rapport à 𝑡 serait simplement égale à la fonction de la vitesse à une constante d’intégration 𝑐 près.

Nous savons également de la question que notre fonction 𝑎 est égale à 4 𝑡 plus six. Ainsi, l’intégrale de 𝑎 par rapport à 𝑡 est égale à l’intégrale de 4 𝑡 plus six par rapport à 𝑡. Pour intégrer 4 𝑡, nous ajoutons un à l’exposant puis, nous divisons par ce nouvel exposant, ce qui nous donne 4 𝑡 au carré sur deux, ce qui est égal à deux 𝑡 au carré. Nous savons également que l’intégrale de six par rapport à 𝑡 est égale à 6 𝑡. Puis, nous ajoutons notre constante d’intégration 𝑘. Lorsque nous comparons ces deux équations, nous obtenons 𝑣 plus 𝑐 est égal à deux 𝑡 au carré plus 6𝑡 plus 𝑘. Nous pouvons ensuite réorganiser et obtenir que 𝑣 est égal à deux 𝑡 au carré plus 6𝑡 plus 𝑘 moins 𝑐. Puisque 𝑘 et 𝑐 ne sont que des constantes d’intégration, nous pouvons les combiner et en faire une nouvelle constante, que nous appellerons 𝑐 un. Ceci nous donne une équation pour la vitesse de notre particule. La vitesse de notre particule est égale à deux 𝑡 au carré plus 6𝑡 plus 𝑐 un.

Si nous revenons à la question, on nous dit que lorsque 𝑡 est égal à deux, la vitesse de la particule est de 28 mètres par seconde. Cela signifie que 𝑣 de deux doit être égal à 28. Ainsi, en substituant 𝑡 est égal à deux dans notre fonction de la vitesse, nous voyons que 28 doit être égal à deux multiplié par deux au carré plus six multiplié par deux plus notre constante 𝑐 un. Nous pouvons alors réorganiser et résoudre cette expression et obtenir 𝑐 un est égal à huit. Nous avons donc que la vitesse de la particule à un instant 𝑡 doit être égale à deux 𝑡 au carré plus 6𝑡 plus huit. La question nous demande de déterminer la vitesse initiale de la particule, qui est la vitesse de la particule lorsque 𝑡 est égal à zéro. Par conséquent, nous pouvons substituer 𝑡 est égal à zéro dans notre fonction de la vitesse et obtenir que la vitesse initiale de notre particule est égale à deux fois zéro au carré plus six fois zéro plus huit. Lorsque nous simplifions cela, nous obtenons huit, ce qui signifie que nous avons montré que la particule a une vitesse initiale de huit mètres par seconde.

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